高中数学第二章参数方程2.4平摆线和渐开线省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

4,平摆线和渐开线,-,*,-,-,*,-,4,平摆线和渐开线,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,-,*,-,4,平摆线和渐开线,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,-,*,-,4,平摆线和渐开线,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,-,*,-,4,平摆线和渐开线,X,INZHIDAOXUE,新知导学,D,ANGTANGJIANCE,当堂检测,D,AYIJIEHUO,答疑解惑,首页,4,平摆线和渐开线,1/28,2/28,一,二,一、平摆线,1,.,平摆线,(,旋轮线,),一个圆在平面上沿着一条,直线,无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点运动轨迹叫作平摆线,(,或旋轮线,),如图,.,2,.,平摆线,(,旋轮线,),参数方程,半径为,r,圆在,x,轴上滚动,起点为原点,O,它平摆线参数方程,为,3/28,一,二,3,.,平摆线性质,当圆滚动半周时,过定点,M,半径转过角度是,点,M,抵达最高点,(,r,2,r,),再滚动半周,点,M,抵达,(2,r,0),这时圆周和,x,轴又相切于点,M,得到平摆线一拱,.,圆滚动一周时平摆线出现一个周期,.,平摆线上点纵坐标最大值是,2,r,最小值是,0,即平摆线拱高为,2,r,.,4/28,一,二,名师点拨,1,.,摆线特征,圆摆线每一拱宽度等于圆周长,拱高等于圆直径,(,摆线在它与定直线两个相邻交点之间部分叫作一个拱,),.,2,.,圆平摆线参数方程中参数几何意义,依据圆平摆线定义和建立参数方程过程,能够知道其中字母,r,是指圆半径,参数,是过圆周上点,M,半径与过圆与,x,轴切点半径夹角,.,参数几何意义能够在处理问题中加以引用,简化运算过程,.,当然这个几何意义还不是很显著,直接使用还要注意其取值详细情况,.,5/28,一,二,答案：,C,6/28,一,二,二、渐开线,1,.,渐开线、基圆,把一条没有弹性细绳绕在一个固定圆盘圆周上,将铅笔系在绳外端,把绳拉紧逐步地展开,要求绳拉直部分和圆保持,相切,此时,铅笔尖所画出曲线称为此圆,渐开线,此圆称为渐开线,基圆,如图所表示,.,7/28,一,二,2,.,渐开线参数方程,半径为,r,圆渐开线参数方程是,名师点拨,1,.,圆渐开线特征,(1),圆渐开线实质是直线在圆上滚动时直线上定点轨迹,.,(2),发生线沿基圆滚过长度,等于基圆上被滚过圆弧长度,.,(3),基圆大小不等渐开线形状不一样,普通基圆越大,它渐开线越趋平直,.,(4),基圆以内无渐开线,.,8/28,一,二,2,.,圆渐开线参数方程中参数几何意义依据渐开线定义和求解参数方程过程,可知其中字母,r,是指基圆半径,而参数,是指绳子外端运动时,半径,OB,相对于,Ox,转过角度,如图所表示,其中,AOB,即是角,.,显然点,P,由参数,唯一确定,.,在我们处理相关问题时能够适当利用其几何意义,把点坐标转化为与三角函数相关问题,使求解过程愈加简单,.,9/28,一,二,做一做,2,半径为,1,圆渐开线参数方程为,(,),答案：,C,10/28,一,二,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),只有圆才有渐开线,.,(,),(2),渐开线和摆线定义是一样,只是绘图方法不一样,所以才能得到不一样图形),(3),对于同一个圆,假如建立直角坐标系位置不一样,那么画出渐开线形状就不一样,.,(,),(4),在求圆平摆线和渐开线方程时,假如建立坐标系原点和坐标轴选取不一样,那么可能会得到不一样参数方程,.,(,),11/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求平摆线参数方程,【例,1,】,已知一个圆平摆线过一定点,(2,0),请写出该圆半径最大时该平摆线参数方程,.,分析：,依据圆平摆线参数方程,(,-,0,即得,cos,=,1,所以,=,2,k,(,k,Z,),.,代入,x=r,(,-,sin,),得,x=r,(2,k,-,sin,2,k,),.,又因为,x=,2,所以,r,(2,k,-,sin,2,k,),=,2,13/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思领悟,1,.,圆平摆线实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点轨迹,.,2,.,在圆平摆线中,圆周上定点,M,位置也能够由圆心角唯一确定,.,14/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,已知一个圆平摆线过一定点,(1,0),请写出该摆线参数方程,.,15/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求渐开线参数方程,【例,2,】,有一标准渐开线齿轮,齿轮齿廓线基圆直径为,32 