高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

3.2.3,两角和与差正切函数,1/44,【,知识提炼,】,两角和与差正切公式,sincos-cossin,coscos+sinsin,sincos+cossin,coscos-sinsin,2/44,【,即时小测,】,1.,思索以下问题,:,(1),两角和与差正切公式中角取值范围是什么,?,提醒,:,公式,T,中,都是实数且不能等于,+k,k,Z.,(2)T,变形公式是指什么,?,提醒,:,tan,tan,=tan(,)(1,tan,tan,),3/44,2.tan(-165),值是,(,),A.2+,B.2-,C.-2+,D.-2-,【,解析,】,选,B.,原式,=tan(-180+15),=tan15=tan(45-30),4/44,3.,若,tan=3,tan=,则,tan(-),等于,(,),A.-3 B.-C.3 D.,【,解析,】,选,D.tan(,-,)=,5/44,4.,若,=_.,【,解析,】,答案,:,3,6/44,5.=_.,【,解析,】,原式,=tan(78-18)=tan60=.,答案,:,7/44,【,知识探究,】,知识点,正切和、差角公式,T,观察如图所表示内容,回答以下问题,:,问题,1:,公式,T,应用条件是什么,?,问题,2:,公式,T,特点是什么,?,8/44,【,总结提升,】,1.,公式成立条件,角,以及,均不能等于,k+(kZ),且,tantan1(,或,tantan-1).,2.,结构特征,公式,T,右侧为分式形式,其中分子为,tan,与,tan,和或差,分,母为,1,与,tantan,差或和,.,9/44,3.,符号规律,:,分子同,分母反,.,10/44,【,题型探究,】,类型一,利用,T,求值,【,典例,】,1.,已知,=_.,2.,已知,tan,tan,是一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0,ac),两个根,则,tan(+),值为,_.,11/44,【,解题探究,】,1.,典例,1,中,cos,值是什么,?,提醒,:,由,2.,典例,2,中与一元二次方程两根满足性质有什么联络,?,提醒,:,先建立一元二次方程根与系数联络,整体代入计算和角正切,.,12/44,【,解析,】,1.,因为,所以,所以,答案,:,13/44,2.,由,a0,和一元二次方程根与系数关系,得,又,ac,所以,tan(+)=,答案,:,14/44,【,方法技巧,】,1.,从三个角度入手直接利用公式,T,求值,(1),复角化单角,:,公式,反应了复角化单角思想,即要求,正切函数值,只需知道,tan,和,tan,值,代入求解便可,.,(2),整体意识,:,公式,T,中有两个小团体“,tantan”,及“,tantan”,求解时可利用整体思想代入求解,.,15/44,(3),角配凑,:,公式,T,中,只代表了角某一形式,其可能是单纯,也可能是一些小团体,如等式,中 相当于,相当于,.,16/44,2.,逆用公式技巧,在三角函数化简、求值过程中,通常存在着两种形式逆用,:,公式,逆用和特殊角三角函数逆用,.,当式子中出现,这些特殊,角三角函数值时,往往就是“由值变角”一个提醒,能够依据问题,需要,将常数用三角函数式表示出来,以组成适合公式形式,从而,到达化简目标,.,17/44,【,变式训练,】,(,江苏高考,),已知,tan=-2,则,tan,值为,_.,【,解题指南,】,将,化为,=(,+,)-,利用两角差正切公式求解,.,18/44,【,解析,】,tan=tan(+)-=,因为,tan=-2,tan(+)=,所以上式,=,答案,:,3,19/44,【,赔偿训练,】,已知,tan(+),值,.,【,解题指南,】,依题目特征,能够先求出,异名三角函数值,代入所求式子展开式中便可求解,.,20/44,【,解析,】,因为,所以,因为,所以,21/44,类型二,利用公式,T,求角,【,典例,】,1.,若锐角,满足,(1+tan)(1+tan)=4,则,+=_.,2.,已知,tan(-)=,tan=-,(0,),求,2-,值,.,22/44,【,解题探究,】,1.,典例,1,中去括号、移项整理后会得到什么样式子,?,提醒,:,去括号、移项、合并同类项可得,(tan,+tan,)=3(1-tan,tan,).,2.