高中数学第一章立体几何1.2.3.1直线与平面垂直省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

第,1,课时直线与平面垂直,1/34,2/34,一,二,三,一、两条直线相互垂直,【问题思索】,1,.,在平面内,假如两条直线相互垂直,那么这两条直线一定相交吗,?,在空间中呢,?,提醒,:,在平面内,假如两条直线相互垂直,则它们一定相交,;,而在空间中,两条直线相互垂直,则它们不一定相交,.,2,.,填空,:,假如两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,而且,交角为直角,则称这两条直线相互垂直,.,3/34,一,二,三,3,.,做一做,:,直线,a,与平面,内两条直线垂直,则直线,a,与平面,位置关系是,(,),A.,相交,B.,平行,C.,直线,a,在平面,内,D.,以上都有可能,解析,:,借助于正方体模型,得直线,a,与平面,平行或相交或直线,a,在平面,内,故选,D,.,答案,:,D,4/34,一,二,三,二、直线与平面垂直,【问题思索】,1,.,假如一条直线与平面内无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗,?,这时该直线与这个平面位置关系是怎样,?,提醒,:,假如一条直线与平面内无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内,.,2,.,填空,:(1),定义,:,假如一条直线和一个平面相交于点,O,而且和这个平面内过交点,O,任何直线,都垂直,则称这条直线和这个平面相互垂直,这条直线叫做,平面垂线,这个平面叫做,直线垂面,交点叫做垂足,.,5/34,一,二,三,(2),直线与平面垂直画法,:,通常把直线画成与表示平面平行四边形一边垂直,如图所表示,.,(3),直线与平面垂直记法,:,直线,l,与平面,垂直,交点为,P,可记为,l,垂足为,P.,6/34,一,二,三,三、直线与平面垂直判定定理与推论,【问题思索】,1,.,填空,:(1),判定定理,:,假如一条直线与平面内,两条相交,直线垂直,则这条直线与这个平面垂直,.,(2),推论,1:,假如在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线,也垂直于,这个平面,.,推论,2:,假如两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线,平行,.,2,垂直于同一直线两个平面位置关系怎样,?,7/34,一,二,三,提醒,:,垂直于同一条直线两个平面平行,.,已知,:,AA,AA,求证,:,.,证实,:,如图所表示,设经过直线,AA,两个平面,分别与平面,相交于直线,b,b,和,a,a.,因为,AA,AA,所以,AA,a,AA,a.,AA,a,a,都在平面,内,由平面几何知识,:,在同一平面内,垂直于同一直线两条直线平行,.,所以,a,a,所以,a,(,线面平行判定定理,),.,同理,b,.,又因为,a,b=A,所以,.,8/34,一,二,三,3,.,做一做,:,以下各种情况中,一条直线垂直于一个平面内,:,三角形两条边,;,梯形两条边,;圆两条直径,;,正六边形两条边,.,不能确保该直线与平面垂直是,(,),A.,B,.,C,.,D,.,解析,:,因为线面垂直判定定理中平面内两条直线必须相交,而,中不能确定两条边是否相交,故不能确保该直线与平面垂直,故选,C,.,答案,:,C,9/34,一,二,三,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),若直线,l,垂直于平面,内任意直线,则有,l,.,(,),(2),若直线,l,垂直于,内一个凸五边形两条边,则有,l,.,(,),(3),垂直于同一条直线两条直线平行,.,(,),(4),垂直于同一条直线两条直线垂直,.,(,),(5),垂直于同一个平面两条直线平行,.,(,),(6),垂直于同一条直线直线和平面平行,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),10/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,线面垂直判定,【例,1,】,如图所表示,直角,ABC,所在平面外有一点,S,且,SA=SB=SC,点,D,为斜边,AC,中点,.,(1),求证,:,SD,平面,ABC,;,(2),若,AB=BC,求证,:,BD,平面,SAC.,思绪分析,:,因为,D,是,AC,中点,SA=SC,则,SD,是,SAC,高,连接,BD,可证,SDB,SDA.,因为,AB=BC,所以,Rt,ABC,是等腰直角三角形,则BD,AC,利用线面垂直判定定理即可得证,.,11/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,证实,:,(1),因为,SA=SC,D,为,AC,中点,所以,SD,AC.,在,Rt,ABC,中,连接,BD.,则,AD=DC=BD.,又因为,SB=SA,SD=SD,所以,ADS,BDS.,所以,SD,BD.,又,AC,BD=D,所以,SD,平面,ABC.,(2),因为,BA=BC,D,为,AC,中点,所以,BD,AC.,又由,(1),知,SD,BD,AC,SD=D,所以,BD,平面,SAC.,12/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,1,.