高中数学第二章平面解析几何2.3.1圆的标准方程省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

2,.,3,.,1,圆标准方程,1/30,2/30,一,二,三,一、圆定义,【问题思索】,1,.,填空,:,平面内到一定点距离等于定长点,轨迹,是圆,定点是,圆心,定长是圆,半径,.,设,M,(,x,y,),是,C,上任意一点,点,M,在,C,上条件是,|CM|=r,r,为,C,半径,.,2,.,平面内到一个定点距离小于或等于定长点集合是什么,?,提醒,:,是一个以定点为圆心,以定长为半径圆面,.,3/30,一,二,三,二、圆方程,【问题思索】,1,.,在平面直角坐标系中,圆是函数图象吗,?,提醒,:,依据函数知识,对于平面直角坐标系中某一曲线,假如垂直于,x,轴直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数图象,不然,不是函数图象,.,对于平面直角坐标系中圆,垂直于,x,轴直线与其至多有两个交点,所以圆不是函数图象,.,2,.,填空,:(1),圆心在坐标原点,半径为,r,圆标准方程为,x,2,+y,2,=r,2,.,(2),圆心坐标为,(,a,b,),半径为,r,圆标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,.,4/30,一,二,三,答案,:,A,5/30,一,二,三,三、点与圆位置关系,【问题思索】,1,.,用数形结合思想方法说明直线,y=k,(,x-,3),与圆,x,2,+y,2,=,16,位置关系怎样,?,提醒,:,相交,.,因为直线,y=k,(,x-,3),恒过定点,(3,0),又点,(3,0),在圆,x,2,+y,2,=,16,内部,故直线与圆是相交,.,2,.,填空,:,设点,P,(,x,0,y,0,),和圆,C,:(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,则,:,点,P,在圆,上,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,=r,2,|PC|=r,;,点,P,在圆,外,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,r,2,|PC|r,;,点,P,在圆,内,(,x,0,-a,),2,+,(,y,0,-b,),2,r,2,|PC|,4,所以,a,1,或,a,0),图象是以,(,a,b,),为圆心,半径为,r,位于直线,y=b,下方半圆弧,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),8/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,直接法求圆标准方程,【例,1,】,(1),圆心是,C,(,-,3,4),半径长为,5,圆方程为,(,),A.(,x-,3),2,+,(,y+,4),2,=,5,B.(,x-,3),2,+,(,y+,4),2,=,25,C.(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,5,D.(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,25,(2),已知点,A,(,-,4,-,5),B,(6,-,1),则以线段,AB,为直径圆方程为,.,解析,:,(1),因为圆心是,C,(,-,3,4),半径长为,5,所以圆方程为,(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,25,.,(2),AB,中点坐标即为圆心坐标,C,(1,-,3),又圆半径,r=|AC|=,所以所求圆方程为,(,x-,1),2,+,(,y+,3),2,=,29,.,答案,:,(1)D,(2)(,x-,1),2,+,(,y+,3),2,=,29,9/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,经过以上例题可总结出以下规律,:,(1),由圆标准方程,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,可知,圆心为,(,a,b,),半径为,r,它表达了圆几何性质,;,圆标准方程,(,xa,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,中有三个参数,a,b,r,只要求出,a,b,r,圆方程也就确定了,所以确定圆方程需三个独立条件,其中圆心是圆定位条件,半径是圆定形条件,.,(2),几个特殊形式圆标准方程,10/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,11/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,1,圆心为,(1,1),且过原点圆方程是,(,),A.(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,1,B.