高考数学复习第五章平面向量与解三角形5.3解三角形市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 平面向量与解三角形,5,.,3,解三角形,高考数学,(浙江专用),1/114,考点一正弦、余弦定理,1.(课标全国文,11,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知sin,B,+sin,A,(sin,C,-cos,C,)=0,a,=2,c,=,则,C,=,(),A.,B.,C.,D.,五年高考,答案,B本题考查正弦定理和两角和正弦公式.,在,ABC,中,sin,B,=sin(,A,+,C,),则sin,B,+sin,A,(sin,C,-cos,C,),=sin(,A,+,C,)+sin,A,(sin,C,-cos,C,)=0,即sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,+sin,A,sin,C,-sin,A,cos,C,=0,cos,A,sin,C,+sin,A,sin,C,=0,sin,C,0,cos,A,+sin,A,=0,即tan,A,=-1,即,A,=,.,由,=,得,=,sin,C,=,又0,C,C,=,故选B.,2/114,方法总结,解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定,理,以到达求解三角函数值时消元目标,比如本题中sin,B,=sin(,A,+,C,)应用.,3/114,2.(山东理,9,5分)在,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.若,ABC,为锐角三角形,且满足sin,B,(1+2cos,C,)=2sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,则以下等式成立是,(),A.,a,=2,b,B.,b,=2,a,C.,A,=2,B,D.,B,=2,A,4/114,答案,A本题考查三角公式利用和正弦定理、余弦定理.,解法一:因为sin,B,(1+2cos,C,)=2sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,所以sin,B,+2sin,B,cos,C,=sin,A,cos,C,+sin(,A,+,C,),所以sin,B,+2sin,B,cos,C,=sin,A,cosC,+sin,B,即cos,C,(2sin,B,-sin,A,)=0,所以cos,C,=0或2sin,B,=sin,A,即,C,=90,或2,b,=,a,又,ABC,为锐角三角形,所以0,C,c,2,故2,b,=,a,故选A.,5/114,方法总结,解三角形时,能够由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求,解.注意灵活利用三角公式.,3.(天津,3,5分)在,ABC,中,若,AB,=,BC,=3,C,=120,则,AC,=,(),A.1B.2C.3D.4,答案,A在,ABC,中,设,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,则由,c,2,=,a,2,+,b,2,-2,ab,cos,C,得13=9+,b,2,-2,3,b,即,b,2,+3,b,-4=0,解得,b,=1(负值舍去),即,AC,=1.故选A.,评析,本题考查了余弦定理应用和方程思想,属轻易题.,6/114,4.(湖南,3,5分)在锐角,ABC,中,角,A,B,所正确边长分别为,a,b,.若2,a,sin,B,=,b,则角,A,等于,(),A.,B.,C.,D.,答案,D由正弦定理可知,2sin,A,sin,B,=,sin,B,因为,B,为三角形内角,所以sin,B,0,故sin,A,=,又因为,ABC,为锐角三角形,所以,A,.故,A,=,选D.,评析,本题主要考查正弦定理及特殊角三角函数值,考查学生运算求解能力,本题学生轻易,记错特殊角三角函数值而选错.,5.(课标全国文,16,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,若2,b,cos,B,=,a,cos,C,+,c,cos,A,则,B,=,.,答案,60,7/114,解析,解法一:由正弦定理得2sin,B,cos,B,=sin,A,cos,C,+sin,C,cos,A,即sin 2,B,=sin(,A,+,C,),即sin 2,B,=sin,(180,-,B,),可得,B,=60,.,解法二:由余弦定理得2,b,=,a,+,c,即,b,=,b,所以,a,2,+,c,2,-,b,2,=,ac,所以cos,B,=,又0,B,180,所以,B,=60,.,思绪分析,利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.,6.