典例,2,中已知角与所求角有什么关系,?,提醒,:,2,-,=(,-,)+,其中,=(,-,)+,.,23/44,【,解析,】,1.,因为,(1+tan)(1+tan)=1+tan+tan+3tantan=4,所以,(tan+tan)=3(1-tantan),即,tan+tan=(1-tantan),所以,tan(+)=,又,均为锐角,所以,0+0,所以,-,2-=+(-)(-,0).,而,tan(2-)=1,所以,2-=-.,26/44,【,延伸探究,】,1.(,变换条件,),典例,2,中若将题设条件“,tan=-”,改为“,=2”,则结果是什么,?,27/44,【,解析,】,由,得,tan=-3,所以,tan(2-)=tan+(-),因为,tan=-30,tan=-0,所以,故,所以由,tan(2-)=-1,得,2-=.,28/44,2.(,变换条件,),若将典例,2,中条件“,tan=-”,改为“,tan=”,其它条件不变,则,等于多少,?,【,解析,】,因为,tan=tan(-+),又,(0,),所以,=.,29/44,【,方法技巧,】,利用公式,T,求角步骤,(1),求值,.,计算待求角正切函数值,.,(2),求范围,.,借助已知角范围及题目隐含信息,求相关角范围,注意角范围越小越好,.,(3),求角,.,借助角范围及角三角函数值求角,.,30/44,【,赔偿训练,】,在,ABC,中,tanA+tanB+=tanAtanB,则角,C,等于,(,),【,解析,】,选,A.,由题意,tanA+tanB=-(1-tanAtanB),故,tan(A+B)=,又,A+B+C=,所以,31/44,类型三,公式变形应用,【,典例,】,1.=_.,2.,已知,+=,则,(1+tan)(1+tan)=_.,32/44,【,解题探究,】,1.,典例,1,中,能够表示为哪一个角三角函数值,?,提醒,:,依据式子特点,本题中可将,表示为,tan60,较适当,.,2.,典例,2,中对角,+,取哪一个三角函数值适当,?,提醒,:,tan(,+,)=tan =1.,33/44,【,解析,1.,=tan45=1.,答案,:,1,2.,因为,+=,所以,tan(+)=1,即,所以,tan+tan=1-tantan.,所以,(1+tan)(1+tan)=(tan+tan)+1+tantan=2.,答案,:,2,34/44,【,延伸探究,】,利用典例,2,结论,求,(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)(1+tan 45),值,.,【,解析,】,由例,2,解析知当,+=45,时,(1+tan)(1+tan)=2.,所以原式,=(1+tan1)(1+tan44)(1+tan2)(1+tan43)(1+tan22)(1+tan23)(1+tan45)=2,22,2=2,2335/44,【,方法技巧,】,公式,T,变形应用方法,对两角和与差正切公式正用、逆用、变形用是恒等变换基本要,求,数学特点是“多想点就少算点”,所以注意观察式子结构特点,并注意特殊值代换、角变换等技巧可使运算简捷,.,比如,“1=,tan45,=tan60”,等,.,36/44,【,变式训练,】,求值,:tan10+tan50+tan10tan50.,【,解题指南,】,注意到,10+50=60,而,tan60=.,故联想到,tan(10+50),展开形式并变形即可求出,.,37/44,【,解析,】,因为,tan(10+50)=,所以,tan10+tan50=-tan10tan50.,所以原式,=.,38/44,【,赔偿训练,】,已知,【,解析,】,39/44,规范解答,两角和与差正切公式综合应用,【,典例,】,(12,分,)(,宝鸡高一检测,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,以,Ox,轴为始边作两个锐角,它们终边分别与单位圆交于,A,B,两点,.,已知,A,B,横坐标分别为,(1),求,tan(+),值,.,(2),求,+2,值,.,40/44,【,审题指导,】,要求,tan(+),依据已知条件先求,cos,cos,再求,tan,tan,进而求,tan(+).,由,tan(+2)=tan(+)+,求出,+2,正切,再依据,+2,范围求,+2.,41/44,【,规范解答,】,(1),由已知条件及三角函数定义可知,42/44,43/44,【,题后悟道,】,1.,确定角范围,因为角范围会直接影响三角函数方程解个数,所以,角范围确实定是求角问题中最为关键原因,.,2.,注意挖掘隐含条件,在确定所求角范围时除了考虑给定角范围外,还要从给定三角函数值上深入缩小角范围,预防出现增根,.,44/44,