(,x+,1),2,+,(,y+,1),2,=,1,C.(,x+,1),2,+,(,y+,1),2,=,2,D.(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,2,解析圆半径,r=,圆心坐标为,(1,1),所以圆标准方程为,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=,2,.,答案,:,D,12/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,待定系数法求圆标准方程,【例,2,】,求以下圆方程,:,(1),圆心在直线,y=-,2,x,上,且与直线,y=,1,-x,相切于点,(2,-,1);,(2),圆心,C,(3,0),且截直线,y=x+,1,所得弦长为,4,.,(3),已知一个圆关于直线,2,x+,3,y-,6,=,0,对称,且经过点,A,(3,2),B,(1,-,4),.,思绪分析,:,利用圆标准方程,把条件转化为关于圆心和半径方程组来求解,.,解,:,1),设圆心为,(,a,-,2,a,),半径为,r,则圆方程为,(,x-a,),2,+,(,y+,2,a,),2,=r,2,.,所以所求圆方程为,(,x-,1),2,+,(,y+,2),2,=,2,.,13/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2),设圆半径为,r,则圆方程为,(,x-,3),2,+y,2,=r,2,利用点到直线距离公式能够求得,所以所求圆方程为,(,x-,3),2,+y,2,=,12,.,14/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,即,x+,3,y+,1,=,0,.,因为圆心在弦,AB,垂直平分线上,也在对称轴上,15/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,1,.,待定系数法求圆标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于,a,b,r,方程组,求出,a,b,r.,普通步骤以下,:,(1),依据题意,设所求圆标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,;,(2),依据已知条件,建立关于,a,b,r,方程组,;,(3),解方程组,求出,a,b,r,代入圆方程中,求出圆标准方程,.,2,.,有时求圆方程时,用上初中所学圆几何性质往往使问题轻易处理,.,圆惯用几何性质以下,:,(1),圆心在过切点,且与切线垂直直线上,;,(2),圆心必是两条不平行弦中垂线交点,;,(3),不过圆心弦,弦心距,d,半弦长,m,及半径,r,满足,r,2,d,2,+m,2,;,(4),直径所正确圆周角是,90,即圆直径两端点与圆周上异于端点任意一点连线相互垂直,.,16/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,2,求圆心在直线,x-,2,y-,3,=,0,上,且过点,A,(2,-,3),B,(,-,2,-,5),圆标准方程,.,解,:,设点,C,为圆心,因为点,C,在直线,l,:,x-,2,y-,3,=,0,上,所以可设点,C,坐标为,(2,a+,3,a,),.,又因为该圆经过,A,B,两点,所以,|CA|=|CB|.,解得,a=-,2,.,所以圆心坐标为,C,(,-,1,-,2),半径,r=.,故所求圆标准方程为,(,x+,1),2,+,(,y+,2),2,=,10,.,17/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,点与圆位置关系,【例,3,】,已知在平面直角坐标系中有,A,(0,1),B,(2,1),C,(3,4),D,(,-,1,2),四点,这四点能否在同一个圆上,为何,?,思绪分析,:,先确定出过其中三点一个圆方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案,.,解,:,设经过,A,B,C,三点圆标准方程为,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,.,把,A,B,C,坐标分别代入,得,所以,经过,A,B,C,三点圆标准方程是,(,x-,1),2,+,(,y-,3),2,=,5,.,把点,D,坐标,(1,2),代入上述圆方程,得,(,-,1,-,1),2,+,(2,-,3),2,=,5,.,所以,点,D,在经过,A,B,C,三点圆上,即,A,B,C,D,四点在同一个圆上,.,18/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟,判断点,P,(,x,0,y,0,),与圆,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,位置关系有几何法和代数法两种,:,(1),对于几何法,主要是利用点与圆心距离与半径比较大小,;,(2),对于代数法,主要把点坐标代入圆标准方程,左端与,r,2,比较,.,19/