随机事件的概率(0002).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机事件的概率,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率,.,概率是随机事件,发生可能性大小,的度量,事件发生的可能性,越大，概率就,越大！,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额,.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员,.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度,.,一、频率及其性质,定义,次数为,频率,.,若在相同条件下进行 次试验，,其中 发生的,则称,为事件 发生的,例,1,检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取,10,件、,100,件、,20,件、,200,件、,150,件、,50,件、,300,件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表,.,10,20,50,100,150,200,300,0,1,3,5,7,11,16,0,0.050,0.060,0.050,0.047,0.055,0.053,由上表可以看出,在抽出的,件产品中,次品数,随着,的不同而取不同值,但次品频率,仅在,0.05,附近有微小变化,.,这里,0.05,就是次品频率的,稳定值,.,抽取产品总件数,次品数,次品频率,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小,.,因此，,概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似,.,概率的统计定义,定义,在相同条件下进行,n,次重复试验,若事件,A,发生的频率,随着试验次数,n,的增大而,稳定地在某个常数,P,附近摆动,则称,P,为事件,A,的,概率，,记为,P(A).,概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的,性质,:,1.,2.,3.,设,是两两不相容的事件,则,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录,.,若他射击,n,发，中靶,m,发，当,n,很大时，可用,频率,m,/,n,作为他中靶概率的估计,.,例,从某鱼池中取,100,条鱼,做上记号后再放入,该鱼池中,.,先从该池中任意捉来,40,条鱼,发现其,中两条有记号,问池内大约有多少条鱼,?,解,设池内有,条鱼,则从池中捉到一条有记号鱼,的概率为,它近似于捉到有记号鱼的频率,即,故池内大约有,2000,条鱼,.,古典概型,我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,一个袋子中装有,10,个大小、形状完全相同的球,.,将球编号为,1,10.,把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球,.,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为,10,个球中的某一个会比另一个更容易取得,.,也就是说，,10,个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为,1/10.1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10,个球中的任一个被取出的机会都是,1/10,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,我们用,i,表示取到,i,号球，,i,=1,2,10.,称这样一类随机试验为,古典概型,.,3,4,7,9,10,8,6,1,5,2,且每个样本点,(,或者说基本事件,),出现的可能性相同,.,S,=1,2,10,则该试验的样本空间,如,i=2,称这种试验模型为,等可能概型,或,古典概型,.,定义,若随机试验满足下述两个条件：,(1),它的样本空间只有有限多个样本点；,(2),每个样本点出现的可能性相同,.,则事件,A,发生的概率,称此概率为,古典概率,这种确定概率的方法称为,古典方法,.,这就把求古典概率的问题转化为对基,本事件的计数问题,.,二、古典概型中事件概率的计算,若记,A,=,摸到,2,号球,P(A)=,?,P(A)=,1/10,记,B,=,摸到红球,P(B)=,?,P(B)=,6/10,2,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,1,3,2,4,5,6,基本计数原理,1.,加法原理,设完成一件事有,m,种方式，,第一种方式有,n,1,种方法，,第二种方式有,n,2,种方法,；,第,m,种方式有,n,m,种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共,有,n,1,+,n,2,+,n,m,种方法,.,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船,.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法,?,3,+2,种方法,回答是,基本计数原理,则完成这件事共有,种不同的方法,.,2.,乘法原理,设完成一件事有,m,个步骤，,第一个步骤有,n,1,种方法，,第二个步骤有,n,2,种方法,；,第,m,个步骤有,n,m,种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有 种打扮,加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础,.,k=n,时称全排列,排列、组合的几个简单公式,1,、排列,:,从,n,个不同元素取,k,个,（,1 k n,),的不同排列总数为：,2,、组合,:,从,n,个不同元素取,k,个,（,1 k n,),的不同组合总数为：,有时记作,称为,组合系数,.,排列和组合的区别,:,顺序不同的排列视为不同的排列,而组合与顺,序无关,.,例如,从,5,个球中任取,3,个的取法共有多少种,?,答,:,共有,种取法,.,又如,1,至,5,五个数字可组成多少个没有重复数字的位数,?,答,:,总共可以组成,个没有重复数字的三,位数,.,例,掷一颗匀称骰子,或五点”,设,表示所掷结果为,“,四点,表示所掷结果为,“,偶数点”,求,和,解,得,例,一个袋子中装有,10,个大小相同的球,其中,3,个黑球,7,个白球,求,:,(,1,),从袋子中任取一球,这个球是黑球的概率,;,(,2,),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,(,1,),解,10,个球中任取一个,共有,种,.,从,而根据古典概率计算,事件,“,取到的球为黑球”,的概率为,以及两个球全是黑球的概率,.,例,2,一个袋子中装有,10,个大小相同的球,其中,3,个黑球,7,个白球,求,:,(,2,),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,解,以及两个球全是黑球的概率,.,(,2,),10,个球中任取两球的取法有,种,其中,刚好一个白球,一个黑球的取法有,种取法,两个球均是黑球的取法有,种,记,为,好取到一个白球一个黑球”,为,为黑球”,则,事件“刚,事件“两个球均,解,(,2,),10,个球中任取两球的取法有,种,其中,刚好一个白球,一个黑球的取法有,种取法,两个球均是黑球的取法有,种,记,为事件,好取到一个白球一个黑球”,为事件,为黑球”,则,“,刚,“,两个球均,例,求下列各事件的概率,:,将标号为,1,2,3,4,的四个球,随意地排成一行,(,1,),(,3,),(,2,),各球自左至右或自右至左,顺序,;,第,1,号球排在最右边或最左边,;,第,1,号球与第,2,号球相邻,;,1,2,3,4,的,恰好排成,解,将,4,个球随意地排成一行有,4!24,种排法,基本事件总数为,24,.,记,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),的事件,别为,即,分,(,2,),(1),中有两种排法,故有,中有,种排法,故有,(3),先将第,1,2,号球排在任意相邻两个位置,共有,种排法,其余两个球可在其余两个位置任意排,放,共有,2!,种排法,因而,有,种排法,故,例,4,将,3,个球随即放入,4,个杯子中,问杯子中,的个数最多为,1,2,3,的概率各是多少,?,解,设,分别表示,1,2,3,的事件,.,我们认为球是可以区分的,于是,球过程的所有可能结果数为,(,1,),所含的基本事件数,:,即是从,4,个杯子中任选,3,个杯子,每个杯子放入一个球,杯子的选法有,种,球的放法有,3!,种,故,放,球,杯子中的最多球数分别为,解,(,2,),所含的基本事件数,:,由于杯子中的最,多球数是,3,即,3,个球放在同一个杯子中,故,种放法,共有,4,(,3,),由于三个球放在,4,个杯子中,为,显然,且,互不相容,故,的各种可能放法,事件,概率的性质,性质,1,性质,2,(,有限可加性,),设,是两两不相,容的事件，,则有,性质,3,性质,4,特别地，,若,则,(1),(2),性质,5,对任一事件,A,，,性质,6,注,：,性质,6,可推广到任意有限个事件的并的情形,.,例如,例,已知,求,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),解,(,1,),因为,且,与,是不,相容的,故有,于是,(,2,),例,已知,求,(,3,),(,4,),解,(,3,),(4),完,例,6,某城市中发行,2,种报纸,经调查,在这,2,种报纸的订户中,订阅,报的有,45,%,订阅,报的有,35,%,同时订阅,2,种报纸,的有,10%,求只订一种报纸的概率,解,记事件,则,只订一种报,又这两件事是互不相容的,由概率加法公式及性,质,4,有,