高考数学复习第九章导数及其应用9.1导数的概念及几何意义导数的运算市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),第九章导数及其应用,9.1导数概念及几何意义、导数运算,1/33,(江苏,11,5分,0.77)在平面直角坐标系,xOy,中,若曲线,y,=,ax,2,+,(,a,b,为常数)过点,P,(2,-5),且该曲,线在点,P,处切线与直线7,x,+2,y,+3=0平行,则,a,+,b,值是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,-3,解析,y,=,ax,2,+,y,=2,ax,-,由题意可得,解得,a,+,b,=-3.,2/33,考点一导数概念及几何意义,1.,(课标全国文14,5分)曲线,y,=,x,2,+,在点(1,2)处切线方程为,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,x,-,y,+1=0,解析,本题考查导数几何意义.,y,=,x,2,+,y,=2,x,-,y,|,x,=1,=2-1=1,所求切线方程为,y,-2=,x,-1,即,x,-,y,+1=0.,3/33,2.,(天津文改编,10,5分)已知,a,R,设函数,f,(,x,)=,ax,-ln,x,图象在点(1,f,(1)处切线为,l,则,l,在,y,轴上截距为,.,答案,1,解析,本题主要考查导数几何意义以及直线方程与截距.,由题意可知,f,(,x,)=,a,-,所以,f,(1)=,a,-1,因为,f,(1)=,a,所以切点坐标为(1,a,),所以切线,l,方程为,y,-,a,=(,a,-1)(,x,-1),即,y,=(,a,-1),x,+1.,令,x,=0,得,y,=1,即直线,l,在,y,轴上截距为1.,易错警示,不能正确求解函数导数,而造成不能正确求解切线,l,斜率.,4/33,3.,(课标全国理,15,5分)已知,f,(,x,)为偶函数,当,x,0,则-,x,0),则,f,(,x,)=,-3(,x,0),f,(1)=-2,在点(1,-3)处切线方程为,y,+3=-2(,x,-1),即,y,=-2,x,-1.,思绪分析,依据函数,f,(,x,)是偶函数,求出,x,0时函数,f,x,)解析式,依据导数几何意义,用点斜式,求出切线方程.,评析,本题主要考查函数奇偶性及导数几何意义,求出,x,0时,f,(,x,)解析式是解题关键.,5/33,4.,(课标全国,16,5分)已知,f,(,x,)为偶函数,当,x,0时,f,(,x,)=e,-,x,-1,-,x,则曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,2)处切,线方程是,.,答案,y,=2,x,解析,当,x,0时,-,x,0),点(1,2)在曲线,y,=,f,(,x,)上,易知,f,(1)=2,故曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,2)处切线方程是,y,-2=,f,(1)(,x,-1),即,y,=2,x,.,易错警示,注意f,(1)求解方法,易因忽略,x,取值范围而直接求,f,(,x,)=e,-,x,-1,-,x,导数致错.,评析,本题主要考查利用函数性质求解析式,同时综合考查了导数几何意义.属难题.,6/33,5.,(陕西,15,5分)设曲线,y,=e,x,在点(0,1)处切线与曲线,y,=,(,x,0)上点,P,处切线垂直,则,P,坐,标为,.,答案,(1,1),解析,函数,y,=e,x,导函数为,y,=e,x,曲线,y,=e,x,在点(0,1)处切线斜率,k,1,=e,0,=1.,设,P,(,x,0,y,0,)(,x,0,0),函数,y,=,导函数为,y,=-,曲线,y,=,(,x,0)在点,P,处切线斜率,k,2,=-,则有,k,1,k,2,=-1,即1,=-1,解得,=1,又,x,0,0,x,0,=1.