高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直市赛课公开课一.pptx

8.7,立体几何中向量方法,(,一,),证实平行与垂直,1/79,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/79,基础知识自主学习,3/79,(1),直线方向向量：在直线上任取一,向量作为它方向向量,.,(2),平面法向量可利用方程组求出：设,a,，,b,是平面,内两不共线向量，,n,为平面,法向量，则求法向量方程组为,1.,直线方向向量与平面法向量确实定,知识梳理,非零,4/79,2.,用向量证实空间中平行关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,(,或,l,1,与,l,2,重合,),.,(2),设直线,l,方向向量为,v,，与平面,共面两个不共线向量,v,1,和,v,2,，则,l,或,l,.,(3),设直线,l,方向向量为,v,，平面,法向量为,u,，则,l,或,l,.,(4),设平面,和,法向量分别为,u,1,，,u,2,，则,.,v,1,v,2,存在两个实数,x,，,y,，使,v,x,v,1,y,v,2,v,u,u,1,u,2,5/79,3.,用向量证实空间中垂直关系,(1),设直线,l,1,和,l,2,方向向量分别为,v,1,和,v,2,，则,l,1,l,2,.,(2),设直线,l,方向向量为,v,，平面,法向量为,u,，则,l,.,(3),设平面,和,法向量分别为,u,1,和,u,2,，则,.v,1,v,2,v,1,v,2,0,v,u,u,1,u,2,u,1,u,2,0,6/79,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),直线方向向量是唯一确定,.(,),(2),平面单位法向量是唯一确定,.(,),(3),若两平面法向量平行，则两平面平行,.(,),(4),若两直线方向向量不平行，则两直线不平行,.(,),(5),若,a,b,，则,a,所在直线与,b,所在直线平行,.(,),(6),若空间向量,a,平行于平面,，则,a,所在直线与平面,平行,.(,),思索辨析,7/79,1.,已知,A,(1,0,0),，,B,(0,1,0),，,C,(0,0,1),，则以下向量是平面,ABC,法向量是,考点自测,答案,解析,8/79,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,ABC,法向量，,x,y,z,.,故选,C.,9/79,2.,直线,l,方向向量,a,(1,，,3,5),，平面,法向量,n,(,1,3,，,5),，则有,A.,l,B.,l,C.,l,与,斜交,D.,l,或,l,答案,解析,由,a,n,知，,n,a,，则有,l,，故选,B.,10/79,3.,平面,法向量为,(1,2,，,2),，平面,法向量为,(,2,，,4,，,k,),，若,，则,k,等于,A.2 B.,4 C.4 D.,2,，,两平面法向量平行,，,答案,解析,11/79,4.教材改编,),设,u,，,v,分别是平面,，,法向量，,u,(,2,2,5),，当,v,(3,，,2,2),时，,与,位置关系为,_,；当,v,(4,，,4,，,10),时，,与,位置关系为,_.,答案,解析,当,v,(3,，,2,2),时，,u,v,(,2,2,5)(3,，,2,2),0,.,当,v,(4,，,4,，,10),时，,v,2,u,.,12/79,5.(,教材改编,),如图所表示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面正方形,ABCD,中心，,M,是,D,1,D,中点，,N,是,A,1,B,1,中点，则直线,ON,，,AM,位置关系是,_.,答案解析,垂直,13/79,题型分类深度剖析,14/79,题型一利用空间向量证实平行问题,例,1,(,重庆模拟,),如图所表示，平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，且,PA,AD,2,，,E,，,F,，,G,分别是线段,PA,，,PD,，,CD,中点,.,求证：,PB,平面,EFG,.,证实,15/79,平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,是直角三角形，,且,PA,AD,，,AB,，,AP,，,AD,两两垂直，以,A,为坐标原点，,建立如图所表示空间直角坐标系,Axyz,，,则,A,(0,0,0),，,B,(2,，,0,0),C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,，,0,2),，,E,(0,0,1),，,F,(0,1,1),，,G,(1,，,2,0).,即,(2,0,，,2),s,(0,，,1,0),t,(1,1,，,1),，,16/79,PB,平面,EFG,，,PB,平面,EFG,.,17/79,引申探究,本例中条件不变，证实平面,EFG,平面,PBC,.,证实,又,EF,平面,PBC,，,BC,平面,PBC,，,EF,平面,PBC,，,同理可