1、2.3,.,1,数乘向量,1/29,1,.,经过实例,掌握数乘向量定义,并了解其几何意义,.,2,.,了解向量线性运算及其几何意义,.,3,.,了解向量共线判定定理和性质定理,并能灵活,利用,.,2/29,1,2,3,1,.,向量数乘,(1),定义,:,普通地,实数,与向量,a,积是一个,向量,这种运算叫作向量数乘,记作,a,.,(2),要求,:,|,a,|=,|,a,|,当,0,时,a,方向与,a,方向,相同,;,当,1,时,表示向量,a,有向线段在原方向,(,0),或,反,方向,(,0),上伸长为原来,|,倍,;,当,|,0),或反方向,(,0,时,a,与,a,方向相同,;,当
2、0,2,a,与,a,方向相同,且,|,2,a,|=,2,|,a,|.,(2),正确,.,5,0,5,a,与,a,方向相同,且,|,5,a,|=,5,|,a,|.,而,-,2,0,-,2,a,与,a,方向相反,且,|-,2,a,|=,2,|,a,|.,(3),正确,.,依据相反向量定义能够判断,.,(4),错误,.,-,(,b,-,a,),与,b,-,a,是一对相反向量,而,a,-,b,与,b,-,a,是一对相反向量,a,-,b,与,-,(,b,-,a,),为相等向量,.,13/29,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,处理这类问题时,首先要意识到数乘向量结果仍是向量,然后要明确判断两个向量
3、关系,应从两个方面入手,:,一是方向,;,二是长度,.,14/29,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,已知,R,且,a,0,则在以下各命题中,正确命题个数为,(,),当,0,时,a,与,a,方向一定相同,;,当,0,时,a,与,a,是共线向量,;,当,0,时,a,与,a,方向一定相同,;,当,0,可得,同为正或同为负,所以,a,和,a,或者都与,a,同向,或者都与,a,反向,所以,a,和,a,是同向,所以,正确,;,对于,由,0,可得,异号,所以,a,和,a,是反向,所以,是正确,.,故选,D,.,答案,:,D,15/29,题型一,题型二,题型三,题型四,分析,:,利用向量加
4、法、减法及向量数乘运算法则、运算律计算,.,16/29,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,数乘向量运算律在形式上与实数加、减法与乘法满足运算律类似,(,当然向量运算与实数运算在详细含义上是不一样,),.,所以,在实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形技巧在向量线性运算中都能够使用,.,在去括号时,要注意符号改变,.,17/29,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,计算,:(1)(,-,7),6,a,;(2)4(,a,+,b,),-,3(,a,-,b,),-,8,a,.,解,:,(1)(,-,7),6,a,=,(,-,7,6),a,=-,42,a,.,(2)4(,a,+,b
5、),-,3(,a,-,b,),-,8,a,=,4,a,+,4,b,-,3,a,+,3,b,-,8,a,=,4,a,-,3,a,-,8,a,+,4,b,+,3,b,=-,7,a,+,7,b,18/29,题型一,题型二,题型三,题型四,19/29,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),解,k,a,+,b,与,a,+k,b,共线,且,a,+k,b,0,存在实数,使,k,a,+,b,=,(,a,+k,b,),即,k,a,+,b,=,a,+k,b,.,(,k-,),a,=,(,k-,1),b,.,a,b,是不共线两个非零向量,k-=k-,1,=,0,.,k,2,-,1,=,0,.,k=,1,.,20
6、/29,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,证实三点共线问题,可用向量共线来处理,但应注意向量共线与三点共线区分与联络,.,当两个向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,.,2,.,要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线其它向量,要注意待定系数法利用和方程思想利用,.,21/29,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),解,a,与,b,是共线向量,且,b,0,a,=,b,2,e,1,-,e,2,=,(,k,e,1,+,e,2,),(2,-k,),e,1,+,(,-,1,-,),e,2,=,0,.,又,e,1,e,2,不共线,2,-k=,0,-,1,-=,0,k=-,
7、2,.,故实数,k,值为,-,2,.,22/29,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,未正确了解向量共线定理而致误,【例,4,】,判断向量,a=-,2,e,b=,4,e,是否共线,.,错解,:,a,=-,2,e,b,=,4,e,b=-,2,a,.,存在实数,-,2,使,b=-,2,a,a,与,b,共线,.,错因分析,:,上述解法不全方面,出现这种情况原因是对向量共线判定定理了解不透彻,忽略了对,e,讨论,.,正解,:,当,e,=,0,时,a=0,b=0,a,与,b,共线,.,当,e,0,时,b=-,2,a,存在唯一实数,-,2,使,b=-,2,a.,a,与,b,共线,.,总而言之,a,与,b,共线,.,23/29,1,2,3,4,5,6,答案,:,B,24/29,1,2,3,4,5,2.,已知,R,则下面结论中正确是,(,),A,.,a,与,a,同向,B,.,0,a,=,0,C,.,a,+,a,=,(,+,),a,D,.,若,b,=,a,则,|,b,|=|,a,|,答案,:,C,6,25/29,1,2,3,4,5,6,答案,:,C,26/29,1,2,3,4,5,6,27/29,1,2,3,4,5,6,答案,:,-,8,28/29,1,2,3,4,5,6,29/29,
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