(课标全国,13,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,若cos,A,=,cos,C,=,a,=1,则,b,=,.,答案,8/114,解析,由已知可得sin,A,=,sin,C,=,则sin,B,=sin(,A,+,C,)=,+,=,再由正弦定理可得,=,b,=,=,.,解后反思,在解三角形问题中,给出边长及角正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差,正、余弦公式及正、余弦定理.,7.(浙江,16,4分)在,ABC,中,C,=90,M,是,BC,中点.若sin,BAM,=,则sin,BAC,=答案,9/114,解析,令,BAM,=,BAC,=,故|,CM,|=|,AM,|sin(,-,),M,为,BC,中点,|,BM,|=|,AM,|sin(,-,).,在,AMB,中,由正弦定理知,=,即,=,sin,=,cos,=,=cos,10/114,=,sin,cos,-,cos,2,整理得1=2,sin,cos,-cos,2,解得tan,=,故sin,=,.,评析,本题考查解三角形,正弦定理应用和三角函数求值问题.考查学生图形观察能力和数据,处理能力.怎样利用,M,是,BC,中点是解答本题关键.,8.(天津,13,5分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,已知,ABC,面积为3,b,-,c,=,2,cos,A,=-,则,a,值为,.,答案,8,解析,因为cos,A,=-,0,A,所以sin,A,=,=,.由3,=,bc,sin,A,得,bc,=24.又因为,b,-,c,=2,所以,b,=6,c,=4.由余弦定理得,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,=36+16+12=64.故,a,=8.,11/114,9.(重庆,13,5分)在,ABC,中,B,=120,AB,=,A,角平分线,AD,=,则,AC,=,.,答案,解析,依题意知,BDA,=,C,+,BAC,由正弦定理得,=,sin,=,C,+,BAC,=180,-,B,=60,C,+,BAC,=45,BAC,=30,C,=30,.从而,AC,=2,AB,cos 30,=,.,10.(福建,12,4分)若锐角,ABC,面积为10,且,AB,=5,AC,=8,则,BC,等于,.,答案,7,解析,设内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.由已知及,bc,sin,A,=10,得sin,A,=,因为,A,为锐角,所,以,A,=60,cos,A,=,.由余弦定理得,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,=64+25-2,40,=49,故,a,=7,即,BC,=7.,12/114,评析,本题考查了三角形面积公式和解三角形,利用三角形面积求出cos,A,是求解关键.,11.(广东,11,5分)设,ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.若,a,=,sin,B,=,C,=,则,b,=,.,答案,1,解析,在,ABC,中,由sin,B,=,可得,B,=,或,B,=,结合,C,=,可知,B,=,.从而,A,=,利用正弦定理,=,可得,b,=1.,12.(天津,12,5分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别是,a,b,c,.已知,b,-,c,=,a,2sin,B,=3sin,C,则,cos,A,值为,.,答案,-,13/114,解析,由2sin,B,=3sin,C,得2,b,=3,c,即,b,=,c,代入,b,-,c,=,a,整理得,a,=2,c,故cos,A,=,=,=-,.,13.(江苏,14,5分)若,ABC,内角满足sin,A,+,sin,B,=2sin,C,则cos,C,最小值是,.,答案,解析,sin,A,+,sin,B,=2sin,C,由正弦定理得,a,+,b,=2,c,cos,C,=,=,=,=,=,当且仅当,a,=,b,时等号成立,故cos,C,最小值为,.,14/114,评析,考查正弦、余弦定理及基本不等式等知识灵活利用,对运算及恒等变形能力有较高,要求.,14.