高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1抛物线及其标准方程PPT省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课.pptx

2.2,.,1,抛物线及其标准方程,1/27,2/27,1,.,抛物线定义,(1),平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,(,l,不过,F,),距离,相等,点轨迹叫作抛物线,.,(2),点,F,叫作抛物线,焦点,直线,l,叫作抛物线,准线,.,(3),图形展示,:,名师点拨,抛物线定义可归纳为,“,一动三定,”:,一个动点,设为点,M,;,一个定点,F,(,即抛物线焦点,);,一条定直线,(,即抛物线准线,);,一个定值,(,即点,M,到点,F,距离与它到定直线距离之比等于常数,1),.,3/27,【,做一做,1】,平面内到定点,F,距离等于到定直线,l,距离点轨迹是,(,),A,.,抛物线B,.,直线,C,.,抛物线或直线,D,.,不存在,答案,:,C,4/27,2,.,抛物线标准方程,y,2,=,2,px,(,p,0),叫作抛物线标准方程,.,这条抛物线焦点在,x,轴正半轴,上,焦点,坐标是,它准线方程是,.,尤其提醒,1,.,“,p,”,几何意义是抛物线焦点到准线距离,所以,p,值恒大于,0,.,2,.,只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上抛物线方程才是标准方程,.,5/27,【做一做,2,】,(1),抛物线,y,2,=,8,px,(,p,0),F,是焦点,则,p,表示,(,),A.,F,到准线距离,D.,F,到,y,轴距离,(2),抛物线,y,2,=,4,x,焦点坐标为,3),若抛物线准线方程为,x=-,7,则抛物线标准方程为,.,6/27,解析,:,(1),化为标准形式,y,2,=,2,(4,p,),x,(,p,0),则,4,p,就是焦点,F,到准线距离,所以,p,表示焦点,F,到准线距离,.,(2),因为,y,2,=,4,x,所以,2,p=,4,即,p=,2,所以焦点坐标为,(1,0),.,(3),由题意可知,-=-,7,故,p=,14,且焦点在,x,轴正半轴上,所以抛物线标准方程为,y,2,=,28,x.,答案,:,(1)B,(2)(1,0),(3),y,2,=,28,x,7/27,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打“,”,错误打“1),平面内与定点,(1,0),和直线,y=x-,1,距离相等点轨迹是抛物线,.,(,),(2),抛物线与二次函数图像是完全相同,.,(,),(3),抛物线,y,2,=-,8,x,焦点坐标是,(,-,2,0),.,(,),(4),若抛物线方程是,x=,4,y,2,则其中焦参数,p=,2,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),8/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,1,】,(1),过点,A,(1,0),且与直线,l,:,x=-,1,相切圆圆心轨迹是,(,),A.,圆,B.,椭圆,C.,双曲线,D.,抛物线,(2),设点,A,是抛物线,y,2,=,4,x,上一点,点,B,(1,0),点,M,是线段,AB,中点,若,|AB|=,6,则,M,到直线,x=-,1,距离为,.,分析,(1),判断到一定点与到一定直线距离相等点轨迹是否是抛物线,要看定点与定直线位置关系,.,(2),利用抛物线定义求解,.,9/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析,:,(1),如图,设动圆圆心为,M,由题意,M,到直线,l,距离等于圆半径,|MA|,由抛物线定义知,点,M,轨迹是以,A,(1,0),为焦点,以直线,l,为准线抛物线,.,(2),B,(1,0),是抛物线,y,2,=,4,x,焦点,直线,l,:,x=-,1,是抛物线准线,过,A,作,AA,l,于,A,则,|AA|=|AB|=,6,.,则,M,到直线,x=-,1,距离为,答案,:,(1)D,(2)4,反思感悟,应用定义处理两类问题,:,(1),判断动点轨迹类型,;,(2),利用抛物线定义,将到焦点距离与到准线距离进行相互转化,.,10/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,若点,P,到点,F,(4,0),距离比它到定直线,x+,5,=,0,距离小,1,则点,P,轨迹方程是,(,),A.,y,2,=-,16,x,B.,y,2,=-,32,x,C.,y,2,=,16,x,D.,y,2,=,32,x,解析,:,点,P,到点,F,(4,0),距离比它到定直线,x+,5,=,0,距离小,1,点,P,到,F,(4,0),距离等于它到定直线,x=-,4,距离,.,点,P,轨迹方程为,y,2,=,16,x.,答案,:,C,11/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,求满足以下条件抛物线标准方程,:,(2),以,x,轴为对称轴,焦点在直线,3,x-,4,y-,12,=,0,上,.,分析,对于,(1),需要确定,p,值,因为点,在第四象限,所以抛物线标准方程可设为,y,2,=,2,px,(,p,0);,对于,(2),因为标准方程焦点在,x,轴上,所以求出直线,3,x-,4,y-,12,=,0,与,x,轴交点,(4,0),即可求出,.,12/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,13/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,求抛物线标准方程惯用方法,(1),直接法,:,建立恰当坐标系,利用抛物线定义列出动点满足条件,写出对应方程,化简方程可得,;,(2),待定系数法,:,依据已知条件设出抛物线标准方程,再依据