,利用直线与平面垂直判定定理来判定直线与平面垂直步骤,:,(1),在这个平面内找两条直线,使它们和这条直线垂直,;,(2),确定这个平面内两条直线是相交直线,;,(3),依据判定定理得出结论,.,2,.,利用直线与平面垂直判定定理判定直线与平面垂直技巧,:,证实线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含和题目中推导出线线垂直关系,进而证实线面垂直,.,三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形对角线、三角形中勾股定理等都是找线线垂直方法,.,13/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,1,如图所表示,在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB=AD=,1,DD,1,=,2,点,P,为,DD,1中点,.,求证,:,直线,PB,1,平面,PAC.,证实,:,连接,B,1,C,由题知,PC,2,=,2,=,3,B,1,C,2,=,5,所以,PB,1,C,是直角三角形,所以,PB,1,PC.,同理可得,PB,1,PA.,因为,PC,PA=P,所以直线,PB,1,平面,PAC.,14/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,线面垂直判定定理与推论综合应用,【例,2,】,如图所表示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,是,AB,上一点,N,是,A,1,C,中点,MN,平面,A,1,DC.,求证,:,MN,AD,1,.,证实,:,因为,ADD,1,A,1,为正方形,所以,AD,1,A,1,D.,又因为,CD,平面,ADD,1,A,1,所以,CD,AD,1,.,因为,A,1,D,CD=D,所以,AD,1,平面,A,1,DC.,又因为,MN,平面,A,1,DC,所以,MN,AD,1,.,15/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,1,.,平面内证实线线平行四种方法,:,(1),两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,(,或内错角相等或同旁内角互补,),则两直线平行,.,(2),三角形中位线、梯形中位线性质,.,(3),平行四边形对边平行性质,.,(4),平行线分线段成百分比定理,.,2,.,空间中证实线线平行四种方法,:,(1)(,基本性质,4),平行于同一条直线两条直线平行,.,(2)(,线面平行性质定理,),假如一条直线与一个平面平行,那么过该直线任意一个平面与已知平面交线与该直线平行,.,(3)(,面面平行性质定理,),假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行,.,(4)(,线面垂直性质定理,),假如两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行,.,16/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,平行关系与垂直关系综合,【例,3,】,如图所表示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,是,AB,上一点,N,是,A,1,C,中点,MN,平面,A,1,DC.,求证,:,MN,AD,1,.,思绪分析,:,先证出,AD,1,平面,A,1,DC,再利用线面垂直性质易知,MN,AD,1,.,证实,:,因为,ADD,1,A,1,为正方形,所以,AD,1,A,1,D.,又因为,CD,平面,ADD,1,A,1,所以,CD,AD,1,.,因为,A,1,D,CD=D,所以,AD,1,平面,A,1,DC.,又因为,MN,平面,A,1,DC,所以,MN,AD,1,.,17/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟平行关系与垂直关系之间相互转化,18/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,例,3,中把条件,“,MN,平面,A,1,DC,”,改为,“,M,是,AB,中点求证,:,MN,平面,A,1,DC.,证实,:,连接,BD,1,AD,1,则依题意可知,N,BD,1,且在,BD,1,A,中,N,为,D,1,B,中点,M,为,AB,中点,MN,AD,1,.,由上例题,3,结论,“,AD,1,平面,A,1,DC,”,.,MN,平面,A,1,DC.,19/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,距离问题,【例,4,】,如图所表示,已知,P,为,ABC,外一点,PA,PB,PC,两两垂直,PA=PB=PC=a,求点,P,到平面,ABC,距离,.,思绪分析,:,作出点到平面垂线,深入求出垂线段长,.,20/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析证实,:,过,P,作,PO,平面,ABC,于点,O,连接,AO,BO,CO,所以,PO,OA,PO,OB,PO,OC.,因为,PA=PB=PC=a,所以,PAO,PBO,PCO.,所以,OA=OB=OC,所以,O,为,ABC,外心,.,因为,PA,PB,PC,两两垂