高中数学第二章数列本章整合省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

本章整合,本章整合,第二章 数列,1/35,2/35,专题一,专题二,专题三,专题一,数列通项公式求法,数列通项公式是给出数列主要方式,其本质就是函数解析式,.,围绕数列通项公式,不但能够判断数列类型,研究数列项改变趋势与规律,而且有利于求数列前,n,项和,.,求数列通项公式是数列关键问题之一,下面介绍几个惯用求法,.,1,.,观察归纳法,观察归纳法就是观察数列特征,找出各项共同组成规律,横向看各项之间关系,纵向看各项与项数,n,内在联络,从而归纳出数列通项公式,.,3/35,专题一,专题二,专题三,4/35,专题一,专题二,专题三,5/35,专题一,专题二,专题三,2,.,利用a,n,与,S,n,关系求通项,a,n,与前,n,项和,S,n,关系式有两种形式,:,一个是,S,n,与,n,关系式,记为,S,n,=f,(,n,),可由公式,直接求出通项,a,n,但要注意,n=,1,与,n,2,两种情况能否统一,;,另一个是,S,n,与,a,n,关系式,记为,f,(,a,n,S,n,),=,0,此时,利用,a,n,与,S,n,关系将已知关系式转化为关于,a,n,关系式或关于,S,n,关系式,再求,a,n,或,S,n,.,若求出是,S,n,需再一次利用,a,n,与,S,n,关系求,a,n,.,6/35,应用,2,已知数列,a,n,中,a,n,0,S,n,是数列,a,n,前,n,项和,且,将,a,n,=S,n,-S,n-,1,(,n,2),代入并化简,得,由已知可求得,S,1,=a,1,=,1,.,数列,是等差数列,公差为,1,首项为,1,.,=,1,+,(,n-,1)1,=n.,a,n,0,S,n,0,.,S,n,=,n,2,时,而,n=,1,时,a,1,=,1,也适合上式,.,数列,a,n,通项公式为,n,N,*,.,专题一,专题二,专题三,7/35,专题一,专题二,专题三,3,.,已知递推关系求通项公式,(,一,),累加法,对于由形如,a,n+,1,-a,n,=f,(,n,),型递推公式求通项公式,(1),当,f,(,n,),=d,为常数时,a,n,为等差数列,则,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,;,(2),当,f,(,n,),为关于,n,函数时,用累加法,.,方法以下,由,a,n+,1,-a,n,=f,(,n,),得,当,n,2,时,a,n,-a,n-,1,=f,(,n-,1),a,n-,1,-a,n-,2,=f,(,n-,2),a,3,-a,2,=f,(2),a,2,-a,1,=f,(1),.,8/35,专题一,专题二,专题三,以上,n-,1,个等式累加得,a,n,-a,1,=f,(,n-,1),+f,(,n-,2),+,+f,(2),+f,(1),为了书写方便,也能够用横式来写,:,当,n,2,时,a,n,-a,n-,1,=f,(n-,1),a,n,=,(,a,n,-a,n-,1,),+,(,a,n-,1,-a,n-,2,),+,+,(,a,2,-a,1,),+a,1,=f,(,n-,1),+f,(,n-,2),+,+f,(2),+f,(1),+a,1,.,9/35,专题一,专题二,专题三,(3),已知,a,1,=a,a,n+,1,-a,n,=f,(,n,),其中,f,(,n,),能够是关于,n,一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项,a,n,.,若,f,(,n,),是关于,n,一次函数,累加后可转化为等差数列求和,;,若,f,(,n,),是关于,n,二次函数,累加后可分组求和,;,若,f,(,n,),是关于n,指数函数,累加后可转化为等比数列求和,;,若,f,(,n,),是关于,n,分式函数,累加后可裂项求和,.,10/35,专题一,专题二,专题三,应用,3,已知数列,a,n,中,a,1,=,1,且,a,n+,1,-a,n,=,3,n,-n,求数列,a,n,通项公式,.,分析,:,因为本例给出了数列,a,n,中连续两项差,故可考虑用累加法求解,解,:,由,a,n+,1,-a,n,=,3,n,-n,得,a,n,-a,n-,1,=,3,n-,1,-,(,n-,1),a,n-,1,-a,n-,2,=,3,n-,2,-,(,n-,2),a,3,-a,2,=,3,2,-,2,a,2,-a,1,=,3,-1,.,当,n,2,时,以上,n-,1,个等式两端分别相加,得,(,a,n,-a,n-,1,),+,(,a,