(课标,16,5分)已知,a,b,c,分别为,ABC,三个内角,A,B,C,对边,a,=2,且(2+,b,)(sin,A,-sinB,)=,(,c,-,b,)sin,C,则,ABC,面积最大值为,.,答案,解析,因为,a,=2,所以(2+,b,)(sin,A,-sin,B,)=(,c,-,b,)sin,C,可化为(,a,+,b,)(sin,A,-sin,B,)=(,c,-,b,)sin,C,由正弦定,理可得(,a,+,b,)(,a,-,b,)=(,c,-,b,),c,即,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,由余弦定理可得cos,A,=,=,=,又0,A,故,A,=,又cos,A,=,=,所以,bc,4,当且仅当,b,=,c,时取等号,由三角形面积公式知,S,ABC,=,bc,sin,A,=,bc,=,bc,故,ABC,面积最大值为,.,评析,本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式应用,考查考生对知,识综合应用能力以及运算求解能力.能把2代换成,a,是正确处理本题关键.,15/114,15.(山东文,17,12分)在,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知,b,=3,=-6,S,ABC,=3,求,A,和,a,.,解析,本题考查向量数量积运算及解三角形.,因为,=-6,所以,bc,cos,A,=-6,又,S,ABC,=3,所以,bc,sin,A,=6,所以tan,A,=-1,又0,A,所以,A,=,.,又,b,=3,所以,c,=2,.,由余弦定理,a,2,=,b,2,c,2,-2,bc,cos,A,得,a,2,=9+8-2,3,2,=29,所以,a,=,.,16/114,16.(江苏,15,14分)在,ABC,中,AC,=6,cos,B,=,C,=,.,(1)求,AB,长;,(2)求cos,值.,解析,(1)因为cos,B,=,0,B,所以sin,B,=,=,=,.,由正弦定理知,=,所以,AB,=,=,=5,.,(2)在,ABC,中,A,+,B,+,C,=,所以,A,=-(,B,+,C,),于是cos,A,=-cos(,B,+,C,)=-cos,=-cos,B,cos,+sin,B,sin,又cos,B,=,sin,B,=,故cos,A,=-,+,=因为0,A,0).,则,a,=,k,sin,A,b,=,k,sin,B,c,=,k,sin,C,.,代入,+,=,中,有,+,=,变形可得,sin,A,sin,B,=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,=sin(,A,+,B,).,在,ABC,中,由,A,+,B,+,C,=,有sin(,A,+,B,)=sin(-,C,)=sin,C,所以sin,A,sin,B,=sin,C,.,(2)由已知,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,依据余弦定理,有,cos,A,=,=,.,所以sin,A,=,=,.,由(1)可知sin,A,sin,B,=sin,A,cos,B,+cosA,sin,B,所以,sin,B,=,cos,B,+,sin,B,故tan,B,=,=4.,评析,本题考查知识点主要是正、余弦定理以及两角和正弦公式.,19/114,18.(课标,17,12分),ABC,中,D,是,BC,上点,AD,平分,BAC,ABD,面积是,ADC,面积2,倍.,(1)求,;,(2)若,AD,=1,DC,=,求,BD,和,AC,长.,解析,(1),S,ABD,=,AB,AD,sin,BAD,S,ADC,=,AC,AD,sin,CAD,.,因为,S,ABD,=2,S,ADC,BAD,=,CAD,所以,AB,=2,AC,.,由正弦定理可得,=,=,.,(2)因为,S,ABDS,ADC,=,BD,DC,所以,BD,=,.,在,ABD,和,ADC,中,由余弦定理知,AB,2,=,AD,2,+,BD,2,-2,AD,BD,cos,ADB,AC,2,=,AD,2,+,DC,2,-2,AD,DC,cos,ADC,.,故,AB,2,+2,AC,2,=3,AD,2,+,BD,2,+2,DC,2,=6.,由(1)知,AB,=2,AC,所以,AC,=1.,20/114,19.(陕西,7,5分)设,ABC,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,若,b,cos,C,+,c,cos,B,=,a,sin,A,则,ABC,形状为,(),A.锐角三角形B.直角三角形,C.钝角三角形D.不确定,以下为教师用书专用,答案,B由正弦定理得sin,B,cos,C,+sin,C,cos,B,=sin,2,A,得sin(,B,+,C,)=sin,2,A,sin,A,=1,即,A,=,.