高中数学第二章空间向量与立体几何习题课空间向量在空间问题中的综合应用省公开课一等奖新名师优质课获奖P.pptx

习题课,空间向量在空间问题中综合应用,1/39,2/39,1,.,利用空间向量求两点间距离,设,A,(,x,1,y,1,z,1,),B,(,x,2,y,2,z,2,),为空间中任意两点,3/39,2,.,利用空间向量处理探索性问题,立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中热点题型,.,空间向量作为一个工具,在处理立体几何探索性问题中有着无比优越性,利用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思绪直观明了,.,空间中探索性问题普通有以下两种类型,:,(1)“,条件探索型,”,就是指给出了问题明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立条件一类问题,这类问题惯用解法是逆推法,利用结论探求条件,.,(2)“,存在型,”,是指结论不确定问题,即在数学命题中,结论常以,“,是否存在,”,形式出现,其结果可能存在,需要找出来,;,可能不存在,则需要说明理由,.,解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在,;,若推证出矛盾,则结论不存在,.,4/39,【做一做,1,】,已知空间两点,A,B,坐标分别为,(1,-,1,1),(2,2,-,2),则,A,B,两点距离为,.,5/39,【做一做,2,】,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,下面结论错误是,(,),A.,BD,平面,CB,1,D,1,B.,AC,1,BD,C.,AC,1,平面,CB,1,D,1,6/39,解析,:,以,D,为原点,DA,DC,DD,1,分别为,x,y,z,轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为,1,则有,A,(1,0,0),B,(1,1,0),C,(0,1,0),D,(0,0,0),A,1,(1,0,1),B,1,(1,1,1),C,1,(0,1,1),D,1,(0,0,1),.,答案,:,D,7/39,【做一做,3,】,如图,设动点,P,在棱长为,1,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,对角线,BD,1,上,记,=,则当,APC,为钝角时,实数,取值范围是,.,8/39,解析,:,由题意,建立如图所表示空间直角坐标系,D-xyz,则,A,(1,0,0),B,(1,1,0),C,(0,1,0),D,1,(0,0,1),9/39,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量求空间中两点间距离,【例,1,】,如图,已知矩形,ABCD,中,AB=,4,AD=,3,沿对角线,AC,折叠,使平面,ABC,与平面,ADC,垂直,求点,B,D,间距离,.,思维点拨,:,本题可利用向量法求解,两种思绪,一个是用基向量表示,另一个用坐标表示,.,10/39,探究一,探究二,规范解答,解,:,(,方法一,),过点,D,和,B,分别作,DE,AC,于,E,BF,AC,于,F.,则由已知条件可知,AC=,5,11/39,探究一,探究二,规范解答,(,方法二,),过点,D,作,DE,AC,于点,E,过点,B,作,BF,AC,于点,F,过点,E,作,FB,平行线,EP,以,E,为坐标原点,EP,EC,ED,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,如图所表示,.,12/39,探究一,探究二,规范解答,反思感悟,利用空间向量求空间两点距离基本方法,(1),坐标法,:,建立空间直角坐标系,得出两个点坐标,然后依据两点距离公式求解,.,(2),向量分解法,:,将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式,|,a,|=,求解,.,13/39,探究一,探究二,规范解答,变式训练,1,如图,60,二面角棱上有,A,B,两点,直线,AC,BD,分别在两个半平面内,且都垂直于,AB.,若,|AB|=,1,|AC|=,2,|BD|=,3,求,CD,长度,.,