高二数学空间向量在立体几何证明中的应用省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量,在立体几何证实中应用,新登中学高二数学备课组,1/29,前段时间我们研究了用空间向量求角(包含线线角、线面角和面面角)、求距离(包含线线距离、点面距离、线面距离和面面距离),今天我来研究怎样利用空间向量来处理立体几何中相关证实问题。,2/29,立体几何中相关证实问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：,平行：,线面平行、面面平行,垂直：,线线垂直、线面垂直和面面垂直,3/29,平行与垂直问题证实，除了要熟悉相关定理之外，下面几个性质必须掌握。,1、已知b，a不在内，假如ab，则a。,2、假如a，a则。,3、假如ab，a，则b。（书本P22.6）,4、假如a，b，ab，则。,4/29,一、用空间向量处理“平行”问题,5/29,G,A,E,D,C,B,F,H,M,N,例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分别是AC、BF上点，且AH=GF.求证：HG平面CBE.,MHAB,NG AB MHNG,AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG,6/29,G,A,E,D,C,B,F,H,P,PHCB,PGBE,平面HPG平面CBE,HG平面CBE,7/29,G,A,E,D,C,B,F,H,o,z,y,证实：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所表示空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1,AH=FG=a,则H(0,1-a,a)、,G(1-a,1-a,0),故 ,而平面CBE法向量为 (0,1,0),故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE,8/29,R,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,例2.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，P、Q分别是A,1,B,1,和BC上动点，且A,1,P=BQ，M是AB,1,中点，N是PQ中点.求证：MN平面AC.,M是中点，N是中点 MNRQ,MN平面AC,9/29,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,作PP,1,AB于P,1，,作MM,1,AB于M,1，,连结QP,1，,作NN,1,QP,1,于N,1，,连结M,1,N,1,N,1,M,1,P,1,NN,1,PP,1,MM,1,AA,1,又NN,1,、MM,1,均等于边长二分之一,故MM,1,N,1,N是平行四边形，故MNM,1,N,1,MN平面AC,10/29,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,z,y,x,o,证实：建立如图所表示空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又A,1,P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1),所以向量 (-x,x,0)，又平面AC法向量为 (0,0,1)，,又M不在平面AC 内，所以MN平面AC,11/29,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,例3.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：平面A,1,BD平面CB,1,D,1,平行四边形A,1,BCD,1,A,1,BD,1,C,平行四边形DBB,1,D,1,B,1,D,1,BD,于是平面A,1,BD平面CB,1,D,1,12/29,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,o,z,y,x,证实：建立如图所表示空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为1，则向量,设平面BDA,1,法向量为,则有,x+z=0,x+y=0,令x=1,则得方程组解为,x=1 y=-1 z=-1,故平面BDA,1,法向量为,13/29,同理可得平面CB,1,D,1,法向量为,则显然有,即得两平面BDA,1,和CB,1,D,1,法向量平行,所以 平面BDA,1,CB,1,D,1,经过本例练习，同学们要深入掌握平面法向量求法：即用平面内两个相交向量与假设法向量求数量积等于0，利用解方程组方法求出平面法向量(在解过程中可令其中一个未知数为某个数)。,例1、2与例3在利使用方法向量时有何不一样？,14/29,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,F,G,H,E,例4.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，E、F、G、H分别是A,1,B,1,、B,1,C,1,、C,1,D,1,、D,1,A,1,中点.求证：平面AEH平面BDGF,ADGF，AD=GF,又EHB,1,D,1,，GFB,1,D,1,EHGF,平行四边形ADGE AEDG,故得平面AEH平面BDGF,15/29,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,H,G,F,E,o,z,y,x,略证：建立如图所表示空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF法向量为,求得平面BDGH法向量为,显然有,故 平面AEH平面BDGF,16/29,二、用空间向量处理“垂直”问题,17/29,D,A,C,B,B,C,D,A,F,E,X,Y,Z,18/29,例6：如图，在正三棱柱ABC-A,1,B,1,C,1,中，AB=AA,1,/3=a，E、F分别是BB,1,、CC,1,上点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF,面ACF。,A,F,E,C,1,B,1,A,1,C,B,x,z,y,19/29,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设 a=2，则A（0，0，0），B（,3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF法向量，则,x,nAE=,3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y=2z,令z=1得,n=（0，-2，1）,显然有m n=0，即，m,n,面AEF,面ACF,证实：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，,20/29,A,D,C,B,求证：平面MNC平面PBC；,求点A到平面MNC距离。,已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PDDC,a，,AD ，M、N分别是AD、PB中点。,P,M,N,练习1,21/29,A,B,C,D,M,X,Y,Z,22/29,A,B,C,D,M,G,X,Y,Z,23/29,A,B,C,F,E,D,X,Y,Z,24/29,A,B,C,F,E,D,X,Z,25/29,A,B,C,F,E,D,X,Y,Z,26/29,小结：,利用向量相关知识处理一些立体几何问题，是近年来很“热”话题，其原因是它把相关“证实”转化为“程序化计算”。本课时讲内容是立体几何中证实“线面平行、垂直”一些例子，结合我们以前讲述立体几何其它问题(如：求角、求距离等)，大家从中能够深入看出基中一些解题“套路”。,利用向量解题 关键是建立适当空间直角坐标系及写出相关点坐标。,用代数方法处理立体几何问题是立体几何发展趋势，而向量是用代数方法处理立体几何问题主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何基础。,27/29,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,P,F,E,作业：1.在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E、F分别是A,1,D,1,、,BB,1,中点，问:在边CC,1,上是否存在一点P，使A,1,C平面EFP？若存在，求出P位置；若不存在，请说明理由。,28/29,N,M,P,D,C,B,A,2.在四棱锥P-ABCD中，底ABCD是正方形，且PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD =DA,M、N分别 是PA、BD上 动点，且PM:MA=BN:ND。问：直线MN与平面PBC有什么关系？请证实你结论.,29/29,