高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性市赛课公开课一等奖省名师优质课获.pptx

2.3,函数奇偶性与周期性,1/66,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,2/66,基础知识自主学习,3/66,1.,函数奇偶性,知识梳理,奇偶性,定义,图象特点,偶函数,普通地，假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数,关于,对称,奇函数,普通地，假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数,关于,对称,f,(,x,),f,(,x,),y,轴,f,(,x,),f,(,x,),原点,4/66,2.,周期性,(1),周期函数：对于函数,y,f,(,x,),，假如存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内任何值时，都有,，那么就称函数,y,f,(,x,),为周期函数，称,T,为这个函数周期,.,(2),最小正周期：假如在周期函数,f,(,x,),全部周期中存在一个,正数，那么这个,就叫做,f,(,x,),最小正周期,.,f,(,x,T,),f,(,x,),最小,最小正数,5/66,1.,函数奇偶性惯用结论,(1),假如函数,f,(,x,),是偶函数，那么,f,(,x,),f,(|,x,|).,(2),奇函数在两个对称区间上含有相同单调性；偶函数在两个对称区间上含有相反单调性,.,(3),在公共定义域内有：奇,奇奇，偶,偶偶，奇,奇偶，偶,偶偶，奇,偶奇,.,知识拓展,6/66,2.,函数周期性惯用结论,对,f,(,x,),定义域内任一自变量值,x,：,(1),若,f,(,x,a,),f,(,x,),，则,T,2,a,(,a,0).,7/66,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),偶函数图象不一定过原点，奇函数图象一定过原点,.(,),(2),若函数,y,f,(,x,a,),是偶函数，则函数,y,f,(,x,),关于直线,x,a,对称,.(,),(3),函数,f,(,x,),在定义域上满足,f,(,x,a,),f,(,x,),，则,f,(,x,),是周期为,2,a,(,a,0),周期函数,.(,),(4),定义域关于原点对称是函数含有奇偶性一个必要条件,.),(5),若,T,是函数一个周期，则,nT,(,n,Z,，,n,0),也是函数周期,.(,),思索辨析,8/66,考点自测,1.(,教材改编,),以下函数为偶函数是,A.,f,(,x,),x,1,B.,f,(,x,),x,2,x,C.,f,(,x,),2,x,2,x,D.,f,(,x,),2,x,2,x,D,中，,f,(,x,),2,x,2,x,f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,.,答案,解析,9/66,f,(,x,),为定义在,R,上奇函数，,f,(0),0,，,又,f,(,x,4),f,(,x,),，,f,(8),f,(0),0.,答案,解析,2.,已知定义在,R,上奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),，则,f,(8),值为,A.,1 B.0 C.1 D.2,10/66,f,(1),log,2,(1,3),2,，,又,f,(,x,),为奇函数，,f,(,1),f,(1),2.,答案,解析,3.(,嘉兴教学测试一,),已知奇函数,f,(,x,),，当,x,0,时，,f,(,x,),log,2,(,x,3),，则,f,(,1),_.,2,11/66,当,x,0,，,f,(,x,),(,x,)(1,x,).,又,f,(,x,),为奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),(,x,)(1,x,),，,f,(,x,),x,(1,x,).,答案解析,4.(,教材改编,),已知函数,f,(,x,),是定义在,R,上奇函数，当,x,0,时，,f,(,x,),x,(1,x,),，则当,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,),x,2,x,，,f,(,x,),(,x,),2,x,x,2,x,(,x,2,x,),f,(,x,),；,当,x,0,，,f,(,x,),x,2,x,，,f,(,x,),(,x,),2,x,x,2,x,(,x,2,x,),f,(,x,).,对于,x,(,，,0),(0,，,),，都有,f,(,x,),f,(,x,).,函数,f,(,x,),为奇函数,.,解答,15/66,(1),利用定义判断函数奇偶性步骤,思维升华,2),分段函数奇偶性判断，要注意定义域内,x,取值任意性，应分段讨论，讨论时可依据,x,范围取对应解析式化简，判断,f,(,x,),与,f,(,x,),关系，得出结论，也能够利用图象作判断,.,16/66,跟踪训练,1,(1)(,北京海淀区模拟,),以下函数中为偶函数是,A.,y,B.,y,lg|,x,|,C.,y,(,x,1),2,D.,y,2,x,选项,B,中，函数,y,lg|,x,|,定义域为,x,|,x,0,且,lg|,x,|,lg|,x,|,，所以函数,y,lg|,x,|,是偶函数,.,答案,解析,17/66,答案,解析,奇,(0,2),所以函数,f,(,x,),对称中心为,(0,2).,18/66,题型二函数周期性,例,2,(1)(,绍兴模拟,),已知,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数，,g,(,x,),是定义在,R,上奇函数，且,g,(,x,),f,(,x,1),，则,f,(2 