直,21/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,求点到平面距离基本步骤是,:(1),找到或作出要求距离,;(2),使所求距离在某一个三角形中,;(3),在三角形中依据三角形边角关系求出距离,.,22/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,2,在矩形,ABCD,中,AB=,3,BC=,4,PA平面,ABCD,且,PA=,1,取对角线,BD,上一点,E,连接,PE,PE,DE,则,PE,长为,.,解析,:,如图所表示,连接,AE.,因为,PA,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,所以,PA,BD.,又因为,BD,PE,PA,PE=P,所以,BD,平面,PAE,所以,BD,AE.,23/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,忘记分类讨论而致误,【典例】,已知,:,线段,AB,中点为,O,O,平面,.,求证,:,A,B,两点到平面,距离相等,.,错解,如图所表示,过点,A,B,作平面,垂线,垂足分别为,A,1,B,1,则,AA,1,BB,1,分别是点,A,、点,B,到平面,距离,.,在,Rt,AA,1,O,和,Rt,BB,1,O,中,AO=BO,B,1,OB=,A,1,OA,所以,Rt,AOA,1,Rt,BOB,1,所以,AA,1,=BB,1,即,A,B,两点到平面,距离相等,.,24/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,以上解答过程中都有哪些错误,?,犯错原因是什么,?,你怎样订正,?,你怎么防范,?,提醒,:,错误原因有两种,:,一是忽略了,AB,情况,;,二是认为,AOA,1,和,BOB,1,为对顶角而相等,其实应说明,B,1,O,A,1,三点共线才行,.,25/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解,:,(1),当线段,AB,平面,时,显然,A,B,到平面,距离均为,0,相等,.,(2),当,AB,平面,时,如图,分别过点,A,B,作平面,垂线,垂足分别为,A,1,B,1,则,AA,1,BB,1,分别是点,A,、点,B,到平面,距离,且,AA,1,BB,1,.,所以,AA,1,与,BB,1,确定一个平面,设为,则,=A,1,B,1,.,因为,O,AB,AB,所以,O,.,又因为,O,所以,O,A,1,B,1,.,所以,AOA,1,=,BOB,1,.,又,AA,1,A,1,O,BB,1,B,1,O,AO=BO,所以,Rt,AA,1,O,Rt,BB,1,O.,所以,AA,1,=BB,1,即,A,B,两点到平面,距离相等,26/34,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,防范办法,为了防止以上错误,要注意,:,(1),不要将平面几何中思维模式照搬至立体几何中,;,(2),没有图示参考证实类问题,自己作图时一定要考虑全方面,既要照料普通情形,还不要忘记特殊情形,.,27/34,1,2,3,4,5,1,.,有以下命题,:,平行于同一平面两直线平行,;,垂直于同一平面两直线平行,;,平行于同一直线两平面平行,;,垂直于同一直线两平面平行,.,其中正确有,(,),A.,和,B.,和,C.,和,D.,和,答案,:,A,28/34,1,2,3,4,5,2,.,如图所表示,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,为正方体,下面结论错误个数是,(,),BD,平面,CB,1,D,1,;,AC,1,BD,;,AC,1,平面,CB,1,D,1,.,A.0B.1C.2D.3,答案,:,A,29/34,1,2,3,4,5,3,.,如图所表示,AB,是,O,直径,PA,平面,O,C,为圆周上一点,AB=,5 cm,AC=,2 cm,则,B,到平面,PAC,距离为,.,30/34,1,2,3,4,5,解析,:,连接,BC,因为,C,为圆周上一点,AB,为直径,所以,BC,AC.,又因为,PA,平面,O,BC,平面,O,所以,PA,BC.,又因为,PA,AC=A,所以,BC,平面,PAC,C,为垂足,所以,BC,即为,B到平面,PAC,距离,.,在,Rt,ABC,中,31/34,1,2,3,4,5,4,.,如图所表示,=l,PA,PB,垂足分别为,A,B,a,a,AB.,求证,:,a,l.,证实,:,因为,PA,l,所以,PA,l.,同理,PB,l.,因为,PA,PB=P,所以,l,平面,PAB.,因为,PA,a,所以,PA,a.,因为,a,AB,PA,AB=A,所以,a,平面,PAB.,所以,a,l.,32/34,1,2,3,4,5,5,.,如图,在三棱锥,A-BCD,中,BC=AC,AD=BD,作,BE,CD,E,为垂足,作,AH,BE,于点,H.,求证,:,AH,平面,BCD.,33/34,1,2,3,4,5,证实,:,如图,取,AB,中点,F,连接,CF,DF.,因为,AC=BC,所以,CF,AB.,因为,AD=BD,所以,DF,AB.,又,CF,DF=F,所以,AB,平面,CDF.,因为,CD,平面,CDF,所以,CD,AB.,又,CD,BE,BE,AB=B,所以,CD,平面,ABE,又,AH,平面,ABE,CD,AH.,因为,AH,CD,AH,BE,CD,BE=E,所以,AH,平面,BCD.,34/34,