高中数学圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

第三章,2.3,双曲线,2.3.1,双曲线标准方程,1/52,1.,了解双曲线定义、几何图形和标准方程推导过程,.,2.,掌握双曲线标准方程及其求法,.,3.,会利用双曲线定义和标准方程处理简单问题,.,学习目标,2/52,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/52,问题导学,4/52,思索,知识点一双曲线定义,如图，若取一条拉链，拉开它一部分，在拉开两边上各选择一点，分别固定在点,F,1,，,F,2,上，把笔尖放在点,M,处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过点可画出一条曲线，那么曲线上点应满足怎样几何条件？,答案,曲线上点满足条件：,|,MF,1,|,|,MF,2,|,常数；假如改变一下笔尖位置，使,|,MF,2,|,|,MF,1,|,常数，可得到另一条曲线,.,5/52,梳理,(1),平面内与两个定点,F,1,，,F,2,距离差,等于常数,(,小于,|,F,1,F,2,|,且不等于零,),点轨迹叫做双曲线,.,这两个定点叫做双曲线,，两焦点距离叫做双曲线,；,(2),关于,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,：,若将,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,改为,“,等于,|,F,1,F,2,|,”,，其余条件不变，则动点轨迹是以,F,1,，,F,2,为端点,(,包含端点,),；,若将,“,小于,|,F,1,F,2,|,”,改为,“,大于,|,F,1,F,2,|,”,，其余条件不变，则动点轨迹不存在,.,(3),若将,“,绝对值,”,去掉，其余条件不变，则动点轨迹只有双曲线,.,(4),若常数为零，其余条件不变，则点轨迹是,.,绝对值,焦点,焦距,两条射线,一支,线段,F,1,F,2,中垂线,6/52,思索,1,知识点二双曲线标准方程,双曲线标准方程推导过程是什么？,答案,7/52,(1),建系：以直线,F,1,F,2,为,x,轴，,F,1,F,2,中点为原点建立平面直角坐标系,.,(2),设点：设,M,(,x,，,y,),是双曲线上任意一点，且双曲线焦点坐标为,F,1,(,c,0),，,F,2,(,c,0).,(3),列式：由,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,，,可得,2,a,.,(4),化简：移项，平方后可得,(,c,2,a,2,),x,2,a,2,y,2,a,2,(,c,2,a,2,).,令,c,2,a,2,b,2,，得双曲线标准方程为,(,a,0,，,b,0),8/52,(5),检验：从上述过程能够看到，双曲线上任意一点坐标都满足方程,；以方程,解,(,x,，,y,),为坐标点到双曲线两个焦点,(,c,0),，,(,c,0),距离之差绝对值为,2,a,，即以方程,解为坐标点都在双曲线上，这么，就把方程,叫做双曲线标准方程,.(,此步骤可省略,),9/52,思索,2,双曲线标准方程中两个参数,a,和,b,，确定了双曲线形状和大小，是双曲线定形条件，这里,b,2,c,2,a,2,，即,c,2,a,2,b,2,，其中,c,a,，,c,b,，,a,与,b,大小关系不确定；而在椭圆中,b,2,a,2,c,2,，即,a,2,b,2,c,2,，其中,a,b,0,，,a,c,，,c,与,b,大小关系不确定,.,双曲线中,a,，,b,，,c,关系怎样？与椭圆中,a,，,b,，,c,关系有何不一样？,答案,10/52,梳理,(1),两种形式标准方程,焦点所在坐标轴,x,轴,y,轴,标准方程,_,_,_,_,图形,焦点坐标,_,_,a，b，c关系式,_,a,2,b,2,c,2,F,1,(,c,0),，,F,2,(,c,0),F,1,(0,，,c),，,F,2,(0,，,c,),(,a,0,，,b,0),(,a,0,，,b,0),11/52,(2),焦点,F,1,，,F,2,位置是双曲线定位条件，它决定了双曲线标准方程类型,.,“,焦点跟着正项走,”,，若,x,2,项系数为正，则焦点在,上；若,y,2,项系数为正，那么焦点在,上,.,(3),当双曲线焦点位置不确定时，可设其标准方程为,Ax,2,By,2,1(,AB,0).,(4),标准方程中两个参数,a,和,b,，确定了双曲线形状和大小，是双曲线定形条件，这里,b,2,与椭圆中,b,2,相区分,.,x,轴,y,轴,c,2,a,2,a,2,c,2,12/52,题型探究,13/52,类型一双曲线定义及应用,命题角度,1,双曲线中焦点三角形面积问题,例,1,已知双曲线,左，右焦点分别是,F,1,，,F,2,，若双曲线上一点,P,使得,F,1,PF,2,60,，求,F,1,PF,2,面积,.,解答,14/52,由定义和余弦定理得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,6,，,|,F,1,F,2,|,2,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|cos 