故选B.,21/114,20.(辽宁,6,5分)在,ABC,中,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.若,a,sin,B,cos,C,+,c,sin,B,cos,A,=,b,且,a,b,则,B,=,(),A.,B.,C.,D.,答案,A由正弦定理得sin,B,(sin,A,cos,C,+sin,C,cos,A,)=,sin,B,即sin,B,sin(,A,+,C,)=,sin,B,因为sin,B0,所以sin,B,=,所以,B,=,或,又因为,a,b,故,B,=,选A.,21.(天津,6,5分)在,ABC,中,ABC,=,AB,=,BC,=3,则sin,BAC,=,(),A.,B.,C.,D.,答案,C在,ABC,中,由余弦定理得,AC,2,=,BA,2,+,BC,2,-2,BA,BC,cos,B,=(,),2,+3,2,-2,3,=5,解,得,AC,=,.再由正弦定理得sin,A,=,=,=,.故选C.,22/114,22.(广东,12,5分)在,ABC,中,角,A,B,C,所对应边分别为,a,b,c,.已知,b,cos,C,+,c,cos,B,=2,b,则,=,.,答案,2,解析,利用余弦定理,将,b,cos,C,+,c,cos,B,=2,b,转化为,b,+,c,=2,b,化简得,=2.,23.(福建,12,4分)在,ABC,中,A,=60,AC,=4,BC,=2,则,ABC,面积等于,.,答案,2,解析,由,=,得sin,B,=,sin,A,=,=1,B,=90,故,C,=30,S,ABC,=,AC,BC,sin,C,=,4,2,=2,.,23/114,24.(安徽,12,5分)设,ABC,内角,A,B,C,所对边长分别为,a,b,c,.若,b,+,c,=2,a,3sin,A,=5sin,B,则,角,C,=,.,答案,解析,由3sin,A,=5sin,B,及正弦定理得3,a,=5,b,故,a,=,b,则,c,=,b,-,b,=,b,.,所以cos,C,=,=-,即,C,=,.,25.(山东,17,12分)设,ABC,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,且,a,+,c,=6,b,=2,cos,B,=,.,(1)求,a,c,值;,(2)求sin(,A,-,B,)值.,24/114,解析,(1)由余弦定理,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,得,b,2,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,),又,b,=2,a,+,c,=6,cos,B,=,所以,ac,=9,解得,a,=3,c,=3.,(2)在,ABC,中,sin,B,=,=,由正弦定理得sin,A,=,=,.,因为,a,=,c,所以,A,为锐角,所以cos,A,=,=,.,所以sin(,A,-,B,)=sin,A,cos,B,-cos,A,sin,B,=,.,评析,本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能,考查学生运算求解能力.,25/114,26.(湖南,18,12分)如图,在平面四边形,ABCD,中,AD,=1,CD,=2,AC,=,.,(1)求cos,CAD,值;,(2)若cos,BAD,=-,sin,CBA,=,求,BC,长.,26/114,解析,(1)在,ADC,中,由余弦定理,得,cos,CAD,=,=,=,.,(2)设,BAC,=,则,=,BAD,-,CAD,.,因为cos,CAD,=,cos,BAD,=-,所以sin,CAD,=,=,=,sin,BAD,=,=,=,.,于是sin,=sin(,BAD,-,CAD,),=sin,BAD,cos,CAD,-cos,BAD,sin,CAD,=,-,=,.,在,ABC,中,由正弦定理,得,=,故,BC,=,=,=3.,27/114,27.(北京,15,13分)在,ABC,中,a,=3,b,=2,B,=2,A,.,(1)求cos,A,值;,(2)求,c,值.,28/114,解析,(1)因为,a,=3,b,=2,B,=2,A,所以在,ABC,中,由正弦定理得,=,.,所以故cos,A,=,.,(2)由(1)知cos,A,=,所以sin,A,=,=,.,又因为,B,=2,A,所以cos,B,=2cos,2,A,-1=,.,所以sin,B,=,=,.,在,ABC,中,sin,C,=sin(,A,+,B,),=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,=,.,所以,c,=,=5.,评析,本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式,和诱导公式熟练应用是处理本题关键.,29/114,考点二解三角形及其综合应用,1.