017),f,(2 019),值为,A.,1 B.1 C.0 D.,无法计算,答案,解析,19/66,由题意，得,g,(,x,),f,(,x,1),，,又,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数，,g,(,x,),是定义在,R,上奇函数，,g,(,x,),g,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,1),f,(,x,1),，,f,(,x,),f,(,x,2),，f,(,x,),f,(,x,4),，,f,(,x,),周期为,4,，,f,(2 017),f,(1),，,f,(2 019),f,(3),f,(,1),，,又,f,(1),f,(,1),g,(0),0,，,f,(2 017),f,(2 019),0.,20/66,(2),已知,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数，而且,f,(,x,2),，当,2,x,3,时，,f,(,x,),x,，则,f,(105.5),_.,答案,解析,2.5,由已知，可得,f,(,x,4),f,(,x,2),2,故函数周期为,4.,f,(105.5),f,(4,27,2.5),f,(,2.5),f,(2.5).,2,2.5,3,，由题意，得,f,(2.5),2.5.,f,(105.5),2.5.,21/66,引申探究,例,2(2),中，若将,f,(,x,2),改为,f,(,x,2),f,(,x,),，其它条件不变，则,f,(105.5)=_,f,(,x,4),f,(,x,2),2,f,(,x,2),f,(,x,),，,函数周期为,4(,下同例题,).,2.5,答案,解析,22/66,函数周期性反应了函数在整个定义域上性质,.,对函数周期性考查，主要包括函数周期性判断，利用函数周期性求值,.,思维升华,23/66,跟踪训练,2,定义在,R,上函数,f,(,x,),满足,f,(,x,6),f,(,x,),，当3,x,1,时，,f,(,x,),(,x,2),2,；当,1,x,3,时，,f,(,x,),x,.,则,f,(1),f,(2),f,(3),f,(2 018),_.,答案,解析,339,24/66,f,(,x,6),f,(,x,),，,T,6.,当,3,x,1,时，,f,(,x,),(,x,2),2,；,当,1,x,3,时，,f,(,x,),x,，,f,(1),1,，,f,(2),2,，,f,(3),f,(,3),1,，,f,(4),f,(,2),0,，,f,(5),f,(,1),1,，,f,(6),f,(0),0,，,f,(1),f,(2),f,(6),1,，,f,(1),f,(2),f,3),f,(2 015),f,(2 016),25/66,又,f,(2 017),f,(1),1,，,f,(2 018),f,(2),2,，,f,(1),f,(2),f,(3),f,(2 018),339.,26/66,题型三函数性质综合应用,命题点,1,解不等式问题,例,3,(1)(,温州模拟,),已知偶函数,f,(,x,),在区间,0,，,),上单调递增，则满足,f,(2,x,1),f,(),x,取值范围是,答案,解析,27/66,因为,f,(,x,),是偶函数，所以其图象关于,y,轴对称，,又,f,(,x,),在,0,，,),上单调递增，,28/66,(2),已知,f,(,x,),是定义在,R,上以,3,为周期偶函数，若,f,(1)1,，,f,(5),，,则实数,a,取值范围为,A.(,1,4)B.(,2,0),C.(,1,0)D.(,1,2),f,(,x,),是定义在,R,上周期为,3,偶函数，,f,(5),f,(5,6),f,(,1),f,(1),，,答案,解析,解得,1,a,0,且,1,x,0,，由奇函数性质可得,f,(0),0.,所以,lg(,a,2),0,，即,a,1,，经检验,a,1,满足函数定义域,.,答案,解析,1,30/66,10,答案,解析,31/66,因为,f,(,x,),是定义在,R,上且周期为,2,函数，,即,3,a,2,b,2.,32/66,即,b,2,a,.,由,，得,a,2,，,b,4,，从而,a,3,b,10.,33/66,(1),关于奇偶性、单调性、周期性综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上问题转化为已知区间上问题,.,(2),掌握以下两个结论，会给解题带来方便,.,f,(,x,),为偶函数,f,(,x,),f,(|,x,|),；,若奇函数在,x,0,处有意义，则,f,(0),0.,思维升华,34/66,跟踪训练,3,(1),若,f,(,x,),ln(e,3,x,1),ax,是偶函数，则,a,_.,函数,f,(,x,),ln(e,3,x,1),ax,是偶函数，,故,f,(,x,),f,(,x,),，即,ln(e,3x,1),ax,ln(e,3,x,1),ax,，,答案,解析,35/66,(2),已知定义在,R,上奇函数,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),，且在区间,0,2,上是增函数，则,A.,f,(,25),f,(11),f,(80),B.,f,(80),f,(11),f,(,25),C.,f,(11),f,(80),f,(,25),D.,f,(,25),f,(80),f,(11),答案,解析,36/66,因为,f,(,x,),满足,f,(,x,4),f,(,x,),，,所以,f,(,x,8),f,(,x,),，所以函数,f,(,x,),是以,8,为周期