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,试求过三点,A,(0,1),B,(2,1),C,3,4),圆方程,而且判断点,(3,6),与所求圆关系,.,解,:,所求方程同例题中结论,(,x-,1),2,+,(,y-,3),2,=,5,.,经判断,因为点,(3,6),代入圆方程左边可得,(3,-,1),2,+,(6,-,3),2,=,13,5,所以点,(3,6),在该圆外,.,20/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用数形结合思想求相关圆最值问题,【典例】,如图所表示,圆,C,:(,x-,8),2,+,(,y-,6),2,=,1,点,A,(0,-,1),B,(0,1),.,设,P,是圆上动点,令,d=|PA|,2,+|PB|,2,求,d,最大值和最小值,.,思绪点拨,:,本题考查点与圆位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,再借助图形特点处理问题,.,解,:,设点,P,坐标为,(,x,0,y,0,),所以,d=|PA|,2,+|PB|,2,因为原点,O,在圆外,点,C,坐标为,(8,6),圆半径为,1,所以,|OP|,max,=|CO|+,1,=,10,+,1,=,11,|OP|,min,=|CO|-,1,=,10,-,1,=,9,.,所以,d,max,=,2,11,2,+,2,=,244,d,min,=,2,9,2,+,2,=,164,.,21/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛,如图所表示,点,P,(,x,0,y,0,),是圆,C,:(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,(,r,0),外一点,则圆上到点,P,距离最近点为点,P,与圆,C,圆心连线与圆交点,A,圆上离点,P,最远点为点,P,与圆,C,圆心连线延长线与圆交点,B.,22/30,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,实数,x,y,满足,x,2,+y,2,=,4(,y,0),试求,m=x+y,取值范围,.,解,:,作出半圆,:,x,2,+y,2,=,4(,y,0),和动直线,l,:,y=-x+m.,如图知,在,l,与半圆有公共点前提下,当,l,与半圆相切时,纵截距最大,.,设这时切点为,B,l,与,y,轴相交于,A,则,OB,AB,|OB|=,2,OAB=,30,.,|OA|=,4,.,当,l,经过半圆与,x,轴负半轴交点,C,时,纵截距最小,.,设这时,l,与,y,轴相交于,D,点,.,|OC|=,2,CDO=,30,.,23/30,1,2,3,4,5,6,1,.,圆,(,x-,3),2,+,(,y+,2),2,=,13,周长是,(,),答案,:,B,24/30,1,2,3,4,5,6,2,.,以点,A,(,-,5,4),为圆心,且与,x,轴相切圆标准方程为,(,),A.(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,16,B.(,x-,5),2,+,(,y+,4),2,=,16,C.(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,25D.(,x-,5),2,+,(,y+,4),2,=,25,解析,:,因为圆与,x,轴相切,所以半径,r=,4,.,所以圆标准方程为,(,x+,5),2,+,(,y-,4),2,=,16,.,答案,:,A,25/30,1,2,3,4,5,6,3,.,圆,(,x+,2),2,+y,2,=,5,关于原点,(0,0),对称圆方程为,(,),A.(,x-,2),2,+y,2,=,5B.,x,2,+,(,y-,2),2,=,5,C.(,x+,2),2,+,(,y+,2),2,=,5D.,x,2,+,(,y+,2),2,=,5,解析,:,求圆关于某点或某直线对称图形方程,主要是求圆心关于点或直线对称点,.易求得圆心,(,-,2,0),关于,(0,0),对称点为,(2,0),则所求圆方程为,(,x-,2),2,+y,2,=,5,.,答案,:,A,26/30,1,2,3,4,5,6,A.,一条射线,B.,一个圆,C.,两条射线,D.,半个圆,答案,:,D,27/30,1,2,3,4,5,6,5,.,已知圆,C,经过,A,(5,1),B,(1,3),两点,圆心在,x,轴上,则,C,方程为,.,解得,a=,2,所以圆心为,(2,0),半径为,.,所以圆,C,方程为,(,x-,2),2,+y,2,=,10,.,答案,:,(,x-,2),2,+y,2,=,10,28/30,1,2,3,4,5,6,6,.,一圆过原点,O,和点,P,(1,3),圆心在直线,y=x+,2,上,求此圆方程,.,解,:,(,方法一,),因为圆心在直线,y=x+,2,上,所以设圆心坐标为,(,a,a+,2),.,则圆方程为,(,x-a,),2,+,(,y-a-,2),2,=r,2,因为点,O,(0,0),和,P,(1,3),在圆上,29/30,1,2,3,4,5,6,30/30,