又点,P,在曲线,y,=,(,x,0)上,y,0,=1,故点,P,坐标为(1,1).,7/33,考点二导数运算,1.,(天津,10,5分)已知函数,f,(,x,)=(2,x,+1)e,x,f,(,x,)为,f,(,x,)导函数,则,f,(0)值为,.,答案,3,解析,f,(,x,)=2e,x,+(2,x,+1)e,x,=(2,x,+3)e,x,f,(0)=3.,2.,(福建,20,14分)已知函数,f,(,x,)=e,x,-,ax,(,a,为常数)图象与,y,轴交于点,A,曲线,y,=,fx,)在点,A,处切,线斜率为-1.,(1)求,a,值及函数,f,(,x,)极值;,(2)证实:当,x,0时,x,2,e,x,;,(3)证实:对任意给定正数,c,总存在,x,0,使得当,x,(,x,0,+,)时,恒有,x,2,c,e,x,.,8/33,解析,解法一:(1)由,f,(,x,)=e,x,-,ax,得,f,(,x,)=e,x,-,a,.,又,f,(0)=1-,a,=-1,得,a,=2.,所以,f,(,x,)=e,x,-2,x,f,(,x,)=e,x,-2.,令,f,(,x,)=0,得,x,=ln 2.,当,x,ln 2时,f,(,x,)ln 2时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增.,所以当,x,=ln 2时,f,(,x,)取得极小值,且极小值为,f,(ln 2)=e,ln 2,-2ln 2=2-ln 4,f,(,x,)无极大值.,(2)令,g,(,x,)=e,x,-,x,2,则,g,(,x,)=e,x,-2,x,.,由(1)得,g,(,x,)=,f,(,x,),f,(ln 2)0,故,g,(,x,)在R上单调递增,又,g,(0)=10,所以,当,x,0时,g,(,x,),g,(0)0,即,x,2,0时,x,2,0时,x,2,c,e,x,.,9/33,取,x,0,=0,当,x,(,x,0,+,)时,恒有,x,2,c,e,x,.,若0,c,1,要使不等式,x,2kx,2,成立.,而要使e,x,kx,2,成立,则只要,x,ln(,kx,2,),只要,x,2ln,x,+ln,k,成立.,令,h,(,x,)=,x,-2ln,x,-ln,k,则,h,(,x,)=1-,=,所以当,x,2时,h,(,x,)0,h,(,x,)在(2,+,)内单调递增.,取,x,0,=16,k,16,所以,h,(,x,)在(,x,0,+,)内单调递增,又,h,(,x,0,)=16,k,-2ln(16,k,)-ln,k,=8(,k,-ln 2)+3(,k,-ln,k,)+5,k,易知,k,ln,k,k,ln 2,5,k,0,所以,h,(,x,0,)0.,即存在,x,0,=,当,x,x,0,+,)时,恒有,x,2,c,e,x,.,综上,对任意给定正数,c,总存在,x,0,当,x,(,x,0,+,)时,恒有,x,2,0时,e,x,x,2,所以e,x,=,当,x,x,0,时,e,x,=,x,2,所以,对任意给定正数,c,总存在,x,0,当,x,(,x,0,+,)时,恒有,x,2,c,e,x,.,解法三:(1)同解法一.,(2)同解法一.,(3)首先证实当,x,(0,+,)时,恒有,x,3,0时,x,2,e,x,从而,h,(,x,)0,h,(,x,)在(0,+,)内单调递减,所以,h,(,x,),h,(0)=-10,即,x,3,x,0,时,有,x,2,x,3,e,x,.,11/33,所以,对任意给定正数,c,总存在,x,0,当,x,(,x,0,+,)时,恒有,x,2,0),因而,f,(1)=1,f,(1)=-1,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点,A,(1,f,(1)处切线方程为,y,-1=-(,x,-1),即,x,+,y,-2=0.,(2)由,f,(,x,)=1-,=,x,0知:,当,a,0时,f,(,x,)0,函数,f,(,x,)为(0,+,)上增函数,函数,f,(,x,)无极值;,当,a,0时,由,f,(,x,)=0,解得,x,=,a,.,又当,x,(0,a,)时,f,(,x,)0,从而函数,f,(,x,)在,x,=,a,处取得极小值,且极小值为,f,(a,)=,a,-,a,ln,a,无极大值.,综上,当,a,0时,函数,f,(,x,)无极值;,当,a,0时,函数,f,(,x,)在,x,=,a,处取得极小值,a,-,a,ln,a,无极大值.,评析,本题主要考查函数、函数导数、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方,程思想、分类与整合思想、化归与转化思想.,13/33,1.,(广东理,10,5分)若曲线,y,=,kx,+ln,x,在点(1,k,)处切线平行于,x,轴,则,k,=,.,C,组 