周期函数，则,f,(,25),f,(,1),，,f,(80),f,(0),，,f,(11),f,(3).,由,f,(,x,),是定义在,R,上奇函数且满足,f,(,x,4),f,(,x,),，,得,f,(11),f,(3),f,(,1),f,(1).,因为,f,(,x,),在区间,0,2,上是增函数，,f,(,x,),在,R,上是奇函数，,所以,f,(,x,),在区间,2,2,上是增函数，,所以,f,(,1),f,(0),f,(1).,所以,f,(,25),f,(80),f,(11).,37/66,典例,1,已知函数,y,f,(,x,),定义域是,0,8,，则函数,g,(,x,),定义域为,_.,抽象函数问题,高频小考点,1,答案,解析,1,3),一、抽象函数定义域,抽象函数问题在高考中也时常碰到，经常包括求函数定义域，由函数周期性求函数值或判断函数奇偶性等,.,普通以选择题或填空题来展现，有时在解答题中也有所表达,.,这类题目较为抽象，易失分，应引发足够重视,.,考点分析,38/66,要使函数有意义，,解得,1,x,0,，,f,(,x,2),，,对任意,x,R,恒成立，则,f,(2 019),等于,A.4 B.3 C.2 D.1,二、抽象函数函数值,答案,解析,40/66,即函数,f,(,x,),周期是,4,，,所以,f,(2 019),f,(5054,1),f,(,1).,因为函数,f,(,x,),为偶函数，,所以,f,(2 019),f,(,1),f,(1).,41/66,即,f,(1),1,，所以,f,(2 019),f,(1),1.,42/66,三、抽象函数单调性与不等式,典例,3,设函数,f,(,x,),是定义在,(0,，,),上增函数，且满足,f,(,xy,),f,(,x,),f,(,y,).,若,f,(3),1,，且,f,(,a,),f,(,a,1),2,，求实数,a,取值范围,.,规范解答,43/66,解,因为,f,(,xy,),f,(,x,),f,(,y,),，且,f,(3),1,，,所以,2,2,f,(3),f,(3,),f,(3),f,(9).,又,f,(,a,),f,a,1),2,，所以,f,(,a,),f,(,a,1),f,(9).,再由,f,(,xy,),f,(,x,),f,(,y,),，可知,f,(,a,),f,9(,a,1),，,因为,f,(,x,),是定义在,(0,，,),上增函数，,44/66,课时训练,45/66,1.(,嘉兴高三上学期期末,),以下函数中，既是奇函数又在区间,(0,，,),上为增函数是,A.,y,ln,x,B.,y,x,3,C.,y,x,2,D.,y,sin,x,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/66,A.,1 B.3 C.7 D.8,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/66,所以,f,lg(log,3,2),g,lg(log,3,2),4,1,，,g,lg(log,3,2),3,，,所以,f,lg(log,2,3),g,lg(log,2,3),4,g,lg(log,3,2),4,g,lg(log,3,2),4,3,4,7,，故选,C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/66,3.,已知,f,(,x,),在,R,上是奇函数，且满足,f,(,x,4),f,(,x,),，当,x,(,2,0),时，,f,(,x,),2,x,2,，则,f,(2 019),等于,A.,2 B.2 C.,98 D.98,答案,解析,由,f,(,x,4),f,(,x,),知，,f,(,x,),是周期为,4,周期函数，,f,(2 019),f,(504,4,3),f,(3),，,又,f,(,x,4),f,(,x,),，,f,(3),f,(,1),，,由,1,(,2,0),得,f,(,1),2,，,f,(2 019),2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/66,4.,已知,f,(,x,),lg(,a,),为奇函数，则使,f,(,x,)0,x,取值范围是,A.(,，,0)B.(,1,0),C.(0,1)D.(,，,0),(1,，,),答案,解析,可得,1,x,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/66,则,f,(,f,(,16),等于,由题意,f,(,16),f,(16),log,2,16,4,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,51/66,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/66,因为,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数且在区间,(,，,0),上单调递增，,所以,f,(,x,),f,(,x,),且,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递减,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/66,f,(,x,),为奇函数，,f,(0),0,，,a,0,，,又,g,(,2),f,(,1),f,(1),4,，,f,(,g,(,2),f,(,4),f,(4),25.,0,25,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/66,8.