高考数学复习专题二函数与导数第4讲导数的热点问题文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件.pptx

第,4,讲导数热点问题,专题二函数与导数,1/50,热点分类突破,真题押题精练,2/50,热点分类突破,3/50,热点一利用导数证实不等式,用导数证实不等式是导数应用之一，能够间接考查用导数判定函数单调性或求函数最值，以及结构函数解题能力,.,4/50,例,1,(,届云南省昆明市第一中学月考,),设函数,f,(,x,),ax,2,ln,x,，曲,线,y,f,(,x,),在,x,2,处与直线,2,x,3,y,0,垂直,.,(1),求函数,f,(,x,),单调区间；,解答,解,函数,f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,由,f,(,x,)0,，得,x,1,，由,f,(,x,)0,，得,0,x,1,时，,h,(,x,)0,，所以,h,(,x,),在,(1,，,),上为增函数，,7/50,所以,g,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),在,(1,，,),上为增函数，,8/50,思维升华,用导数证实不等式方法,(1),利用单调性：若,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，则,x,a,，,b,，则,f,(,a,),f,(,x,),f,(,b,),；,对,x,1,，,x,2,a,，,b,，且,x,1,x,2,，则,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,对于减函数有类似结论,.,(2),利用最值：若,f,(,x,),在某个范围,D,内有最大值,M,(,或最小值,m,),，则对,x,D,，有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),m,).,(3),证实,f,(,x,),g,(,x,),，可结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，证实,F,(,x,)0.,9/50,解答,10/50,当,0,x,0,；当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,从而,g,(,x,)0,，故,g,(,x,),在,1,，,),上单调递增，,13/50,所以,g,(,x,),最小值为,g,(1),2,，,所以,k,3,k,2,，即,(,k,1)(,k,2,k,2),0,，,解得,k,1.,故,k,取值范围为,(,，,1.,14/50,热点二利用导数讨论方程根个数,方程根、函数零点、函数图象与,x,轴交点横坐标是三个等价概念，处理这类问题能够经过函数单调性、极值与最值，画出函数图象走势，经过数形结合思想直观求解,.,15/50,例,2,(,届汕头期末,),设函数,f,(,x,),x,2,(,a,1),x,a,ln,x,，,a,0.,(1),求函数,f,(,x,),单调区间；,解答,16/50,解,函数,f,(,x,),定义域为,(0,，,).,当,0,a,1,时，令,f,(,x,)0,，得,a,x,0,，得,0,x,1,，,所以函数,f,(,x,),单调增区间为,(0,，,a,),和,(1,，,),，,单调减区间为,(,a,1),；,17/50,所以函数,f,(x,),单调增区间为,(0,，,),，无减区间；,当,a,1,时，令,f,(,x,)0,，得,1,x,0,，得,0,x,a,，,所以函数,f,(,x,),单调增区间为,(0,1),和,(,a,，,),，,单调减区间为,(1,，,a,).,18/50,(2),讨论函数,f,(,x,),零点个数,.,解答,思维升华,19/50,解,由,(1),可知，当,0,a,0,所以函数,f,(,x,),有唯一零点；,当,a,1,时，函数,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,20/50,所以函数,f,(,x,),有唯一零点；,当,a,1,时，函数,f,(,x,),单调递增区间是,(0,1),和,(a,，,),，单调递减区间是,(1,，,a,),，,f,(2,a,2),a,ln(2,a,2)0,综上，函数,f,(,x,),有唯一零点,.,21/50,思维升华,(1),函数,y,f,(,x,),k,零点问题，可转化为函数,y,f,(,x,),和直线,y,k,交点问题,.,(2),研究函数,y,f,(,x,),值域，不但要看最值，而且要观察随,x,值改变,y,值改变趋势,.,22/50,解答,23/50,解,f,(,x,),ax,2,(,a,1),x,1,当,x,改变时，,f,(,x,),，,f,(,x,),改变情况以下表：,1,(1,，,),f,(,x,),0,0,f,(,x,),递减,极小值,递增,极大值,递减,24/50,25/50,解答,(2),当,a,1,时，判断函数,f,(,x,),在区间,0,2,上零点个数,.,26/50,当,a,0,时，,f,(,x,),在,0,1,上单调递增，在,1,2,上单调递减,.,所以,f,(,x,),在,0,2,上有两个零点；,f,(,x,),在,0,1,上单调递增，在,1,2,上单调递减，,27/50,所以,f,(,x,),在,0,2,上有两个零点；,28/50,所以,f,(,x,),在,0,1,上有且仅有一个零点，在,1,2,上没有零点，,所以,f,(,x,),在,0,2,上有且仅有一个零点；,当,a,1,时，,f,(,x,),0恒成立，,f,(,x,),在,0,2,上单调递增，,所以,f,(,x,),在,0,2,上有且仅有一个零点，,29/50,热点三利用导数处理生活中优化问题,生活中实际问题受一些主要变量制约，处理生活中优化问题就是把制约问题主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量函数，然后经过研究这个函数性质，从而找到变量在什么情况下能够到达目标最优,.,30/50,例,3,在一张足够大纸板上截取一个面积为,3 