mm,求齿廓线渐开线参数方程,.,解：,因为基圆直径为,32,mm,所以基圆半径为,16,mm,所以齿廓线渐开线参数方程为,16/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思领悟,处理这类问题关键是依据渐开线形成过程,将问题归结到用向量知识和三角相关知识建立等式关系,.,用向量方法建立运动轨迹曲线参数方程过程和步骤,:,(1),建立适当坐标系,设轨迹曲线上动点为,M,(,x,y,);,(2),取定运动中产生某一角度为参数,;,(3),用三角、几何知识写出相关向量坐标表示式,;,(4),用向量运算得到,M,(,x,y,),坐标表示式,由此得到轨迹曲线参数方程,.,17/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知圆直径为,2,其渐开线上两点,A,B,对应标准形式参数方程中参数分别是,求A,B,两点坐标,.,18/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,平摆线、渐开线参数方程应用,【例,3,】导学号,64470043,设圆半径为,8,沿,x,轴正向滚动,开始时圆与,x,轴相切于原点,O,记圆上动点为,M,它随圆滚动而改变位置,写出圆滚动一周时,M,点轨迹方程,画出对应曲线,求此曲线上点纵坐标,y,最大值,说明该曲线对称轴,.,分析：,本题考查摆线参数方程求法及应用,.,解答本题需要先分析题意,搞清,M,点轨迹形状,然后借助图像求得最值,.,解：,依据题意,得轨迹曲线参数方程为,当,t=,即,x=,8,时,y,有最大值,16,.,曲线对称轴为,直线,x=,8,.,19/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思领悟,摆线参数方程是三角函数形式,可考虑其性质与三角函数性质有类似地方,.,20/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,设摆线,(,t,为参数,0,t,2),与直线,y=,1,相交于,A,B,两点,求,A,B,两点间距离,.,21/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因不了解平摆线定义而致误,典例,圆半径为,r,沿,x,轴正向滚动,圆与,x,轴相切于原点,O.,圆上点,M,起始处沿顺时针已偏转,角,.,试求点,M,轨迹方程,.,错解,以原点为圆心,相互垂直两条直径分别为,x,轴和,y,轴,建立直角坐标系,设,M,(,x,y,),则有,xr,cos,y=r,sin,所以,x,2,+y,2,=r,2,.,22/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,1,.,渐开线实质是直线在圆上滚动时直线上定点轨迹,.,圆摆线实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点轨迹,.,2,.,渐开线上任一点,M,坐标由圆心角,(,以弧度为单位,),唯一确定,而在圆摆线中,圆周上定点,M,位置也能够由圆心角,唯一确定,.,23/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,假如半径为,3,圆平摆线上某点对应参数,=,那么该点坐标为,.,24/28,1 2 3 4,1,.,平摆线,(0,t,2),与直线,y=,2,交点直角坐标是),A.(,-,2,2)B.(3,+,2,2),C.(,-,2,2),或,(3,+,2,2)D.(,-,3,5),答案：,C,25/28,1 2 3 4,26/28,1 2 3 4,3,.,已知半径为,3,圆平摆线上某点纵坐标为,0,则其横坐标为,.,解析：,r=,3,平摆线参数方程为,(,为参数,),.,令,y=,0,得,cos,=,1,.,=,2,k,(,k,Z,),sin,=,0,.,x=,3,-,3sin,=,6,k,(,k,Z,),.,答案：,6,k,(,k,Z,),27/28,1 2 3 4,4,.,已知圆方程为,x,2,+y,2,=,4,点,P,为其渐开线上一点,对应参数,=,则点,P,坐标为,.,答案：,(,2),28/28,