教师专用题组,答案,-1,解析,令,f,(,x,)=,kx,+ln,x,则,f,(,x,)=,k,+,f,(1)=,k,+1,由题意可知,f,(1)=0,即,k,+1=0,k,=-1.,2.,(北京理,18,13分)设,L,为曲线,C,:,y,=,在点(1,0)处切线.,(1)求,L,方程;,(2)证实:除切点(1,0)之外,曲线,C,在直线,L,下方.,14/33,解析,(1)设,f,(,x,)=,则,f,(,x,)=,.,所以,f,(1)=1.所以,L,方程为,y,=,x,-1.,(2)证实:令,g,(,x,)=,x,-1-,f,(,x,),则除切点之外,曲线,C,在直线,L,下方等价于,g,(,x,)0(,x,0,x,1).,g,(,x,)满足,g,(1)=0,且,g,(,x,)=1-,f,(,x,)=,.,当0,x,1时,x,2,-10,ln,x,0,所以,g,(,x,)1时,x,2,-10,ln,x,0,所以,g,(,x,)0,故,g,(,x,)单调递增.,所以,g,(,x,),g,(1)=0(,x,0,x,1).,所以除切点之外,曲线,C,在直线,L,下方.,15/33,一、填空题(每小题5分,共25分),1.,(南通、泰州高三第一次调研测试)已知两曲线,f,(,x,)=2sin,x,g,(,x,)=,a,cos,x,x,相交于,点,P,.若两曲线在点,P,处切线相互垂直,则实数,a,值为,.,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：45分钟 分值：50分),答案,解析,f,(,x,)=2cos,x,g,(,x,)=-,a,sin,x,设,P,(,x,1,y,1,),由题设可得,解得sin,x,1,=,cos,x,1,=,a,=,.,16/33,2.,(泰州中学第一次质量检测)若直线,y,=,x,+,b,是曲线,y,=,x,ln,x,一条切线,则实数,b,=,.,答案,-1,解析,y,=ln,x,+1,设切点为(,x,1,y,1,),则由题意可知ln,x,1,+1=1,解得,x,1,=1,所以,y,1,=0=1+,b,解得,b,=-1.,3.,(江苏扬州中学期中,11)若,x,轴是曲线,f,(,x,)=ln,x,-,kx,+3一条切线,则,k,=,.,答案,e,2,解析,由,f,(,x,)=ln,x,-,kx,+3得,f,(,x,)=,-,k,设点,M,(,x,0,y,0,)是曲线,f,(,x,)上一点,则曲线,f,(,x,)=ln,x,-,kx,+3在点,M,处,切线方程为,y,-(ln,x,0,-,kx,0,+3)=,(,x,-,x,0,),x,轴是曲线,f,(,x,)=ln,x,-,kx,+3一条切线,解得,k,=e,2,.,17/33,4.,(江苏南通一模,13)在平面直角坐标系,xOy,中,直线,l,与曲线,y,=,x,2,(,x,0)和,y,=,x,3,(,x,0)均相切,切,点分别为,A,(,x,1,y,1,)和,B,(,x,2,y,2,),则,=,.,答案,解析,由题设知曲线,y,=,x,2,在,A,(,x,1,y,1,)处切线方程为,y,=2,x,1,x,-,曲线,y,=,x,3,在,B,(,x,2,y,2,)处切线方程为,y,=3,x,-2,.,所以,解得,x,1,=,x,2,=,.,所以,=,.,18/33,5.,(江苏常州一模,9)曲线,y,=,x,-cos,x,在点,处切线方程为,.,答案,2,x,-,y,-,=0,解析,y,=,x,-cos,x,y,=1+sin,x,.,y,=2,切线方程为,y,-,=2,即2,x,-,y,-,=0.,19/33,二、解答题(共25分),6.,(江苏扬州中学模拟,19)已知函数,f,(,x,)=,x,3,+,x,2,+,ax,+,b,(,a,b,为常数),其图象是曲线,C,.,(1)当,a,=-2时,求函数,f,(,x,)单调递减区间;,(2)若存在唯一实数,x,0,使得,f,(,x,0,)=,x,0,与,f,(,x,0,)=0同时成立,求实数,b,取值范围;,(3)已知点,A,为曲线,C,上动点,在点,A,处作曲线,C,切线,l,1,与曲线,C,交于另一点,B,在点,B,处作曲线,C,切线,l,2,设切线,l,1,l,2,斜率分别为,k,1,k,2,.