证,GF,PC,，从而得出,GF,平面,PBC,.,又,EF,GF,F,，,EF,平面,EFG,，,GF,平面,EFG,，,平面,EFG,平面,PBC,.,18/79,思维升华,(1),恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量坐标，是利用向量法证实平行和垂直关键,.,(2),证实直线与平面平行，只需证实直线方向向量与平面法向量数量积为零，或证直线方向向量与平面内不共线两个向量共面，或证直线方向向量与平面内某直线方向向量平行，然后说明直线在平面外即可,.,这么就把几何证实问题转化为向量运算,.,19/79,跟踪训练,1,(,北京海淀区模拟,),正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,，,N,分别是,C,1,C,，,B,1,C,1,中点,.,求证：,MN,平面,A,1,BD,.,证实,20/79,如图所表示，以,D,为坐标原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,.,设正方体棱长为,1,，则,M,(0,1,，,),，,N,(,，,1,1),，,D,(0,0,0),，,A,1,(1,0,1),，,B,(1,1,0),，,设平面,A,1,BD,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,21/79,取,x,1,，得,y,1,，,z,1.,所以,n,(1,，,1,，,1).,又,MN,平面,A,1,BD,，所以,MN,平面,A,1,BD,.,22/79,例,2,如图所表示，正三棱柱,(,底面为正三角形直三棱柱,),ABC,A,1,B,1,C,1,全部棱长都为,2,，,D,为,CC,1,中点,.,求证：,AB,1,平面,A,1,BD,.,题型二利用空间向量证实垂直问题,命题点,1,证线面垂直,证实,23/79,方法一,设平面,A,1,BD,内任意一条直线,m,方向向量为,m,.,由共面向量定理，则存在实数,，,，使,m,.,令,a,，,b,，,c,，显然它们不共面，而且,|,a,|,|,b,|,|,c,|,2,，,a,b,ac,0,，,bc,2,，以它们为空间一个基底，,24/79,方法二,取,BC,中点,O,，连接,AO,.,因为,ABC,为正三角形，所以,AO,BC,.,因为在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，,所以,AO,平面,BCC,1,B,1,.,取,B,1,C,1,中点,O,1,，以,O,为原点，,分别以,，,，,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，如图所表示，,则,B,(1,0,0),，,D,(,1,1,0),，,A,1,(0,2,，,),，,A,(0,0,，,),，,B,1,(1,2,0).,25/79,设平面,A,1,BD,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,(,1,2,，,),，,(,2,1,0).,令,x,1,，则,y,2,，,z,，,故,n,(1,2,，,),为平面,A,1,BD,一个法向量，,故,AB,1,平面,A,1BD,.,26/79,例,3,(,武汉,月考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,a,正方形，侧面,PAD,底面,ABCD,，且,PA,PD,AD,，设,E,，,F,分别为,PC,，,BD,中点,.,(1),求证：,EF,平面,PAD,；,命题点,2,证面面垂直,证实,27/79,如图，取,AD,中点,O,，连接,OP,，,OF,.,因为,PA,PD,，所以,PO,AD,.,因为侧面,PAD,底面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,所以,PO,平面,ABCD,.,又,O,，,F,分别为,AD,，,BD,中点，所以,OF,AB,.,又,ABCD,是正方形，所以,OF,AD,.,以,O,为原点，,OA,，,OF,，,OP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，,28/79,所以,EF,平面,PAD,.,29/79,(2),求证：平面,PAB,平面,PDC,.,证实,又,PA,PD,，,PD,CD,D,，所以,PA,平面,PDC,.,又,PA,平面,PAB,，所以平面,PAB,平面,PDC,.,30/79,思维升华,证实垂直问题方法,(1),利用已知线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点坐标，从而将几何证实转化为向量运算,.,其中灵活建系是解题关键,.,(2),其一证实直线与直线垂直，只需要证实两条直线方向向量垂直；其二证实线面垂直，只需证实直线方向向量与平面内不共线两个向量垂直即可，当然,，也可证直线方向向量与平面法向量平行；其三证实面面垂直：,证实两平面法向量相互垂直；,利用面面垂直判定定理，只要能证实一个平面内一条直线方向向量为另一个平面法