1、第十六章曲线与方程,16.1,曲线与方程,高考数学,第1页,1.“曲线方程”与“方程曲线”,在直角坐标系中,假如某曲线C(看作适合某种条件点集合或轨迹),上点与一个二元方程f(x,y)=0实数解建立了以下关系:,(1)曲线上点坐标都是这个方程解.,(2)以这个方程解为坐标点都是曲线上点.,那么,这个方程叫做曲线方程,这条曲线叫做方程曲线.,2.求动点轨迹方程步骤,(1),建系,建立适当坐标系;,知识清单,第2页,(2),设点,设轨迹上任一点P(x,y);,(3),列式,列出动点P所满足关系式;,(4),化简,依关系式特点,选取距离公式、斜率公式等将其,转化为关于x、y方程,并化简;,(
2、5),证实,证实所得方程即为符合条件动点轨迹方程.,3.求动点轨迹方程惯用方法,直接法;定义法;几何法;相关点法(代入法);参数法;交轨法.后三种统称,为间接法,表达了一个转化思想,若解题过程中引入了n个参数,则只需建,立(n-1)个方程.在探求轨迹方程过程中,需要注意是轨迹方程,“完备性”和“纯粹性”,所以,在求得轨迹方程之后,要深入地思索一,下:是否还遗漏了一些点;是否还有另一个满足条件轨迹方程存在;在,所求得轨迹方程中,x,y取值范围是否有限制.,第3页,拓展延伸,1.求轨迹方程时,要注意检验曲线上点与方程解是否为一一对,应关系,若不是,则应对方程加上一定限制条件,检验能够从以下两,个方
3、面进行:一是方程化简是否为同解变形;二是是否符合题目标实,际意义.,2.求点轨迹与求轨迹方程是不一样要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然后依据方程说明轨迹形状、位置、大小等.,第4页,利用参数法求轨迹方程惯用方法与技巧,利用参数法求轨迹方程:一是选择适当参数(能够是单参数,也能够是,双参数);二是建立参数方程后消掉参数,消参数方法有代入消参法、,加减消参法、平方消参法等.,例1在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点F,T,M,P满足,=(1,0),=,(-1,t),=,.,(1)当t改变时,求点P轨迹C方程;,(2)若过点F直线交曲线C于A,B两点,求证:直线TA,TF,TB斜率成等,差数列.,方
4、法技巧,方法,1,第5页,解析(1)设点P坐标为(x,y),由,=,得点M是线段FT中点,则M,=,=,-,=(-2,t),=(-1-x,t-y).,由,得2x+t,=0,由,得t-y=0,所以t=y.,由联立消去t,得y,2,=4x,即点P轨迹C方程为y,2,=4x.,(2)证实:设直线TA,TF,TB斜率分别为k,1,k,k,2,并记A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则有,k=-,.,设直线AB方程为x=my+1,由,得y,2,-4my-4=0,第6页,故y,1,+y,2,=4m,y,1,y,2,=-4,所以,+,=(y,1,+y,2,),2,-2y,1,y,2,=16m,2
5、8.,所以k,1,+k,2,=,+,=,=,=-t=2k.,所以直线TA,TF,TB斜率成等差数列.,第7页,轨迹方程及应用,例2(江苏赣榆高级中学月考)如图,已知圆E:(x+,),2,+y,2,=16,点F,(,0),P是圆E上任意一点,线段PF垂直平分线和半径PE相交于Q.,(1)求动点Q轨迹方程;,(2)已知A,B,C是轨迹上三个动点,A与B关于原点对称,且|CA|=|CB|,方法,2,问ABC面积是否存在最小值?若存在,求出此时点C坐标,若不存,在,请说明理由.,第8页,解析(1)连结QF.Q在线段PF垂直平分线上,所以|QP|=|QF|.,所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP
6、PE|=4,又|EF|=2,4,所以动点Q轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4椭圆.,所以:,+y,2,=1.,(2)由题意得,OCAB.当AB斜率为零时,|AB|=4,|OC|=1,S=2.当直线,AB斜率不存在时,|AB|=2,|OC|=2,S=2.,当AB斜率存在且不为零时,B与A关于原点对称,设AB:y=kx,A(x,1,y,1,),|CA|=|CB|,C在线段AB垂直平分线上,直线OC方程为:y=-,x.,第9页,(1+4k,2,),=4,|AB|=2|OA|=2,=4,同理可得|OC|=2,S=,|AB|CO|=4,=,因为,=,当且仅当k=,1时取等号,所以S,.,2,ABC面积S最小值为,此时C,或,.,第10页,
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