(课标,4,5分)钝角三角形,ABC,面积是,AB,=1,BC,=,则,AC,=,(),A.5B.,C.2D.1,答案,B,S,ABC,=,AB,BC,sin,B,=,1,sin,B,=,sin,B,=,若,B,=45,则由余弦定理得,AC,=1,则,ABC,为直角三角形,不符合题意,所以,B,=135,由,余弦定理得,AC,2,=,AB,2,+,BC,2,-2,AB,BC,cos,B,=1+2-2,1,=5,AC,=,.故选B.,2.(浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创建“割圆术”能够估算圆周率,理论上能把,值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将值准确到小数点后七位,其结果领先,世界一千多年.“割圆术”第一步是计算单位圆内接正六边形面积,S,6,S,6,=,.,答案,30/114解析,本题考查圆内接正六边形面积计算.,S,6,=6,1,1,sin 60,=,.,3.(浙江,14,6分)已知,ABC,AB,=,AC,=4,BC,=2.点,D,为,AB,延长线上一点,BD,=2,连接,CD,则,BDC,面积是,cos,BDC,=,.,答案,;,解析,本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能,力.,AB,=,AC,=4,BC,=2,cos,ABC,=,=,ABC,为三角形内角,sin,ABC,=,sin,CBD,=,故,S,CBD,=,2,2,=,.,BD,=,BC,=2,ABC,=2,BDC,.又cos,ABC,=,2cos,2,BDC,-1=,得cos,2,BDC,=,又,BDC,为锐角,cos,BDC,=,.,31/114,4.(课标全国文,15,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知,C,=60,b,=,c,=3,则,A,=,.,答案,75,解析,由正弦定理得,=,sin,B,=,又,c,b,B,=45,A,=75,.,易错警示,本题求得sin,B,=,后,要注意利用,b,c,确定,B,=45,从而求得,A,=75,.,5.(课标,16,5分)在平面四边形,ABCD,中,A,=,B,=,C,=75,BC,=2,则,AB,取值范围是,.,答案,(,-,+,),32/114,解析,如图,依题意作出四边形,ABCD,连接,BD,.令,BD,=,x,AB,=,y,CDB,=,CBD,=,.在,BCD,中,由正弦定理得,=,.由题意可知,ADC,=135,则,ADB,=135,-,.在,ABD,中,由正弦定理,得,=,所以,=,即,y,=,=,=,=,.,因为0,75,+,+75,=180,所以30,105,当,=90,时,易得,y,=,;,当,90,时,y,=,=,33/114,又tan 30,=,tan 105,=tan(60,+45,)=,=-2-,结合正切函数性质知,(,-2,),且,0,所以,y,=,(,-,),(,+,).,总而言之:,y,(,-,+,).,评析,本题考查了三角函数和解三角形,利用函数思想方法是求解关键,属偏难题.,6.(北京,12,5分)在,ABC,中,a,=4,b,=5,c,=6,则,=,.,答案,1,解析,在,ABC,中,由余弦定理推论可得cos,A,=,=,=,由正弦定理可知,=,=,=,=1.,评析,本题主要考查正弦定理、余弦定理推论以及二倍角公式应用,考查学生运算求解,能力和知识应用转化能力.,34/114,7.(山东,12,5分)在,ABC,中,已知,=tan,A,当,A,=,时,ABC,面积为,.,答案,解析,由,=tan,A,A,=,得|,|,|cos,=tan,即|,|,|=,=,所以,S,ABC,=,|,|,|sin,A,=8.(福建,13,4分)如图,在,ABC,中,已知点,D,在,BC,边上,AD,AC,sin,BAC,=,AB,=3,AD,=3,则,BD,长为,.,35/114,答案,解析,cos,BAD,=cos,=sin,BAC,=,.故在,ABD,中,由余弦定理知,BD,2,=,BA,2,+,DA,2,-,2,BA,AD,cos,BAD,=3,故,BD,=,.,9.