向量即可,.,31/79,跟踪训练,2,(,青岛模拟,),如图，在多面体,ABC,A,1,B,1,C,1,中，四边形,A,1,ABB,1,是正方形，,AB,AC,，,BC,AB,，,B,1,C,1,綊,BC,，二面角,A,1,AB,C,是直二面角,.,求证：,(1),A,1,B,1,平面,AA,1,C,；,证实,32/79,二面角,A,1,AB,C,是直二面角，四边形,A,1,ABB,1,为正方形，,AA,1,平面,BAC,.,又,AB,AC,，,BC,AB,，,CAB,90,，即,CA,AB,，,AB,，,AC,，,AA,1,两两相互垂直,.,建立如图所表示空间直角坐标系，点,A,为坐标原点，,设,AB,2,，则,A,(0,0,0),，,B,1,(0,2,2),，,A,1,(0,0,2),，,C,(2,0,0),，,C,1,(1,1,2).,设平面,AA,1,C,一个法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,33/79,A,1,B,1,平面,AA,1,C,.,34/79,(2),AB,1,平面,A,1,C,1,C,.,证实,设平面,A,1C,1,C,一个法向量,m,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,令,x,1,1,，则,y,1,1,，,z,1,1,，即,m,(1,，,1,1).,m,0,1,2,(,1),2,1,0,，,又,AB,1,平面,A,1,C,1,C,，,AB,1,平面,A,1,C,1,C,.,35/79,题型三利用空间向量处理探索性问题,例,4,(,北京,),如图，在四棱锥,P-ABCD,中，平面,PAD,平面,ABCD,，,PA,PD,，,PA,PD,，,AB,AD,，,AB,1,，,AD,2,，,AC,CD,.,(1),求证：,PD,平面,PAB,；,平面,PAD,平面,ABCD,，平面,PAD,平面ABCD,AD,，,AB,AD,，,AB,平面,ABCD,，,AB,平面,PAD,.,PD,平面,PAD,，,AB,PD,.,又,PA,PD,，,PA,AB,A,，且,PA,，,PB,平面,PAB,，,PD,平面,PAB,.,证实,36/79,(2),求直线,PB,与平面,PCD,所成角正弦值；,解答,37/79,取,AD,中点,O,，连接,CO,，,PO,，,PA,PD,，,PO,AD,.,又,PO,平面,PAD,，,平面,PAD,平面,ABCD,，,PO,平面,ABCD,，,CO,平面,ABCD,，,PO,CO,，,AC,CD,，,CO,AD,.,38/79,以,O,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,.,易知,P,(0,0,1),，,B,(1,1,0),，,D,(0,，,1,0),，,C,(2,0,0).,设,n,(,x,0,，,y,0,，,1),为平面,PCD,一个法向量,.,39/79,设,PB,与平面,PCD,夹角为,.,40/79,(3),在棱,PA,上是否存在点,M,，使得,BM,平面,PCD,？若存在，求,值；若不存在，说明理由,.,解答,41/79,BM,平面,PCD,，,BM,平面,PCD,，,42/79,思维升华,对于,“,是否存在,”,型问题探索方式有两种：一个是依据条件作出判断，再深入论证；另一个是利用空间向量，先设出假设存在点坐标，再依据条件求该点坐标，即找到,“,存在点,”,，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定,“,不存在,”.,43/79,跟踪训练,3,(,深圳模拟,),如图所表示，四边形,ABCD,是边长为,1,正方形，,MD,平面,ABCD,，,NB,平面,ABCD,，且,MD,NB,1,，,E,为,BC,中点,.,(1),求异面直线,NE,与,AM,所成角余弦值；,解答,44/79,如图，以,D,为坐标原点，建立空间直角坐标系,Dxyz,，,依题意得,D,(0,0,0),，,A,(1,0,0),，,M,(0,0,1),，,C,(0,1,0),，,B,(1,1,0),，,N,(1,1,1),，,E,(,，,1,0),，,45/79,(2),在线段,AN,上是否存在点,S,，使得,ES,平面,AMN,？若存在，求线段,AS,长；若不存在，请说明理由,.,解答,46/79,假设在线段,AN,上存在点,S,，使得,ES,平面,AMN,.,连接,AE,，如图所表示,.,由,ES,平面,AMN,，,47/79,48/79,典例,(12,分,)(,吉林试验中学月考,),如图,1,所表示，正,ABC,边长为,4,，,CD,是,AB,边上高，,E,，,F,分别是,AC,和,BC,边中点，现将,ABC,沿,CD,翻折成直二面角,A,DC,B,，如图,2,所表示,.,(1),试判断直线,AB,与平面,DEF,位置关系，,并说明理由；,(2),求二面角,E,DF,C,余弦值；,(3),在线段,BC,上是否存在一点,P,，使,AP,DE,？