高中数学第三章圆锥曲线与方程习题课2抛物线方程及性质的综合应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课.pptx

习题课,抛物线方程及性质综合应用,1/32,2/32,一,二,一、利用抛物线定义解题,若抛物线焦点为,F,准线为,l,点,P,在抛物线上,则点,P,到点,F,距离等于点,P,到准线,l,距离,.,3/32,一,二,二、抛物线焦半径与焦点弦,1,.,抛物线焦半径,抛物线上点到焦点距离叫做焦半径,其长度以下,:,4/32,一,二,2,.,抛物线焦点弦,过焦点直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦,.,若抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点弦端点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则有以下结论,:,(1),|AB|=x,1,+x,2,+p,;,(2),|AB|2,x,0,+p,(,x,0,是,A,B,两点横坐标中点值,);,(3),AB,垂直于对称轴时,AB,叫通径,焦点弦中通径最短,;,(6),以,AB,为直径圆必与准线相切,.,5/32,一,二,【做一做,1,】,抛物线,y,2,=,8,x,上一点,P,到,x,轴距离为,12,则点,P,到抛物线焦点,F,距离为,(,),A.20B.8C.22D.24,答案,:,A,解析,:,抛物线标准方程为,y,2,=,6,x,2,p=,6,故通径长度等于,6,.,答案,:,C,6/32,一,二,【做一做,3,】,过抛物线,y,2,=,8,x,焦点,作倾斜角为,45,直线,则它被抛物线截得弦长为,(,),A8B.16C.32D.61,解析,:,由抛物线,y,2,=,8,x,焦点为,(2,0),得直线方程为,y=x-,2,代入,y,2,=,8,x,得,(,x-,2),2,=,8,x,即,x,2,-,12,x+,4,=,0,所以,x,1,+x,2,=,12,弦长为,x,1,+x,2,+p=,12,+,4,=,16,.,答案,:,B,【做一做,4,】,若抛物线,y,2,=-,16,x,上一点,P,到准线距离等于它到顶点距离,则点,P,坐标为,.,解析,:,依据抛物线定义可知,点,P,到焦点,F,距离等于它到顶点,O,距离,所以点,P,在线段,OF,垂直平分线上,而,F,(,-,4,0),所以,P,点横坐标为,-,2,代入抛物线方程得,y=,4 ,故点,P,坐标为,(,-,2,4 ),.,答案,:,(,-,2,4 ),7/32,一,二,【做一做,5,】,已知抛物线,x,2,=,4,y,经过其焦点,F,直线与抛物线相交于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),两点,求证,:,y,1,y,2,为定值,.,证实,:,抛物线,x,2,=,4,y,焦点,F,(0,1),设直线,AB,斜率为,k,则其方程为,y-,1,=kx.,8/32,探究一,探究二,规范解答,利用抛物线定义处理问题,【例,1,】,已知抛物线关于,x,轴对称,它顶点在坐标原点,O,且经过点,M,(2,y,0,),若点,M,到焦点距离为,3,则,|OM|,等于,(,),答案,:,B,反思感悟,利用抛物线定义解题,其实质是利用抛物线定义,进行了两种距离之间一个转化,即抛物线上点到焦点距离与到准线距离之间转化,经过这种转化,能够简化解题过程,.,9/32,探究一,探究二,规范解答,变式训练,1,在抛物线,y,2,=,12,x,上,与焦点距离等于,9,点坐标是,.,解析,:,抛物线焦点为,F,(3,0),准线,x=-,3,抛物线上点,P,10/32,探究一,探究二,规范解答,【例,2,】,已知抛物线,y,2,=,2,x,焦点是,F,点,P,是抛物线上动点,又有点,A,(3,2),求,|PA|+|PF|,最小值,并求出取最小值时点,P,坐标,.,思维点拨,:,依据抛物线定义,就是在抛物线上找一点,P,使得点,P,到点,A,距离与点,P,到准线距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解,.,11/32,探究一,探究二,规范解答,解,:,如图所表示,作,PN,l,于点,N,(,l,为准线,),作,AB,l,于点,B,则,|PA|+|PF|=|PA|+|PN|,|AB|,当且仅当点,P,为,AB,与抛物线交点时,等号成立,.,12/32,探究一,探究二,规范解答,反思感悟,这类与抛物线相关最值问题,普通包括抛物线上动点到焦点或准线距离,可利用抛物线定义,(,即抛物线上点到准线距离等于该点到焦点距离,),结构出两点间线段最短,”,或,“,点到直线垂线段最短,”,使问题获解,.,13/32,探究一,探究二,规范解答,变式训练,2,定点,M,与抛物线,y,2,=,2,x,上点,P,之间距离为,d,1,点,P,到抛物线准线,l,距离为,d,2,则,d,1,+d,2,取最小值时,点,P,坐标为,(,),14/32,探究一,探究二,规范解答,解析,:,如图所表示,连接,PF,则,d,1,+d,2,=|PM|+|PF|,|MF|,知,d,1,+d,2,最小值是,|MF|,当且仅当点,P,在线段,MF,上时,等号成立,而直线,MF,方程,答案,:,C,15/32,探究一,探究二,规范解答,抛物线焦点弦问题,例,3,】,已知抛物线方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),过此抛物线焦点,F,直线与抛物线交于,A,B,两点,且,|AB|=p,求,AB,所在直线方程,.,思维点拨,:,依题意只需求出直线,AB,斜率即可利用点斜式求得方程,可依据焦点弦长度公式求解,.,16/32,探究一,探究二,规范解答,17/32,探究一,探究二,