(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知,ABC,面积为,.,(1)求sin,B,sin,C,;,(2)若6cos,B,cos,C,=1,a,=3,求,ABC,周长.,36/114,解析,本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式及其综合应用.,(1)由题设得,ac,sin,B,=,即,c,sin,B,=,.,由正弦定理得,sin,C,sin,B,=,.,故sin,B,sin,C,=,.,(2)由题设及(1)得cos,B,cos,C,-sin,B,sin,C,=-,即cos(,B,+,C,)=-,.,所以,B,+,C,=,故,A,=,.,由题设得,bc,sin,A,=,即,bc,=8.,由余弦定理得,b,2,+,c,2,-,bc,=9,即(,b,+,c,),2,-3,bc,=9,得,b,+,c,=,.,故,ABC,周长为3+,.,37/114,方法总结,解三角形综合应用.1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角形式,方便深入化简计,算,比如:将,c,sin,B,=,变形为,sin,C,sin,B,=,.,(2)三角形面积公式:,S,=,ab,sin,C,=,ac,sin,B,=,bc,sin,A,.,(3)三角形内角和为.,这一性质经常在三角化简中起到消元作用,比如:在,ABC,中,sin(,B,+,C,)=sin,A,.,10.(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,已知sin(,A,+,C,)=8sin,2,.,(1)求cos,B,;,(2)若,a,+,c,=6,ABC,面积为2,求,b,.,38/114,解析,本题考查了三角公式利用和余弦定理应用.,(1)由题设及,A,+,B,+,C,=得sin,B,=8sin,2,故sin,B,=4(1-cos,B,).,上式两边平方,整理得17cos,2,B,-32cos,B,+15=0,解得cos,B,=1(舍去),cos,B,=,.,(2)由cos,B,=,得sin,B,=,故,S,ABC,=,ac,sin,B,=,ac,.,又,S,ABC,=2,则,ac,=,.,由余弦定理及,a,+,c,=6得,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,)=36-2,=4.,所以,b,2.,解后反思,在余弦定理和三角形面积公式利用过程中,要重视“整体运算”技巧.如本题中,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,)中转化就说明了这一点.,39/114,11.(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知sin,A,+,cos,A,=0,a,=,2,b,=2.,(1)求,c,;,(2)设,D,为,BC,边上一点,且,AD,AC,求,ABD,面积.,解析,本题考查解三角形.,(1)由已知可得tan,A,=-,所以,A,=,.,在,ABC,中,由余弦定理得28=4+,c2,-4,c,cos,即,c,2,+2,c,-24=0.,解得,c,=-6(舍去),或,c,=4.,(2)由题设可得,CAD,=,所以,BAD,=,BAC,-,CAD,=,.,故,ABD,面积与,ACD,面积比值为,=1.,又,ABC,面积为,4,2sin,BAC,=2,所以,ABD,面积为,.,40/114,思绪分析,(1)由sin,A,+,cos,A,=0,可求得tan,A,=-,注意到,A,是三角形内角,得,A,=,再由余弦,定理求,c,.(2)由题意知,CAD,=,BAD,=,于是可求得,值,再由,S,ABC,=,4,2sin,BAC,=2,得解.,一题多解,(2)另解一:由余弦定理得cos,C,=,在Rt,ACD,中,cos,C,=,CD,=,AD,=,DB,=,CD,=,S,ABD,=,S,ACD,=,2,sin,C,=,=,.,另解二:,BAD,=,由余弦定理得cos,C,=,CD,=,AD,=,S,ABD,=,4,sin,DAB,=,.,另解三:过,B,作,BE,垂直,AD,交,AD,延长线于,E,在,ABE,中,EAB,=,-,=,AB,=4,BE,=2,BE,=,CA,从而可得,ADC,EDB,BD,=,DC,即,D,为,BC,中点,S,ABD,=,S,ABC,=,2,4,sin,CAB,=,.,41/114,12.(北京理,15,13分)在,ABC,中,A,60,c,=,a,.,(1)求sin,C,值;,(2)若,a,=7,求,ABC,面积.,解析,本题考查正、余弦定理应用,考查三角形面积公式.,(1)在,ABC,中,因为,A,=60,c,=,a,所以由正弦定理得sin,C,=,=,=,.,(2)因为,a,=7,所以,c,=,7=3.,由余弦定理,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,得7,2,=,b,2,+3,2,-2,b,3,解得,b,=8或,b,=-5(舍).,所以,ABC,面积,S,=,bc,sin,A,=,8,3,=6,.,解后反思,依据所给等式结构特点,利用正弦定理将边关系转化为角关系是解题关键.,在求解面积时,经惯用余弦定理求出两边乘积.,42/114,13.