问:是否存在常数,使得,k,2,=,k,1,?若存在,求出,值;若不存,在,请说明理由.,20/33,解析,(1)当,a,=-2时,f,(,x,)=3x,2,+5,x,-2=(3,x,-1)(,x,+2).,令,f,(,x,)0,解得-2,x,2时,f,(,x,)0恒成立,求,k,最大值.,23/33,解析,(1)当,k,=0时,f,(,x,)=1+ln,x,.,f,(,x,)=,从而,f,(1)=1.又,f,(1)=1,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1)处切线方程为,y,-1=,x,-1,即,x,-,y,=0.,(2)证实:当,k,=5时,f,(,x,)=ln,x,+,-4(,x,0).,f,(,x,)=,从而当,x,(0,10)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增.,所以当,x,=10时,f,(,x,)取得最小值.,因为,f,(10)=ln 10-30,所以,f,(,x,)在(1,10)上有一个零点.,因为,f,(e,4,)=4+,-40,所以,f,(,x,)在(10,e,4,)上有一个零点.,结合函数单调性可知,f,(,x,)有且仅有两个零点.,(3)由题意知,1+ln,x,-,0对,x,(2,+,)恒成立,即,k,2),则,h,(,x,)=,.,24/33,设,v,(,x,)=,x,-2ln,x,-4,则,v,(,x,)=,.,当,x,(2,+,)时,v,(,x,)0,所以,v,(,x,)在(2,+,)上为增函数.,因为,v,(8)=8-2ln 8-4=4-2ln 80,所以存在,x,0,(89),使得,v,(,x,0,)=0,即,x,0,-2ln,x,0,-4=0.,所以当,x,(2,x,0,)时,h,(,x,)0,h,(,x,)单调递增.,所以当,x,=,x,0,时,h,(,x,)有最小值,h,(,x,0,)=,.,因为ln,x,0,=,所以,h,(,x,0,)=,(4,4.5).,所以,k,4,故整数,k,最大值为4.,25/33,一、填空题(每小题5分,共15分),1.(南京、盐城第二次模拟考试,14)已知函数,f,(,x,)=ln,x,+(e-,a,),x,-,b,其中e为自然对数底数.若,不等式,f,(,x,),0恒成立,则,最小值为,.,B,组 高考模拟综合题组,(时间：30分钟 分值：30分),答案,-,26/33,解析,因为,f,(,x,)=ln,x,+(e-,a,),x,-,b,所以,f,(,x,),0恒成立等价于ln,x,(,a,-e),x,+,b,恒成立,能够转化为,y,=ln,x,图象恒在直线,y,=(,a,-e),x,+,b,下方,设,y,=ln,x,图象在(0,+,)上与直线,y,=(,a,-e),x,+,b,平行切线切点为(,x,0,y,0,),由,y,=ln,x,得,y,=,则由导数几何意义可得切线方程为,y,=,x,+ln,x,0,-1,要使ln,x,(,a,-e),x,+,b,恒成立,则,从而,=,令,h,(,x,)=,则,h,(x,)=,令,g,(,x,)=e,x,+ln,x,则,g,(,x,)在(0,+,)上单调递增,且,g,=0,从而,h,(,x,)在,上单调递增,在,上,单调递减,所以,h,(,x,),max,=,h,=-,从而,-,.,27/33,思绪分析,因为,f,(,x,)=ln,x,+(e-,a,),x,-,b,所以,f,(,x,),0恒成立等价于ln,x,(,a,-e),x,+,b,恒成立,能够转化为,y,=,ln,x,图象恒在直线,y,=(,a,-e),x,+,b,下方,再利用切线和导数求解.