n-,1,-a,n-,2,),+,+,(,a,2,-a,1,),=,3,n-,1,+,3,n-,2,+,+,3,-,(,n-,1),+,(,n-,2),+,+,1,11/35,专题一,专题二,专题三,12/35,专题一,专题二,专题三,13/35,专题一,专题二,专题三,14/35,专题一,专题二,专题三,15/35,专题一,专题二,专题三,16/35,专题一,专题二,专题三,(2),a,n+,1,=,3,a,n,+,2,a,n+,1,+,1,=,3(,a,n,+,1),.,又,a,11,=,20,数列,a,n,+,1,是首项为,2,公比为,3,等比数列,.,a,n,+,1,=,23,n-,1,.,a,n,=,23,n-,1,-,1,.,方法总结,若所给递推公式形如,a,n+,1,=ka,n,+m,则可结构,a,n+,1,+p=k,(,a,n,+p,),即结构等比数列,a,n,+p,经过求,a,n,+p,求出,a,n,.,17/35,专题一,专题二,专题三,(,四,),奇偶分析法,(1),假如数列递推公式为,a,n+,1,+a,n,=c,(,c,为常数,),-,得,a,n+,1,=a,n-,1,数列隔项相等,.,它是一个周期数列,周期为,2,其通项分奇数项和偶数项讨论即,a,1,=a,3,=a,5,=,;,a,2,=a,4,=a,6,=,.,a,2,n,=c-a,1,;,a,2,n+,1,=a,1,(,n=,1,2,),.,18/35,专题一,专题二,专题三,19/35,专题一,专题二,专题三,20/35,专题一,专题二,专题三,应用,6,数列,a,n,满足,a,n,=,2,a,n-,1,+,2,n,-,1(,n,2),且,a,4,=,81,.,(1),求,:,a,1,a,2,a,3,.,(2),是否存在一个实数,使数列,为等差数列,?,若存在,求出,值及,a,n,;,若不存在,说明理由,.,解,:,(1),由,a,4,=,2,a,3,+,2,4,-1,=,81,得,a,3,=,33,.,由,a,3,=,2,a,2,+,2,3,-,1,=,33,得,a,2,=,13,.,由,a,2,=,2,a,1,+,2,2,-,1,=,13,得,a,1,=,5,.,21/35,专题一,专题二,专题三,22/35,专题一,专题二,专题三,应用,7,已知数列,a,n,a,1,=,2,a,n+,1,+a,n,=,2,n-,1,求通项公式,a,n,.,解,:,由已知,a,2,+a,1,=,2,-,1,=,1,a,1,=,2,a,2,=-,1,.,a,n+,1,+a,n,=,2,n-,1,a,n+,2,+a,n+,1,=,2(,n+,1),-,1,-,得,a,n+,2,-a,n,=,2,.,数列,a,n,奇数项和偶数项分别成公差为,2,等差数列,.,23/35,专题一,专题二,专题三,专题二,以数阵为背景数列问题,所谓数阵是指将一些数按一定规律排成若干行和列,形成图表,也称之为数表,.,数阵不但有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形,甚至几个图形组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人,.,在我们日常解题中最常见是前两种,.,数阵中数是按一定规律排成若干行和列,比较多见是排成等差数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列相关知识,有时也会出现其它类型数列,.,处理这类问题关键是找出其中规律,这就要求考生含有较强观察分析、归纳猜测能力以及对数列知识融合迁移能力,.,下面详细讨论一下它几个题型,.,24/35,专题一,专题二,专题三,应用,8,如图所表示数阵,第,n,行最右边数是,.,解析,:,设第,n,行左边第一个数为,a,n,则,a,1,=,1,a,2,=,3,=a,1,+,2,1,a,3,=,7,=a,2,+,2,2,a,n,=a,n-,1,+,2(,n-,1),把这些式子左右两边分别相加,得,a,n,=n,2,-n+,1,.,又每一行都是公差为,2,等差数列,且第,n,行有,n,个数,则第,n,行最右边数是,(,n,2,-n+,1),+,(,n-,1),2,=n,2,+n-,1,.,答案,:,n,2,+n-,125/35,专题一,专题二,专题三,应用,9,德国数学家莱布尼兹发觉了如图所表示单位分数三角形,(,单位分数是分子为,1,、分母为正整数分数,),称为莱布尼兹三角形,.,依据前,5,行规律,写出第,6,行数从左到右依次是,.,26/35,专题一,专题二,专题三,应用,1,0,给定,81,个数排