60,，,所以,10,2,(|,PF,1,|,|,PF,2,|),2,|,PF,1,|,PF,2,|,，,所以,|,PF,1,|,PF,2,|,64,，,15/52,引申探究,本例中若,F,1,PF2,90,，其它条件不变，求,F,1,PF,2,面积,.,解答,由双曲线方程知,a,3,，,b,4,，,c,5,，,由双曲线定义得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,6,，,所以,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|,36,，,在,Rt,F,1,PF,2,中，由勾股定理得,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,|,F,1,F,2,|,2,(2,c,),2,100,，,将,代入,得,|,PF,1,|,PF,2,|,32,，,16/52,求双曲线中焦点三角形面积方法,(1),方法一：,依据双曲线定义求出,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,；,利用余弦定理表示出,|,PF,1,|,，,|,PF,2,|,，,|,F,1,F,2,|,之间满足关系式；,经过配方，利用整体思想求出,|,PF,1,|,PF,2,|,值；,(2),方法,二,：,尤其提醒：,利用双曲线定义处理与焦点相关问题，一是要注意定义条件,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,变形使用，尤其是与,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,，,|,PF,1,|,PF,2,|,间关系,.,反思与感悟,17/52,跟踪训练,1,如图所表示，已知,F,1,，,F,2,分别为双曲线,左，右焦点，点,M,为双曲线上一点，而且,F,1,MF,2,，求,MF,1,F,2面积,.,解答,18/52,在,MF,1,F,2,中，由余弦定理，,得,|,F,1,F,2,|,2,|,MF,1,|,2,|,MF,2,|,2,2|,MF,1,|,MF,2,|cos,.,|,F,1,F,2,|,2,4,c,2,，,|,MF,1,|,2,|,MF,2,|,2,(|,MF,1,|,|,MF,2,|),2,2|,MF,1,|,MF,2,|,4,a,2,2|,MF,1,|,MF,2,|,，,式化为,4,c,2,4,a,2,2|,MF,1,|,MF,2,|(1,cos,),，,19/52,命题角度,2,利用双曲线定义求其标准方程,例,2,(1),已知定点,F,1,(,2,0),，,F2,(2,0),，在平面内满足以下条件动点,P,轨迹中为双曲线是,A.|,PF,1,|,|,PF,2,|,3 B.|,PF,1,|,|,PF,2,|,4,C.|,PF,1,|,|,PF,2,|,5 D.|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,4,当,|,PF,1,|,|,PF,2,|,3,时，,|,PF,1,|,|,PF,2,|,30).,判断：若,2,a,2,c,|,F,1,F,2,|,，满足定义，则动点,M,轨迹就是双曲线，且,2,c,|,F,1,F,2,|,，,b,2,c,2,a,2,，进而求出对应,a,，,b,，,c,.,依据,F,1,，,F,2,所在坐标轴写出双曲线标准方程,.反思与感悟,22/52,跟踪训练,2,以下命题是真命题是,_.(,将全部真命题序号都填上,),已知定点,F,1,(,1,0),，,F,2,(1,0),，则满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,点,P,轨迹为双曲线；,已知定点,F,1,(,2,0),，,F,2,(2,0),，则满足,|,PF,1,|,|,PF,2,|,4,点,P,轨迹为两条射线；,到定点,F,1,(,3,0),，,F,2,(3,0),距离之差绝对值等于,7,点,P,轨迹为双曲线；,若点,P,到定点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),距离差绝对值等于点,M,(1,2),到点,N,(,3,，,1),距离，则点,P,轨迹为双曲线,.,答案,解析,23/52,6,，故点,P,轨迹不存在；,点,M,(1,，,2),到点,N,(,3,，,1),距离为,58,，故点,P,轨迹是以,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),为焦点双曲线,.,24/52,类型二待定系数法求双曲线标准方程,例,3,(1),已知双曲线焦点在,y,轴上，而且双曲线过点,(3,，,4 ),和,，求双曲线标准方程；,解答,25/52,26/52,解答,27/52,28/52,待定系数法求方程步骤,(1),定型：即确定双曲线焦点所在坐标轴是,x,轴还是,y,轴,.,(2),设方程：依据焦点位置设出对应标准方程形式，,若不知道焦点位置，则进行讨论，或设双曲线方程为,Ax,2,By,2,1(,AB,0).,(3),计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值,.,(4),结论：写出双曲线标准方程,.,反思与感悟,29/52,跟踪训练,3,依据条件求双曲线标准方程,.,(1),c,，经过点,A,(,5,2),，焦点在,x,轴上；,解答,30/52,设双曲线方程为,mx,2,ny,2,1(,mn,2,c,),|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,(|,F,1,F,2,|,2,c,2,a,b,0),(,a,0,，,b,0),图形特征,封闭连续曲线,分两支，不封闭，不连续,依据标准方程确定,a，b方法,以大小分,a,，,b,(,如,中，,94,，则,a,2,9,，,b,2,4),以正负分,a,，,b,(,如,中，,40,，,9,b,0),含有性质：若,M,，,N,是椭圆,C,上关于原点对称两点，点,P,是椭圆,C,上任意一点，设直线,PM,，,PN,斜率都存在，并记为,k,PM,，,k,PN,，那么,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,位置无关定值,.,试对,双曲线,C,：,写出含有类似特殊性质，并加以证实,.,解答,39/52,类似性质以下：,若,M,，,N,为双曲线,上关于原点对称两点，点,P,是双曲线上任意一点，设直线,PM,，,PN,斜率都存在，并记为,k,PM,，,k,PN,，那么,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,位置无关定值,.,其证实过程以下：,设,P,(,x,，,y,),，,M,(,m,，,n,),，则,N,(,m,，,n,),，,故,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,位置无关定值,.,40/52,当堂训练,41/52,由双曲线定义得,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,6,，,即,|3,|,PF,2,|,6,，解得,|,PF,2,|,9(,负值舍去,),，故选,B.,1.,若双曲线,E,：,左，右焦点分别为,F,1,，,F,2,，点,P,在双曲线,E,上，且,|,PF,1,|,3,，则,|,PF,2,|,等于,A.11 B.9 C.5 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,42/52,2.,设,F,1,，,F,2,分别是双曲线,x,2,1,左，右焦点，,P,是双曲线上一点，且,3|,PF,1,|,4|,PF,2,|,，则,PF,1,F,2,面积等于,答案,解析,1,2,3,4,5,又由,|,F,1,F,2,|,10,可得,PF,1,F,2,是直角三角形，,43/52,1,2,3,4,5,3.,已知圆,C,：,x,2,y,2,6,x,4,y,8,0,，以圆,C,与坐标轴交点分别作为双,曲线一个焦点和顶点，则所得双曲线标准方程为,_.,答案,解析,44/52,1,2,3,4,5,令,x,0,，得,y,2,4,y,8,0,，方程无解，即该圆与,y,轴无交点,.,令y,0,，得,x,2,6,x,8,0,，解得,x,2,或,x,4,，,则符合条件双曲线中,a,2,，,c,4,，,b,2,c,2,a,2,16,4,12,，且焦点在,x,轴上，,45/52,1,2,3,4,5,4.,已知双曲线,2,x,2,y,2,k,(,k,0),焦距为,6,，则,k,值为,_.,答案,解析,6,或,6,46/52,由题意知，,k,0.,解得,k,6.,综上，,k,6,或,k,6.,1,2,3,4,5,47/52,1,2,3,4,5,5.,已知双曲线,上一点,M,横坐标为,5,，则点,M,到左焦点,距离是,_.,答案,解析,48/52,1,2,3,4,5,即为点,M,到右焦点距离，由双曲线定义知点,M,到左焦点距离为,49/52,规律与方法,1.,双曲线定义了解,(1),定义中距离差要加绝对值，不然只为双曲线一支,.,设,F,1,，,F,2,表示双曲线左，右焦点，,若,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,，则点,M,在右支上；,若,|,MF,2,|,|,MF,1,|,2,a,，则点,M,在左支上,.,(2),双曲线定义双向利用：,若,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,(02,a,|,F,1,F,2,|),，则动点,M,轨迹为双曲线,.,若动点,M,在双曲线上，则,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,.,50/52,2.,求双曲线标准方程步骤,(1),定位：是指确定与坐标系相对位置，在标准方程前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程形式,.,(2),定量：是指确定,a,2,，,b,2,数值，常由条件列方程组求解,.,尤其提醒：若焦点位置不明确，应注意分类讨论，也能够设双曲线方程为,mx,2,ny,2,1,形式，为简单起见，常标明条件,mn,0.,51/52,本课结束,52/52,