分析,:,本题中图形不适合建立空间直角坐标系,所以可经过向量分解方法,利用公式,|,a,|=,求解,.,14/39,探究一,探究二,规范解答,15/39,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量处理空间中探索性问题,【例,2,】,在四棱锥,P-ABCD,中,ABCD,是菱形,ABC=,60,PA=AC=a,PB=PD=a,点,E,在,PD,上,且,PE,ED=,2,1,.,在,PC,上是否存在一点,F,使,BF,平面,AEC,?,并证实你结论,.,思维点拨,:,首先假设存在,然后再依据,BF,平面,AEC,结合线面平行条件进行推理,.,16/39,探究一,探究二,规范解答,解,:,PA=AC=a,ABC=,60,AB=AD=a.,又,PB=PD=a,PA,AB,PA,AD,PA,平面,ABCD.,如图,以,A,为坐标原点,AD,AP,所在直线分别为,y,轴、,z,轴,过点,A,垂直于平面,PAD,直线为,x,轴,建立空间直角坐标系,.,17/39,探究一,探究二,规范解答,18/39,探究一,探究二,规范解答,反思感悟,处理这类探索性问题基本策略是,:,假定题中数学对象存在,(,或结论成立,),或暂且认可其中一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,;,不然,给出必定结论,.,其中反证法在解题中起着主要作用,.,19/39,探究一,探究二,规范解答,变式训练,2,如图,在五面体,ABCDEF,中,FA,平面,ABCD,AD,BC,FE,AB,AD,AF=AB=BC=FE=,AD.,(1),求异面直线,BF,与,DE,所成角余弦值,.,(2),在线段,CE,上是否存在点,M,使得直线,AM,与平面,CDE,所成角正弦值为,?,若存在,试确定点,M,位置,;,若不存在,请说明理由,.,20/39,探究一,探究二,规范解答,解,:,建立如图所表示空间直角坐标系,不妨设,AB=,1,则,B,(1,0,0),C,1,1,0),D,(0,3,0),F,(0,0,1),E,(0,1,1),.,21/39,探究一,探究二,规范解答,(2),设平面,CDE,法向量为,n,=,(,x,y,z,),22/39,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量处理空间综合问题,【典例】,如图,直棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别是,AB,BB,1,中点,AA,1,=AC=CB=,AB.,(1),证实,:,BC,1,平面,A,1,CD.,(2),求平面,A,1,CD,与平面,A,1,CE,夹角正弦值,.,审题策略,第一问可借助线面平行判定定理证实,;,第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解,.,23/39,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】,(1),连接,AC,1,交,A,1,C,于点,F,连接,DF,则,F,为,AC,1,中点,.,又因为,D,是,AB,中点,所以,DF,BC,1,.,又因为,DF,平面,A,1,CD,BC,1,平面,A,1,CD,故,BC,1,平面,A,1,CD.,所以,AC,BC.,又因为,ABC-A,1,B,1,C,1,是直三棱柱,故可建立如图所表示空间直角坐标系,.,24/39,探究一,探究二,规范解答,25/39,探究一,探究二,规范解答,答题模板,第,1,步,:,证实线线平行,第,2,步,:,证得线面平行,第,3,步,:,建立空间直角坐标系,第,4,步,设点,求出向量坐标,第,5,步,:,用待定系数法求法向量坐标,第,6,步,:,利用向量夹角公式求两个法向量夹角余弦值,进而求得正弦值,.,26/39,探究一,探究二,规范解答,失误警示,经过阅卷统计分析,失分主要出现在第,(2),问,造成失分原因是,:,(1),不能利用三角形中边长关系找到垂直条件,从而不能恰当地建立空间直角坐标系,.,(2),不能利用中点公式正确地求出相关点坐标,.,(3),待定系数法求法向量方法与步骤不熟练,造成法向量坐标求错,.,(4),不能利用三角函数知识把向量夹角余弦值转化为两平面夹角正弦值,.,27/39,探究一,探究二,规范解答,变式训练,如图,在多面体,ABCDEF,中,正方形,ADEF,与梯形,ABCD,所在平面相互垂直,AB,CD,AD,CD,AB=AD=,1,CD=,2,M,N,分别为,EC,和,BD,中点,.,(1),求证,:,BC,平面,BDE,;,(2),求直线,MN,与平面,BMC,所成角正弦值,.,(1),证实,:,在梯形,ABCD,中,取,CD,中点,H,连接,BH,因为,AD=AB,AB,CD,AD,CD,所以四边形,ADHB,为正方形,.,又,BD,2,=AD,2,+AB,2,=,2,BC,2,=HC,2,+HB,2,=,2,所以,CD,2,=BD,2,+BC,2,所以,BC,BD.,又平面,ADEF,平面,ABCD,平面,ADEF,平面,ABCD=AD,DE,AD,所以,DE,平面,ABCD,所以,BC,DE.,又,BD,DE=D,故,BC,平面,BDE.,28/39,探究一,探究二,规范解答,(2),解,:,由,(1),知,CD,平面,ABCD,AD,CD,所以,DE,DA,DC,两两垂直,.,以,D,为坐标原点建立如图所表示直角坐标系,D-xyz,29/39,1 2 3 4 5,1,.,在四面体,P-ABC,中,PA,PB,PC,两两垂直,M,是面,ABC,内一点,且,M,到其它三面距离分别是,2,3,6,则,M,到顶点,P,距离是,(,),A.7B.8C.9D.10,解析,:,以,P,为原点,PA,PB,PC,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,由已知,M,(2,3,6),所以,|MP|=,7,.,答案,:,A,30/39,1 2 3 4 5,2,.,在如图所表示几何体中,三棱锥,D-ABC,各条棱长均为,2,OA,OB,OC,两两垂直,则以下说法正确是,(,),A.,OA,OB,OC,长度能够不相等,B.,直线,OB,平面,ACD,C.,直线,OD,与,BC,所成角是,45,D.,直线,AD,与,OB,所成角是,45,31/39,1 2 3 4 5,解析,:,三棱锥,D-ABC,各条棱长均为,2,OA,OB,OC,两两垂直,所以,OA=OB=OC=,排除,A;,如图,建立空间直角坐标系,.,答案,:,D,32/39,1 2 3 4 5,3,.,如图,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,底面是以,ABC,为直角等腰三角形,AC=,2,a,BB,1,=,3,a,D,是,A,1,C,1,中点,点,E,在棱,AA,1,上,要使,CE,平面,B,1,DE,则,AE=,.,33/39,1 2 3 4 5,解析,:,建立如图所表示空间直角坐标系,解得,z=a,或,z=,2,a,即,AE=a,或,AE=,2,a.,答案,:,a,或,2,a,34/39,1 2 3 4 5,4,.,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,.,求证,:(1),AD,1,平面,BDC,1,;,(2),A,1,C,平面,BDC,1,.,证实,:,以,D,为坐标原点,建立如图所表示空间直角坐标系,D-xyz.,设正方体棱长为,1,则有,D,(0,0,0),A,(1,0,0),D,1,(0,0,1),A,1,(1,0,1),C,(0,1,0),B,(1,1,0),C,1,(0,1,1),令,x=,1,则,n,=,(1,-,1,1),.,35/39,1 2 3 4 5,36/39,1 2 3 4 5,5,.,导学号,90074049,如图,在几何体,ABCDE,中,正方形,ABCD,边长为,2,AE,平面,CDE,AE=,1,.,(1),求证,:,平面,ABCD,平面ADE,;,(2),设点,F,是棱,BC,上一点,若平面,ADE,与平面,DEF,夹角余弦,值为,解,:,(1),AE,平面,CDE,AE,CD.,又,AD,CD,AE,AD=A,CD,平面,ADE.,又,CD,平面,ABCD,平面,ABCD,平面,ADE.,37/39,1 2 3 4 5,(2),AE,平面,CDE,由,(1),知,CD,DE,以,D,为坐标原点,DE,DC,所在直线分别为,x,轴、,y,轴,以过点,D,且垂直于平面,CDE,直线为,z,轴,建立如图所表示空间直角坐标系,D-xyz,n,=,(0,-,2),为平面,FDE,一个法向量,.,又平面,ADE,一个法向量为,m,=,(0,1,0),38/39,1 2 3 4 5,39/39,