成数阵如图所表示,若每一行、每一列都组成等差数列,且正中间一个数,a,55,=,5,则此数阵中全部数之和为,.,27/35,专题一,专题二,专题三,解析,:,因为每一行都成等差数列,同理可得,a,21,+a,22,+,+a,29,=,9,a,25,a,91,+a,92,+,+a,99,=,9,a,95,又每一列都成等差数列,则此数阵中全部数之和,S=,(,a,11,+a,12,+,+a,19,),+,(,a,21,+a,22,+,+a,29,),+,+,(,a,91,+a,92,+,+a,99,),=,9(,a,15,+a,25,+,+a,95,),=,9(9,a,55,),=,81,a,55,=,81,5,=,405,.,答案,:,405,28/35,专题一,专题二,专题三,专题三,数学思想方法应用,1,.,函数思想,数列是特殊函数,用函数观点认识数列和处理数列问题,现有利于了解和掌握数列基本概念和性质,又有利于处理问题,比如求等差数列前,n,项和,S,n,最值时,常转化为求关于,n,二次函数最值,或用数形结合或利用函数图象来求值,.,29/35,专题一,专题二,专题三,应用,1,1,已知函数,f,(,x,),=,且数列,f,(,a,n,),是首项为,2,公差为,2,等差数列,.,(1),求证,:,数列,a,n,是等比数列,;,(2),设,b,n,=a,n,f,(,a,n,),求数列,b,n,前,n,项和,S,n,最小值,.,(1),证实,:,由题意知,f,(,a,n,),=,2,+,(,n-,1),2,=,2,n,数列,a,n,是以,2,为首项,2,为公比等比数列,.,30/35,专题一,专题二,专题三,(2),解,:,由,(1),知,b,n,=a,n,f,(,a,n,)n,2,n+,1,S,n,=,12,2,+,22,3,+,32,4,+,42,5,+,+n,2,n+,1,2,S,n,=,12,3,+,22,4,+,32,5,+,+n,2,n+,2,.,-,得,S,n,=-,2,2,-,2,3,-,2,4,-,-,2,n+,1,+n,2,n+,2,S,n,=,(,n-,1)2,n+,2,+,4,.,S,n,是递增数列,S,n,最小值等于,S,1,=,4,.,31/35,专题一,专题二,专题三,2,.,方程思想,等差,(,比,),数列通项公式与前,n,项和公式中含有,a,1,n,d,(,q,),a,n,S,n,这五个基本量,已知其中任意三个,经过解方程能够求出其余两个,.,应用,1,2,等比数列,a,n,前,n,项和为,S,n,已知,S,1,2,S,2,3,S,3,成等差数列,则,a,n,公比,q,为,.,解析,:,等比数列,a,n,前,n,项和为,S,n,由,S,1,2,S,2,3,S,3,成等差数列,a,n,=a,1,q,n-,1,得,4,S,2,=S,1,+,3,S,3,即,4(,a,1,+a,1,q,),=a,1,+,3(,a,1,+a,1,q+a,1,q,2,),32/35,专题一,专题二,专题三,3,.,分类讨论思想,当数列问题所给对象不宜进行统一研究或推理时,需经过分类来处理,如利用等比数列求和公式时,需对,q,分,q=,1,和,q,1,两种情况进行讨论,;,a,n,与,S,n,关系需分,n=,1,和,n,2,两种情况讨论,;,等差数列单调性需分,d,0,d=,0,和,d,0(,或,a,1,1,q=,1,0,q,1,q,0,四种情况讨论,.,33/35,专题一,专题二,专题三,应用,1,3,数列,a,n,前,n,项和为,S,n,a,1,=,1,a,n+,1,=,2,S,n,(,n,N,*,),.,(1),求数列,a,n,通项,a,n,;,(2),求数列,na,n,前,n,项和,T,n,.,解,:,(1),a,n+,1,=,2,S,n,S,n+,1,-S,n,=,2,S,n,.,又,S,1,=a,1,=,1,数列,S,n是首项为,1,公比为,3,等比数列,S,n,=,3,n-,1,(,n,N,*,),.,当,n,2,时,a,n,=,2,S,n-,1,=,23,n-,2,(,n,2),34/35,专题一,专题二,专题三,(2),T,n,=a,1,+,2,a,2,+,3,a,3,+,+na,n,.,当,n=,1,时,T,1,=,1;,当,n,2,时,T,n,=,1,+,43,0,+,63,1,+,+,2,n,3,n-,2,3,T,n,=,3,+,43,1,+,63,2,+,+,2,n,3,n-,1,-,得,-,2,T,n,=-,2,+,4,+,2(3,1,+,3,2,+,+,3,n-,2,),-,2,n,3,n-,1,又,T,1,=a,1,=,1,也满足上式,35/35,