(江苏,18,16分)如图,水平放置正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器高,均为32 cm,容器底面对角线,AC,长为10,cm,容器两底面对角线,EG,E,1,G,1,长分别为,14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒,l,其长度为40,cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计),(1)将,l,放在容器中,l,一端置于点,A,处,另一端置于侧棱,CC,1,上,求,l,没入水中部分长度;,(2)将,l,放在容器中,l,一端置于点,E,处,另一端置于侧棱,GG,1,上,求,l,没入水中部分长度.,43/114,解析,本小题主要考查正棱柱、正棱台概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间,想象能力和利用数学模型及数学知识分析和处理实际问题能力.,(1)由正棱柱定义,CC,1,平面,ABCD,所以平面,A,1,ACC,1,平面,ABCD,CC,1,AC,.,记玻璃棒另一端落在,CC,1,上点,M,处.,因为,AC,=10,AM,=40,所以,MC,=,=30,从而sin,MAC,=,.,记,AM,与水面交点为,P,1,过,P,1,作,P,1,Q,1,AC,Q,1,为垂足,则,P,1,Q,1,平面,ABCD,故,P,1,Q,1,=12,从而,AP,1,=,=16.,答:玻璃棒,l,没入水中部分长度为16 cm.,(假如将“没入水中部分”了解为“水面以上部分”,则结果为24 cm),44/114,(2)如图,O,O,1,是正棱台两底面中心.,由正棱台定义,OO,1,平面,EFGH,所以平面,E,1,EGG,1,平面,EFGH,O,1,O,EG,.,同理,平面,E,1,EGG,1,平面,E,1,F,1,G,1,H,1,O,1,O,E,1,G,1,.,记玻璃棒另一端落在,GG,1,上点,N,处.,过,G,作,GK,E,1,G,1,K,为垂足,则,GK,=,OO,1,=32.,因为,EG,=14,E,1,G,1,=62,所以,KG,1,=,=24,从而,GG,1,=,=,=40.,45/114,设,EGG,1,=,ENG,=,则sin,=sin,=cos,KGG,1,=,.,因为,所以cos,=-,.,在,ENG,中,由正弦定理可得,=,解得sin,=,.,因为0,所以cos,=,.,于是sin,NEG,=sin(-,-,)=sin(,+,),=sin,cos,+cos,sin,=,+,=,.,记,EN,与水面交点为,P,2,过,P,2,作,P,2,Q,2,EG,Q,2,为垂足,则,P,2,Q,2,平面,EFGH,故,P,2,Q,2,=12,从而,EP,2,=,=20.,答:玻璃棒,l,没入水中部分长度为20 cm.,(假如将“没入水中部分”了解为“水面以上部分”,则结果为20 cm),46/114,14.(浙江,16,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,b,+,c,=2,a,cos,B,.,(1)证实:,A,=2,B,;,(2)若,ABC,面积,S,=,求角,A,大小.,47/114,解析,(1)证实:由正弦定理得sin,B,+sin,C,=2sin,A,cos,B,故2sin,A,cos,B,=sin,B,+sin(,A,+,B,)=sin,B,+sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,于是sin,B,=sin(,A,-,B,).,又,A,B,(0,),故0,A,-,B,所以,B,=-(,A,-,B,)或,B,A,-,B,所以,A,=(舍去)或,A,=2,B,所以,A,=2,B,.,(2)由,S,=,得,ab,sin,C,=,故有sin,B,sin,C,=,sin 2,B,=sin,B,cos,B,因sin,B,0,得sin,C,=cos,B,.,又,B,C,(0,),所以,C,=,B,.,当,B,+,C,=,时,A,=,;,当,C,-,B,=,时,A,=,.,综上,A,=,或,A,=,.,评析,本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运,算求解能力.,48/114,15.(浙江,16,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别是,a,b,c,.