题干中条件,求出参数,p,;,(3),定义法,:,直接依据定义求,p,最终写出标准方程,.,14/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,如图,过抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点,F,作倾斜角为,60,直线,l,交抛物线于,A,B,两点,且,|FA|=,3,则抛物线方程是,.,答案,:,y,2,=,3,x,15/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,设点,P,是抛物线,y,2,=,4,x,上一个动点,F,为抛物线焦点,.,(1),求点,P,到点,A,(,-,1,1),距离与点,P,到直线,x=-,1,距离之和最小值,;,(2),若点,B,坐标为,(3,2),求,|PB|+|PF|,最小值,.,分析,(1),中将点,P,到直线,x=-,1,距离转化为到焦点距离,;(2),中将点,P,到点,F,距离转化为点,P,到准线距离,.,这是解答本题关键,.,16/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,(1),如图,所表示,易知抛物线焦点为,F,(1,0),准线方程是,x=-,1,由抛物线定义知点,P,到直线,x=-,1,距离等于点,P,到焦点,F,距离,.,于是问题转化为,:,在曲线上求一点,P,使点,P,到点,A,(,-,1,1),距离与点,P,到,F,(1,0),距离之和最小,.,显然,连接,AF,AF,与抛物线交点即为点,P,17/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),如图,所表示,把点,B,横坐标代入,y,2,=,4,x,中,得,y=,2,.,因为,2,2,所以点,B,在抛物线内部,过点,B,作,BQ,垂直于准线,垂足为,Q,交抛物线于点,P,1,连接,P,1,F.,此时,由抛物线定义知,|P,1,Q|=|P,1,F|.,所以,|PB|+|PF|,|P,1,B|+|P1,Q|=|BQ|=,3,+,1,=,4,即,|PB|+|PF|,最小值为,4,.,反思感悟,解关于抛物线最值、定值问题时,首先要注意抛物线上点到焦点距离与点到准线距离转化,其次是注意平面几何知识应用,比如两点之间线段最短、三角形中三边之间不等关系、点与直线上点连线中垂线段最短等,.,18/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,已知点,P,在抛物线,y,2,=,4,x,上,那么点,P,到点,Q,(2,-,1),距离与点,P,到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点,P,坐标为,(,),解析,:,点,Q,(2,-,1),在抛物线内部,如图所表示,.,由抛物线定义知,抛物线上点,P,到点,F,距离等于点,P,到准线,x=-,1,距离,过,Q,点作,x=-,1,垂线,与抛物线交于,K,则,K,为所求,当,y=-,1,时,x=,答案,:,A,19/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因没有了解方程中,p,值几何意义而造成失误,【典例】,从抛物线,y,2,=,8,x,上一点,P,引抛物线准线垂线,垂足为,M,且,|PF|=,5,F,为抛物线焦点,则,MPF,面积为,.,易错分析,易误认为,p=,8,造成,p,值求错,而致使最终结果错误,.,解析,:,抛物线为,y,2,=,8,x,2,p=,8,p=,4,.,准线方程为,x=-,2,.,设,P,(,x,0,y,0,),由抛物线定义得,|PF|=|PM|=x,0,+,2,=,5,纠错心得,1,.,正确掌握抛物线标准方程,认清,p,几何意义,.,2,.,了解抛物线定义,合理进行到焦点与到准线距离转化,.,20/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知点,P,到,F,(4,0),距离和到直线,x=-,5,距离相等,求点,P,轨迹方程,.,整理得,y,2,=,18,x+,9,即,y,2,=,18,x+,9,为所求轨迹方程,.,21/27,1 2 3 4 5,1,.,在直角坐标平面内,到点,(1,1),和直线,x+,2,y=,3,距离相等点轨迹是,(,),A.,直线,B.,抛物线,C.,圆,D.,椭圆,解析,:定点,(1,1),在直线,x+,2,y=,3,上,轨迹为直线,.,答案,:,A,22/27,1 2 3 4 5,2,.,设抛物线,y,2,=,8,x,上一点,P,到,y,轴距离是,4,则点,P,到该抛物线焦点距离是,(,),A.4B.6C.8D.12,解析,:,如图所表示,抛物线焦点坐标为,F,(2,0),准线方程为,x=-,2,PE,垂直于准线且垂足为,E,由抛物线定义知,|PF|=|PE|=,4,+,2,=,6,.,答案,:,B,23/27,1 2 3 4 5,3,.,已知抛物线顶点在原点,焦点在,x,轴正半轴上,抛物线上点,M,(3,m,),到焦点距离等于,5,则抛物线标准方程和,m,值分别为,和,.,24/27,1 2 3 4 5,25/27,1 2 3 4 5,4,.,已知圆,x,2,+y,2,-,6,x-,7,=,0,与抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),准线相切,则,p=,.,解析,:,由,x,2,+y,2,-,6,x-,7,=,0,得,(,x-,3),2,+y,2,=,16,答案,:,2,26/27,1 2 3 4 5,5,.,已知动圆,M,与直线,x=,2,相切,且与定圆,C,:(,x+,3),2,+y,2,=,1,外切,求动圆圆心,M,轨迹方程,.,解,设动圆圆心为,M,(,x,y,),半径为,r,则由题意可得,M,到,C,(,-,3,0),距离与到直线,x=,3,距离相等,则动圆圆心轨迹是以,C,(,-,3,0),为焦点,x=,3,为准线一条抛物线,其方程为,y,2,=-,12,x.,27/27,