600,平方厘米矩形纸板,ABCD,，然后在矩形纸板四个角上切去边长相等小正方形，再把它边缘虚线折起，做成一个无盖长方体纸盒,(,如图,).,设小正方形边长为,x,厘米，矩形纸板两边,AB,，,BC,长分别为,a,厘米和,b,厘米，其中,a,b,.,31/50,(1),当,a,90,时，求纸盒侧面积最大值；,解答,解,因为矩形纸板,ABCD,面积为,3 600,平方厘米，,故当,a,90,时，,b,40,，,从而包装盒子侧面积,S,2,x,(90,2,x,),2,x,(40,2,x,),8,x,2,260,x,，,x,(0,20).,32/50,(2),试确定,a,，,b,，,x,值，使得纸盒体积最大，并求出最大值,.,解答,思维升华,33/50,x,(3 600,240,x,4,x,2,),4,x,3,240,x,2,3 600,x,.,当且仅当,a,b,60,时等号成立,.,设,f,(x,),4,x,3,240,x,2,3 600,x,，,x,(0,30).,则,f,(,x,),12(,x,10)(,x,30).,所以当,0,x,10,时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,(0,10),上单调递增；,解,包装盒子体积,V,(,a,2,x,)(,b,2,x,),x,34/50,当,10,x,30,时，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,(10,30),上单调递减,.,所以当,x,10,时，,f,(,x,),有最大值,f,(10),16 000,，,此时,a,b,60,，,x,10.,所以当,a,b,60,，,x,10,时纸盒体积最大，最大值为,16 000,立方厘米,.,35/50,思维升华,利用导数处理生活中优化问题普通步骤,(1),建模：分析实际问题中各量之间关系，列出实际问题数学模型，写出实际问题中变量之间函数关系式,y,f,(,x,).,(2),求导：求函数导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0.,(3),求最值：比较函数在区间端点和使,f,(,x,),0,点函数值大小，最大,(,小,),者为最大,(,小,),值,.,(4),作答：回归实际问题作答,.,36/50,跟踪演练,3,图,1,是某种称为,“,凹槽,”,机械部件示意图，图,2,是凹槽横截面,(,阴影部分,),示意图，其中四边形,ABCD,是矩形，弧,CmD,是半圆，凹槽横截面周长为,4.,若凹槽强度,T,等于横截面面积,S,与边,AB,乘积，设,AB,2,x,，,BC,y,.,解答,(1),写出,y,关于,x,函数表示式，并指出,x,取值范围；,37/50,解,易知半圆,CmD,半径为,x,，,故半圆,CmD,弧长为,x,.,所以,4,2,x,2,y,x,，,38/50,解答,(2),求当,x,取何值时，凹槽强度最大,.,39/50,解,依题意，设凹槽强度为,T,，横截面面积为,S,，则有,40/50,真题押题精练,41/50,真题体验,(,全国,),已知函数,f,(,x,),a,e,2,x,(,a,2)e,x,x,.,(1),讨论,f,(,x,),单调性；,解,f,(,x,),定义域为,(,，,),，,f,(,x,),2,a,e,2,x,(,a,2)e,x,1,(,a,e,x,1)(2e,x,1).,(i),若,a,0,，则,f,(,x,)0,，则由,f,(,x,),0,，得,x,ln,a,.,当,x,(,，,ln,a,),时，,f,(,x,)0.,所以,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上单调递减，在,(,ln,a,，,),上单调递增,.,解答,42/50,(2),若,f,(,x,),有两个零点，求,a,取值范围,.,解答,43/50,解,(i),若,a,0,，由,(1),知，,f,(,x,),至多有一个零点,.,当,a,1,时，因为,f,(,ln,a,),0,，故,f,(,x,),只有一个零点；,即,f,(,ln,a,)0,，故,f,(,x,),没有零点；,44/50,又,f,(,2),a,e,4,(,a,2)e,2,2,2e,2,20,，,故,f,(,x,),在,(,，,ln,a,),上有一个零点,.,所以,f,(,x,),在,(,ln,a,，,),有一个零点,.,综上，,a,取值范围为,(0,1).,45/50,押题预测,解答,押题依据,相关导数综合应用试题多考查导数几何意义、导数与函数单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法,.,本题命制正是依据这个要求进行，全方面考查了考生综合求解问题能力,.,押题依据,已知函数,f,(,x,),2,x,ln,x,x,2,2,ax,a,2,，记,g,(,x,),为,f,(,x,),导函数,.,(1),若曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线垂直于直线,x,y,3,0,，求,a,值；,46/50,解,由已知，可得函数,f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,g,(,x,),2(,x,1,ln,x,a,),，所以,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处切线斜率,k,g,(1),2,a,.,又切线垂直于直线,x,y,3,0,，所以,k,1,，,47/50,解答,(2),讨论,g,(x,),0,解个数；,48/50,解,由,(1),可得,g,(,x,),2(,x,1,ln,x,a,),，,令,g,(,x,),0,，得,a,x,1,ln,x,(,x,0),，,所以,h,(,x,),在,(0,，,1),上单调递减，在,(1,，,),上单调递增,.,又当,x,0,时，,h,(,x,),，当,x,1,时，,h,(,x,),0,，,当,x,时，,h,(,x,),，,故当,a,0,时，,g,(,x,),0,有两解,.,49/50,证实,令,(,x,),g,(,x,),x,x,2,2ln,x,2,a,，,(,x,),在,(0,，,2),上单调递减，又,0,s,t,(,t,),，,g,(,s,),s,g,(,t,),t,，,g,(,s,),g,(,t,),s,t,.,证实,50/50,