已知A,=,b,2,-,a,2,=,c,2,.,(1)求tan,C,值;,(2)若,ABC,面积为3,求,b,值.,解析,(1)由,b,2,-,a,2,=,c,2,及正弦定理得sin,2,B,-,=,sin,2,C,所以-cos 2,B,=sin,2,C,.,又由,A,=,即,B,+,C,=,得-cos 2,B,=sin 2,C,=2sin,C,cos,C,解得tan,C,=2.,(2)由tan,C,=2,C,(0,)得sin,C,=,cos,C,=,.,又因为sin,B,=sin(,A,+,C,)=sin,所以sin,B,=,.,由正弦定理得,c,=,b,又因为,A,=,bc,sin,A,=3所以,bc,=6,故,b,=3.,评析,本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,49/114,16.(浙江文,16,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知tan,=2.,(1)求,值;,(2)若,B,=,a,=3,求,ABC,面积.,解析,(1)由tan,=2,得tan,A,=,所以,=,=,.,(2)由tan,A,=,A,(0,),得,sin,A,=,cos,A,=,.,又由,a,=3,B,=,及正弦定理,=,得,b,=3,.,由sin,C,=sin(,A,+,B,)=sin,得sin,C,=,.,设,ABC,面积为,S,则,S,=,ab,sin,C,=9.,评析,本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,50/114,17.(浙江,18,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,a,b,c,=,cos,2,A,-cos,2,B,=,sin,A,cos,A,-,sin,B,cos,B,.,(1)求角,C,大小;,(2)若sin,A,=,求,ABC,面积.,51/114,解析,(1)由题意得,-,=,sin 2,A,-,sin 2,B,即,sin 2,A,-,cos 2,A,=,sin 2,B,-,cos 2,B,sin,=sin,.,由,a,b,得,AB,又,A,+,B,(0,),得,2,A,-,+2,B,-,=,即,A,+,B,=,所以,C,=,.,(2)由,c,=,sin,A,=,=,得,a,=,由,a,c,得,A,C,.从而cos,A,=,故sin,B,=sin(,A,+,C,)=sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,=,所以,ABC,面积为,S,=,ac,sin,B,=,.,52/114,评析,本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等,基础知识,同时考查运算求解能力.,18.(浙江文,18,14分)在锐角,ABC,中,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,且2,a,sin,B,=,b,.,(1)求角,A,大小;,(2)若,a,=6,b,+,c,=8,求,ABC,面积.,解析,(1)由2,a,sin,B,=,b,及,=,得,sin,A,=,.因为,A,是锐角,所以,A,=,.,(2)由,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,A,得,b,2,+,c,2,-,bc,=36.,又,b,+,c,=8,所以,bc,=,.,由,S,=,bc,sin,A,得,ABC,面积为,.,评析,本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式及三角运算等基础知识,同时考查运算求,解能力.,53/114,19.(课标全国,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,已知2cos,C,(,a,cos,B,+,b,cos,A,),=,c,.,(1)求,C,;,(2)若,c,=,ABC,面积为,求,ABC,周长.,解析,(1)由已知及正弦定理得,2cos,C,(sin,A,cos,B,+sin,B,cos,A,)=sin,C,(2分),2cos,C,sin(,A,+,B,)=sin,C,.,故2sin,C,cos,C,=sin,C,.,(4分),可得cos,C,=,所以,C,=,.,(6分),(2)由已知,得,ab,sin,C,=,.,又,C,=,所以,ab,=6.,(8分),由已知及余弦定理得,a,2,+,b,2,-2,ab,cos,C,=7.,故,a,2,+