高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课.pptx

一二维形式的柯西不等式,一二维形式柯西不等式,1/26,2/26,1,.,二维形式柯西不等式,(1),二维形式柯西不等式,:,若,a,b,c,d,都是实数,则,(,a,2,+b,2,)(,c,2,+d,2,),(,ac+bd,),2,当且仅当,ad=bc,时,等号成立,.,(2),柯西不等式推论,:,3/26,做一做,1,以下不等式中,不一定成立是,(,),解析：,由柯西不等式可知选项,A,B,C,均正确,选项,D,错误,.,答案：,D,4/26,2,.,柯西不等式向量形式,设,是两个向量,则,|,|,|,|,|,当且仅当,是零向量,或存在实数,k,使,=k,时,等号成立,.,名师点拨,1,.,平面直角坐标系上一个向量从原点出发由两个量决定,:,横坐标与纵坐标,所以,“,二维,”,就要有四个量,所以柯西不等式向量形式能够认为是四个数组合成一个不等关系,.,2,.,二维形式柯西不等式代数形式与向量形式是一致,只是表现方式不一样,.,5/26,做一做,2,若,a,=,(cos,sin,),b,=,(3cos 2,3sin 2,),则,a,b,取值范围是,.,解析：,由已知得,|,a,|=,1,|,b,|=,3,而,|,a,b,|,|,a,|,b,|=,3,所以,-,3,a,b,3,即,a,b,取值范围是,-,3,3,.,答案：,-,3,3,解析：,因为,|,a,b,|,|a,|,b,|=,5,所以,-,5,a,b,5(,当且仅当,a,=k,b,即,k=,1,时,等号成立,),即,a,b,最大值为,5,.,答案：,B,6/26,3,.,二维形式三角不等式,(1),二维形式,三角不等式,:,若,x,1,y,1,x,2,y,2,R,7/26,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,8/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用二维形式柯西不等式证实不等式,分析：,依据柯西不等式结构,先将待证不等式右边添乘,cos,2,+,sin,2,以符合柯西不等式形式,再进行论证和推理,.,9/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用二维形式柯西不等式代数形式证实技巧,2,.,证实时往往需要将数学表示式适当变形,如,“,添项、拆项、分解、组合、配方、变量替换,”,等,这些变形要求含有很高技巧,必须善于分析题目标特征,才能找到问题突破口,.,10/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,11/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用二维形式柯西不等式求最值,分析：,可考虑,“1”,代换,将,x+y,化为,(,x+y,),再利用柯西不等式求最值,.,12/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用柯西不等式求最值注意点,:,(1),不等式形式特点,利用二维形式柯西不等式,(,a,2,+b,2,)(,c2,+d,2,),(,ac+bd,),2,解题时,要对照柯西不等式,搞清要求问题中哪样数或代数式分别相当于柯西不等式中,“,a,b,c,d,”,不然轻易犯错,.,(2),等号成立条件,利用二维形式柯西不等式解题时,一定要写明等号成立条件,不然题目标解题过程是不完善,.,13/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,(1),设,x,y,R,且,2,x+,3,y=,13,则,x,2,+y,2,最小值为,.,(2),函数,f,(,x,),=,最大值等于,.,解析：,(1),由柯西不等式可得,(2,x+,3,y,),2,(2,2,+,3,2,)(,x,2,+y,2,),当且仅当,2,y3,x,时,等号成立,因为,2,x+,3,y=,13,所以,x,2,+y,2,13(,当且仅当,x=,2,y=,3,时,等号成立,),.,14/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,柯西不等式向量形式应用,15/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,16/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,17/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用柯西不等式向量形式处理问题技巧与方法,:,应用二维形式柯西不等式代数形式处理问题时常需要结构两列数,一样,向量形式柯西不等式需要结构两个向量,通常我们使结构向量先满足待证不等式一侧形式,再证另一侧,.,同时要注意向量模计算公式,|,a,对代数式影响,.,18/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,设,a,=,(,-,2,2),|,b,|=,6,则,a,b,最小值是,此时,b,=,.,19/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,柯西不等式使用不妥致错,20/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,柯西不等式在求二元代数式最值中含有主要应用,解题中,一是要熟记柯西不等式基本形式及其各种变式,二是要注意不等式中等号成立条件,这是能否取得对应最值关键,.,假如公式记忆不准确,等号成立条件忽略,就轻易造成错误,.,21/26,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案：,3,22/26,1 2 3 4,1若,x,y,R,且,x+y=,1,则,x,2,+y,2,最小值为,(,),答案：,D,23/26,1 2 3 4,2,.,已知,a,b,x,1,x,2,(0,+,),则使不等式,(,ax,1,+bx,2,)(,bx,1,+ax,2,),x,1,x,2,成立一个条件是,(,),A.,a+b=,1B.,a,2,+b,2,=,1,C.,a=b=,1D.,a,2,+b,2,=,答案：,A,24/26,1 2 3 4,3,.,设,a,b,R,且,a,2,+b,2,=,5,则,3,a+b,最小值为,(,),答案：,D,25/26,1 2 3 4,4,.,已知,x+y=,1,则,2,x,2,+,3,y,2,最小值是,.,26/26,