,2.,(江苏镇江期末,14)已知不等式(,m,-,n,),2,+(,m,-ln,n,+,),2,2对任意m,R,n,(0,+,)恒成立,则实,数,取值范围为,.,答案,2,-1或,-2,-1,解析,不等式(,m,-,n,),2,+(,m,-ln,n,+,),2,2对任意,m,R,n,(0,+,)恒成立,可看作(,m,m,+,),(,n,ln,n,)两点,距离平方恒大于或等于2,从而转化为曲线,y,=ln,x,上点到直线,y,=,x,+,距离最小值大于或等于2,当,y,=ln,x,切线斜率为1时,y,=,=1,点(1,0)处切线与,y,=,x,+,平行,所以距离最小值为,2,解得,2,-1或,-2,-1.,28/33,解后反思,本题考查了曲线切线方程,考查平行线间距离,将问题转化为求曲线,y,=ln,x,上,点到直线,y,=,x,+,距离最小值是解题关键,本题是一道中等题.,3.,(江苏镇江联考,11)在平面直角坐标系,xOy,中,直线,y,=,x,+,b,是曲线,y,=,a,ln,x,切线,则当,a,0时,实数,b,最小值是,.,答案,-1,解析,由,y,=,a,ln,x,得,y,=,设切点为,M,(,x,0,y,0,),则曲线,y,=,a,ln,x,在点,M,(,x,0,y,0,)处切线方程为,y,-,a,ln,x,0,=,(,x,-,x,0,),即,y,=,x,+,a,ln,x,0,-,a,则,b,=,a,ln,a,-,a,(,a,0),b,=ln,a,当01时,b,0,当,a1时,b,取得最小值-1.,29/33,二、解答题(共15分),4.,(江苏扬州中学质检,19)对于函数,f,(,x,),g,(,x,),假如它们图象有公共点,P,且在点,P,处切线,相同,则称函数,f,(,x,)和,g,(,x,)在点,P,处相切,称点,P,为这两个函数切点.设函数,f,(,x,)=,ax,2,-,bx,(,a,0),g,(,x,)=,ln,x,.,(1)当,a,=-1,b,=0时,判断函数,f,(,x,)和,g,(,x,)图象是否相切,并说明理由;,(2)已知,a,=,b,a,0,且函数,f,(,x,)和,g,(,x,)相切,求切点,P,坐标.,30/33,解析,(1)当,a,=-1,b,=0时,函数,f,(,x,)和,g,(,x,)图象不相切.,理由以下:由条件知,f,(,x,)=-,x,2,由,g,(,x,)=ln,x,得,x,0,因为,f,(,x,)=-2,x,g,(,x,)=,所以当,x,0时,f,(,x,)=-2,x,0,所以对于任意,x,0,f,(,x,),g,(,x,).,故当,a,=-1,b,=0时,函数,f,(,x,)和,g,(,x,)不相切.,(2)若,a,=,b,则,f,(,x,)=2,ax,-,a,由题意得,g,(,x,)=,设切点坐标为(,s,t,),其中,s,0,由题意,得,as,2,-,as,=ln,s,2,as,-,a,=,由得,a,=,代入得,=ln,s,(*).因为,a,=,0,且,s,0,所以,s,.,设函数,F,(,x,)=,-ln,x,x,则,f,(,x,)=,.,令,f,(,x,)=0,解得,x,=1或,x,=,(舍).,31/33,x,1,(1,+,),f,(,x,),+,0,-,F,(,x,),极大值,当,x,改变时,f,(,x,)与,F,(,x,)改变情况以下表所表示:,所以当,x,=1时,F,(,x,)取到最大值,F,(1)=0,且,当,x,(1,+,)时,F,(,x,)0.,所以,当且仅当,x,=1时,F,(,x,)=0.所以方程(*)有且仅有一解,s,=1.,于是,t,=ln,s,=0,所以切点,P,坐标为(1,0).,32/33,填空题,(江苏徐州、连云港、宿迁模拟)若点,P,Q,分别是曲线,y,=,与直线4,x,+,y,=0上动点,则线段,PQ,长最小值为,.,C,组 高考模拟创新题组,答案,解析,设曲线,y,=,上点,P,坐标为,点,P,到直线4,x,+,y,=0距离为,d,则,PQ,d,=,=,因为,=|,x,|+,2,所以当,x,+,=-2,即,x,=-1时,PQ,取得最小值,为,.,思绪分析,先设出,P,点坐标,利用点到直线距离结合不等式知识求解即可.,33/33,