高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算笔记省公开课一等奖新名师优质课获奖PP.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量及其运算,1/30,从建筑物上找向量影子,在空间里现有大小又有方向量叫做空间向量。,2/30,阅读教材填写下表,平面向量,空间向量,含有大小和方向量,含有大小和方向量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,字母表示法,向量大小,向量大小,长度为零向量,长度为零向量,模为,1,向量,模为,1,向量,长度相等且方向,相反向量,长度相等且方向,相反向量,长度相等且方向相同 向量,长度相等且方向相同向量,定义,表示法,向量模,零向量,单位向量,相反向量,相等向量,一：空间向量基本概念,3/30,例,1,、给出以下命题：,（,1,）两个空间向量相等，则它们起点、终点相同；,（,2,）若空间向量 满足 ，则 ；,（,3,）在正方体 中，必有 ；,（,4,）若空间向量 满足 ，则 ；,（,5,）空间中任意两个单位向量必相等。,其中不正确命题个数是,（,1,）（,2,）（,5,）,3,4/30,a,b,a,b,O,A,B,b,结论,：空间任意两个向量都能够平移到同一个平面内，,，成为同一平面内两个向量。,思索：平面是否唯一？,探究一：,空间任意两个向量是否都能够平移到同一平面内？为何？,O,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内两条有向线段表示。所以凡是包括空间任意两个向量问题，平面向量中相关结论仍适合用于它们。,5/30,平面向量,概念,加法,减法,数乘,运算,运,算,律,定义,表示法,相等向量,减法,:,三角形法则,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,含有大小和方向量,数乘,:ka,k,为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,6/30,a,b,a,b,a,b,+,O,A,B,b,C,探究二：空间向量怎样进行加减运算？,7/30,a,a,a (k0),k,a (k0),k,空间向量数乘,a,8/30,a,b,a,b,a,b,+,O,A,B,b,C,空间向量加法交换律：,探究三：,空间向量加法是否满足交换律？,b+a,a+,b,=,9/30,a,b,c,O,A,B,C,a,b,+,a,b,c,O,A,B,C,b,c,+,(,空间向量,),a,b,+,c,+,(,),a,b,+,c,+,(,),空间向量加法是否满足结合律？,=,10/30,加法交换律：,加法结合律：,空间向量加法运算律：,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),数乘分配律,11/30,平面向量,概念,加法,减法,数乘,运算,运,算,律,定义,表示法,相等向量,减法,:,三角形法则,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,含有大小和方向量,数乘,:ka,k,为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法交换律,数乘分配律,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,减法,:,三角形法则,加法结合律,数乘,:ka,k,为正数,负数,零,12/30,A,B,1.,共线向量,:,假如表示空间向量有向线段所在直线相互平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,要求零向量与任何向量共线,空间向量共线定理：对于空间任意两个向量，,a,b,(a0,），,b,与,a,共线充要条件是存在实数,，使,b=a,13/30,A,B,B,零向量方向是任意,怎样了解零向量方向？,14/30,共线向量,:,零向量与任意向量共线,.,1.,共线向量,:,假如表示空间向量有向线段所在直线相互平行或重合,则这些向量叫做共线向量,(,或平行向量,),记作,2.,共线向量定理,:,对空间任意两个向量 充要条件是存在实数使,15/30,共面向量,:,1.,共面向量,:,能,平移到同一平面向量,叫做共面向量,.,O,A,注意：,空间任意两个向量是共面，但空间任意三个向量就不一定共面了。,16/30,平面向量基本定理内容,存在性,唯一性,假如,是同一平面内两个,不共线,向量，,那么对于这一平面任意向量,一对实数，,使,有且只有,17/30,2.,共面向量定理,:,假如两个向量,不共线,则向量 与向量 共面充要,条件是存在实数对,使,18/30,推论,:,空间一点,P,位于平面,MAB,内充要条件是存在有序实数对,x,y,使,或对空间任一点,O,有,19/30,例题,1.,如图所表示，已知矩形,ABCD,和矩形,ADEF,所在平面相互垂直，点,M,N,分别在对角线,BD,AE,上，且,求证：,MN,平面,CBE,B,A,F,D,C,E,N,M,G,H,20/30,例,2,对空间任意一点,O,和不共线三点,A,、,B,、,C,，试问满足向量关系式,（其中）四点,P,、,A,、,B,、,C,是否共面？,21/30,例,3,已知,A,、,B,、,M,三点不共线，对于平面,ABM,外任一点,O,，确定在以下各条件下，,点,P,是否与,A,、,B,、,M,一定共面？,注意：,空间四点,P,、,MA,、,B,共面,实数对,22/30,已知,E,、,F,、,G,、,H,分别是空间,四边形,ABCD,边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,中点，,（,1,）求证：,E,、,F,、,G,、,H,四点共面；,（,2,）求证：,BD,平面,EFGH,；,(1,）要证,E,、,F,、,G,、,H,四点共面，可,寻求,x,y,使,（,2,）由向量共线得到线线平行，进而得到线面,平行,.,练习,3,23/30,证实,（,1,）连接,BG,，则,由共面向量定理推论知：,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,.,（,2,）因为,所以,EH,BD,.,又,EH,平面,EFGH,，,BD,平面,EFGH所以,BD,平面,EFGH,.,24/30,复习平面向量基本定理,假如 ，是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 ，有且只有,一对实数,t,1,，,t,2,，,使,O,C,M,N,对向量 进行分解,：,25/30,空间任一向量能用三个不共面向量来线性表示吗？,P,O,x,y,z,26/30,二、空间向量基本定理：,假如三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯,一有序实数组,(x,，,y,，,z),，使,A,B,D,C,O,思绪：作,E,27/30,假如三个向量 不共面,那么空间每一个向量都可由向量 线性表示,.,把 称为空间一个基底,基底,:,基向量,:,假如空间一个基底三个向量是两两相互垂直,那么这个基底叫做正交基底,.,正交基底,:,单位正交基底,:,当一个正交基底三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,.,通惯用 表示,28/30,设点,O,、,A,、,B,、,C,是不共面四点，则对空间任一点,P,，都存在唯一有序实数组,(x,，,y,，,z),，使,O,A,B,C,P,P,P,注：,空间任意三个不共面向量都能够组成空间一个基底,如：,推论：,29/30,例：,已知空间四边形,OABC,，对角线,OB,、,AC,，,M,和,N,分别是,OA,、,BC,中点，点,G,在,MN,上，且使,MG=2GN,，试用基底 表示向量,O,A,B,C,M,N,G,解：在,OMG,中，,30/30,