规范解答,(,方法二,),18/32,探究一,探究二,规范解答,反思感悟,求抛物线焦点弦长度两种方法,:,一是利用普通弦长公式,.,二是直接利用焦点弦长度公式,即假如,AB,是抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),一条过焦点,F,弦,A,(,x,1,y,1,),Bx,2,y,2,),则弦长,|AB|=|AF|+|BF|=x,1,+x,2,+p,这种方法实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距,(,点到准线距离,),处理,这表达了抛物线定义主要应用,.,19/32,探究一,探究二,规范解答,变式训练,3,设抛物线,C,:,y,2,=,4,x,F,为,C,焦点,过,F,直线,l,与,C,相交于,A,B,两点,.,(1),设,l,斜率为,2,求,|AB|,大小,;,解,:,(1),依题意得,F,(1,0),所以直线,l,方程为,y=,2(,x-,1),.,设直线,l,与抛物线交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),所以,|AB|=|AF|+|BF|=x,1,+x,2,+p=,3,+,2,=,5,.,20/32,探究一,探究二,规范解答,(2),证实,:,设直线,l,方程为,x=ky+,1,设直线,l,与抛物线交点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),=,(,ky,1,+,1)(,ky,2,+,1),+y,1,y,2,=k,2,y,1,y,2,+k,(,y,1,+y,2,),+,1,+y,1,y,2,=-,4,k,2,+,4,k,2,+,1,-,4,=-,3,21/32,探究一,探究二,规范解答,抛物线中定点与定值问题,【典例】,如图,过抛物线,y,2,=x,上一点,A,(4,2),作倾斜角互补两条直线AB,AC,交抛物线于,B,C,两点,求证,:,直线,BC,斜率是定值,.,【审题策略】,欲证实直线,BC,斜率为定值,可写出直线,BC,方程,然后说明其斜率为定值,或直接用,k,0,=,写出斜率,然后说明,k,0,值与参数无关,;,而已知直线,AB,AC,过定点,AB,与,AC,两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数,(,直线,AB,斜率,k,),来表示,.,22/32,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】,设直线,AB,斜率为,k,(,k,0),.,因为直线,AB,AC,倾斜角互补,所以直线,AC,斜率为,-k,(,k,0),.,又直线,AB,方程是,y=k,(,x-,4),+,2消去,y,整理得,k,2,x,2,+,(,-,8,k,2,+,4,k-,1),x+,16,k,2,-,16,k+,4,=,0,.,因为,A,(4,2),B,(,x,B,y,B,),是上述方程组解,23/32,探究一,探究二,规范解答,故直线,BC,斜率为定值,.,24/32,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】,第,1,步,:,由已知条件寻求直线,AB,AC,斜率之间关系,第,2,步,:,写出,AB,方程并与抛物线方程联立,利用根与系数关系求得点,B,横坐标,.,第,3,步,:,依据,AB,AC,斜率之间关系,写出点,C,横坐标,.,第,4,步,:,利用两点连线斜率公式写出直线,BC,斜率整理得到结果,.,第,5,步,:,得出结论,.,25/32,探究一,探究二,规范解答,失误警示,经过阅卷统计分析,发觉造成失分原因主要以下,:,(1),不能依据,AB,与,AC,两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程,;,(2),直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数关系正确地求得点,B,坐标,;,(3),考虑不到利用,AB,与,AC,斜率互为相反数来写出点,C,坐标,;,(4),化简整理出现错误,.,26/32,探究一,探究二,规范解答,变式训练,已知抛物线,y,2,=-,8,x,顶点为,O,点,A,B,在抛物线上,且,OA,OB,求证,:,直线,AB经过一个定点,.,所以直线,AB,经过定点,(,-,8,0),.,27/32,1 2 3 4 5,1,.,抛物线,y,2,=mx,焦点为,F,点,P,(2,2 ),在此抛物线上,M,为线段,PF,中点,则点,M,到该抛物线准线距离为,(,),答案,:,D,28/32,1 2 3 4 5,答案,:,B,29/32,1 2 3 4 5,3,.,过抛物线,y,2,=,4,x,焦点作直线交抛物线于,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),两点,若,x,1,+x,2,=,6,则,|AB|=,.,解析,:,|AB|=x,1,+x,2,+p=,6,+,2,=,8,.,答案,:,8,30/32,1 2 3 4 5,4,.,抛物线,y=x,2,上点到直线,y=,2,x-,4,距离最短点坐标是,.,解析,:,设与直线,y=,2,x-,4,平行且与,y=x,2,相切直线方程为,y=,2,x+b,由,标为,x=,1,故所求点坐标为,(1,1),.,答案,:,(1,1),31/32,1 2 3 4 5,5,.,已知过抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点直线交抛物线于,A,B,两点,且,解,:,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),32/32,