(,金华模拟,),设,f,(,x,),是周期为,2,奇函数，当,0,x,1,时，,f,(,x,),2,x,(1,x,),，则,f,(,),_.,因为,f,(,x,),是周期为,2,奇函数，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/66,当,x,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,56/66,10.(,余姚模拟,),若函数,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数，且在区间,0,，,),上是单调递增函数,.,假如实数,t,满足,f,(ln,t,),f,(ln ),2,f,(1),，那么,t,取值范围是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/66,因为函数,f,(,x,),是定义在,R,上偶函数，,得,f,(ln,t,),f,(1).,又函数,f,(,x,),在区间,0,，,),上是单调递增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/66,设,x,0,，,所以,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),x,2,2,x,.,又,f,(,x,),为奇函数，所以,f,(,x,),f,(,x,).,于是,x,0,时，,f,(,x,),x,2,mx,x,2,2,x,，,所以,m,2.,解答,(1),求实数,m,值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,59/66,要使,f,(,x,),在,1,，,a,2,上单调递增，,解答,(2),若函数,f,(,x,),在区间,1,，,a,2,上单调递增，求实数,a,取值范围,.,故实数,a,取值范围是,(1,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/66,12.,设,f,(,x,),是,(,，,),上奇函数，,f,x,2),f,(,x,),，当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,.,(1),求,f,(),值；,由,f,(,x,2),f,(,x,),，得,f,(,x,4),f,(,x,2),2,f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,),是以,4,为周期周期函数,.,f,(),f,(,14,),f,(,4),f,(4,),(4,),4.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/66,解答,(2),当,4,x,4,时，求,f,(,x,),图象与,x,轴所围成图形面积,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/66,由,f,(,x,),是奇函数与,f,(,x,2),f,(,x,),，,得,f,(,x,1),2,f,(,x,1),f,(,x,1),，,即,f,(1,x,),f,(1,x,).,从而可知函数,y,f,(,x,),图象关于直线,x,1,对称,.,又当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,，且,f,(,x,),图象关于原点成中心对称，,则,f,(,x,),图象如图所表示,.,设当,4,x,4,时，,f,(,x,),图象与,x,轴围成图形面积为,S,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/66,*13.,函数,f,(,x,),定义域为,D,x,|,x,0,，且满足对于任意,x,1,，x,2,D,，有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,).,(1),求,f,(1),值；,对于任意,x,1,，,x,2,D,，,有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,令,x,1,x,2,1,，得,f,(1),2,f,(1),，,f,(1),0.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/66,(2),判断,f,(,x,),奇偶性并证实你结论；,f,(,x,),为偶函数,.,证实,令,x,1,x,2,1,，则,f,(1),f,(,1),f,(,1),，,解答,令,x,1,1,，,x,2,x,，则,fx,),f,(,1),f,(,x,),，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),为偶函数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/66,(3),假如,f,(4),1,，,f,(,x,1)2,，且,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，求,x,取值范围,.,依题设有,f,(44),f,(4),f,(4),2,，,由,(2),知，,f,(,x,),是偶函数，,f,(,x,1)2,f,(|,x,1|),f,(16).,又,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，,0|,x,1|16,，解得,15,x,17,且,x,1,，,x,取值范围是,x,|,15,x,17,且,x,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,66/66,