证实你结论,.,利用向量法处理立体几何问题,思想与方法系列,19,规范解答,思想方法指导,几何画板展示,49/79,对于较复杂立体几何问题可采取向量法,(1),用向量法处理立体几何问题，是空间向量一个详细应用，表达了向量工具性，这种方法可把复杂推理证实、辅助线作法转化为空间向量运算，降低了空间想象演绎推理难度，表达了由,“,形,”,转,“,数,”,转化思想,.,(2),两种思绪：,选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量相关定理与向量线性运算进行判断,.,建立空间直角坐标系，进行向量坐标运算依据运算结果几何意义解释相关问题,.,返回,50/79,解,(1),AB,平面,DEF,，理由以下：,在,ABC,中，由,E,，,F,分别是,AC,，,BC,中点，得,EF,AB,.,又,AB,平面,DEF,，,EF,平面,DEF,，,AB,平面,DEF,.,1,分,(2),以,D,为原点，建立如图所表示空间直角坐标系，,则,A,(0,0,2),，,B,(2,0,0),，,C,(0,2,，,0),，,E,(0,，,，,1),，,F,(1,，,，,0),，,3,分,设平面,EDF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,51/79,52/79,返回,53/79,课时作业,54/79,1.茂名调研,),已知,a,(2,，,1,3),，,b,(,1,4,，,2),，,c,(7,5,，,).,若,a,，,b,，,c,三向量共面，则实数,等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,由题意得,c,t,a,b,(2,t,，,t,4,，,3,t,2,),，,55/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.(,西安质检,),若平面,，,法向量分别是,n,1,(2,，,3,5),，,n,2,(,3,1,，,4),，则,A.,B.,C.,，,相交但不垂直,D.,以上答案均不正确,答案,解析,n,1,n,2,2,(,3),(,3),1,5,(,4),0,，,n,1,与,n,2,不垂直，且不共线,.,与,相交但不垂直,.,56/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.,已知平面,内有一点,M,(1,，,1,2),，平面,一个法向量为,n,(6,，,3,6),，则以下点,P,中，在平面,内是,A.,P,(2,3,3)B.,P,(,2,0,1),C.,P,(,4,4,0)D.,P,(3,，,3,4),答案,解析,点,P,在平面,内，同理可验证其它三个点不在平面,内,.,57/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.,相交,B.,平行,C.,在平面内,D.,平行或在平面内,答案,解析,AB,与平面,CDE,平行或在平面,CDE,内,.,58/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.,设,u,(,2,2,，,t,),，,v,(6,，,4,4),分别是平面,，,法向量,.,若,，则,t,等于,A.3 B.4 C.5 D.6,答案,解析,，则,u,v,2,6,2,(,4),4,t,0,，,t,5.,59/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(,泰安模拟,),如图所表示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱长为,a,，,M,，,N,分别为,A,1,B,和,AC,上点，,A,1,M,AN,，则,MN,与平面,BB,1,C,1,C,位置关系是,A.,斜交,B.,平行,C.,垂直,D.,MN,在平面,BB,1,C,1,C,内,答案,解析,60/79,建立如图所表示空间直角坐标系，,又,C,1,D,1,平面,BB,1,C,1,C,，,所以,(0,，,a,0),为平面,BB,1,C,1,C,一个法向量,.,所以,MN,平面,BB,1,C,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,61/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.(,广州质检,),已知平面,内三点,A,(0,0,1),，,B,(0,1,0),，,C,(1,0,0),，平面,一个法向量,n,(,1,，,1,，1),，则不重合两个平面,与,位置关系是,_.,答案,解析,设平面,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,m,(1,1,1),，,m,n,，,m,n,，,.,62/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,63/79,是平面,ABCD,法向量，则,正确,.,AB,AP,，,AD,AP,，则,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,64/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,*9.,如图，圆锥轴截面,SAB,是边长为,2,等边三角形，,O,为底面中心，,M,为,SO,中点，动点,P,在圆锥底面内,(,包含圆,周).,若,AM,MP,，则点,P,形成轨迹长度为,_.,答案,解析,65/79,由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所表示,.,则,A,(0,，,1,0),，,B,(0,1,0),，,S,(0,0,，,),，,M,(0,0,，,),，设,P,(,x,，,y,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,66/79,10.,如图，在三棱锥,P-ABC,中，,AB,AC,，,D,为,BC,中点，,PO,平面,ABC,，垂足,O,落在线段,AD,上,.,已知,BC,8,，,PO,4,，,AO,3,，,OD,2.,(1),证实：,AP,BC,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,89,10,11,12,67/79,如图所表示，以,O,为坐标原点，,OD,，,OP,所在直线为,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,Oxyz,.,则,O,(0,0,0),，,A,(0,，,3,0),，,B,(4,2,0),，,C,(,4,2,0),，,P,(0,0,4).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,68/79,(2),若点,M,是线段,AP,上一点，且,AM,3.,试证实平面,AMC,平面,BMC,.,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,69/79,由,(1),知,AP,5,，,又,AM,3,，且点,M,在线段,AP,上，,1,2,3,45,6,7,8,9,10,11,12,70/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又依据,(1),结论知,AP,BC,，且,BM,BC,B,，,AP,平面,BMC,，于是,AM,平面,BMC,.,又,AM,平面,AMC,，故平面,AMC,平面,BMC,.,71/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(,长沙模拟,),如图，,在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,底面,ABCD,，底面,ABCD,为正方形，,PD,DC,，,E,、,F,分别是,AB,、,PB,中点,.,(1),求证：,EF,CD,；,证实,72/79,如图，分别以,DA,、,DCDP,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，,设,AD,a,，则,D,(0,0,0),，,A,(,a,0,0),，,B,(,a,，,a,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,73/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2),在平面,PAD,内求一点,G,，使,GF,平面,PCB,，并证实你结论,.,解答,74/79,若使,GF,平面,PCB,，则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,75/79,*12.,如图所表示，在多面体,ABCDEF,中，四边形,ABCD,是正方形，,EF,AB,，,EF,FB,AB,2,EF,，,BFC,90,，,BF,FC,，,H,是,BC,中点,.,(1),求证：,FH,平面,EDB,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,76/79,四边形,ABCD,为正方形，,AB,BC,.,又,EF,AB,，,EF,BC,.,又,EF,FB,，,FB,BC,B,，,EF,平面,BFC,.,EF,FH,，,AB,FH,.,又,BF,FC,，,H,为,BC,中点，,FH,BC,.,又,AB,BC,B,，,FH,平面,ABC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,77/79,设,BH,1,，则,A,(1,，,2,0),，,B,(1,0,0),，,C,(,1,0,0),，,D,(,1,，,2,0),，,E,(0,，,1,1),，,F,(0,0,1).,设,AC,与,BD,交点为,G,，连接,GE,，,GH,，,又,GE,平面,EDB,，,HF,平面,EDB,，,FH,平面,EDB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,78/79,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(2),求证：,AC,平面,EDB,.,证实,AC,GE,.,又,AC,BD,，,EG,BD,G,，,AC,平面,EDB,.,79/79,