几何三十载.ppt

按一下以编辑母片标题样式,按一下以编辑母片,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,一个质点在空间的移动，可以由映射,x,:0,T,R,3,来描述。它的速度矢量是 ，它的动能是,。,给定空间中两点,p,和,q,，我们考虑所有连接,p,和,q,的质点路径，其中动能最小的路径就是连结,p,和,q,的直线。,1,假如量度速度矢量时不用欧氏度量，而是用随点变动的内积,x,，我们还是可以定义动能,。,在空间每一点都可以变动的内积，即是说给出了黎曼度量，可以写作一个张量。,而上述的动能可以写成,。,研究这种内积的几何学叫做黎曼几何，它推广了欧氏几何、双曲几何和椭圆几何。,2,在一般的黎曼几何里，两点,p,和,q,之间可以有超过一条的路径使得,E,(,x,)是极短的。,事实上这些路径一定是测地线，从球上的北极到南极有无穷多条测地线。,一般来说，很多测地线不是,p,和,q,间最短的线，它们只是局部最短的，即是说在 0,T,的任意一个小的线段上是极短的。,在给定,p,和,q,时，我们考虑一个包括所有曲线的空间：,这个空间的拓朴性质可以由所有的从,p,到,q,的测地线和其上的Morse index 指标来决定（Morse 指标其实是缩短测地线长度的所有方向的维数），由,p,q,的拓朴可以推导空间本身的拓朴，这是Bott在古典群上的工作。,3,Laplace 算子的谱在近代几何起着极重要的作用。它们的乘积，通过重整化后就是 Laplacian 的行列式。现在来看 Laplace 算子的古典的处理方法。,我们来看一维空间的情形,所以,其中 ，当,y,很小时，,f,可以看作,f,的平均值减,f,的值得出来的算子。,6,一般来说，Laplace 算子可以看作将函数不断采取平均值的一个算子。,一个古典问题：,在一个领域,的边界上给定一个函数,f,，我们希望将,f,延拓到 里，使得 极小，这叫 Dirichlet 边值问题，这样得到的,f,叫调和函数，它满足,f,=0,。,7,一个构造调和函数的方法为 Perron 方法，就是不断的取函数的局部平均值，直至它变为调和函数为止。,以后发现一个更好的办法是解热方程：,我们任意延拓,f,到领域,中，使得我们有给定的在边界上的值，然后解以下的热方程,此处,为 Laplace 算子。,这方程描述在时间为零时，热的分布由,f,给出，而到,t,0，则由上述方程的解给出。,8,当时间趋于无穷时，此问题的解会趋向于一个调和函数，并且保持,f,的边值，因而解决了 Dirichlet 边值问题。,这个热方程方法在廿世纪下半叶的微分几何中占了很重要的地位，它给出一个方法将外微分形式渐变为调和形式，因而给出 Hodge 理论一个简单的证明。,这个证明也可以应用于 Atiyah-Singer 指标定理的局部证明。Atiyah 和 Singer 研究一阶椭圆线性微分算子,D,的解空间的维数。这个算子有对偶算子,D,*，我们也可考虑它的解空间的维数，两个维数的差叫做算子,D,的指标。,9,我们考虑算子 exp(-,t D,*,D,)exp(-,t DD,*)的迹(trace)。当时间很大时，它给出算子的指标，但我们发觉在 0,t,1的曲面,g,=2,g,=3,16,在球的情形，任何黎曼度量可以保角变换到单位球。,在环的情形，任何黎曼度量可以保角变换到曲率为零的环,：,在平面上取平行四边形，然后将对边连接起来。,在亏格g1时，Poincare 证明任何在这种曲面的黎曼度量可以保角的变换为曲率等于负一的曲面。,所有曲率负一的曲面可以由 6,g,-6 自由度的空间来刻划，此空间叫做 Teichmuller 空间。,17,这种理论可以与在复变函数论中学过的单值化定理比较：,在,R,2,中，任何一个单连通的领域可以保角地映射到单位圆。,比较一般的领域则可以保角的映射到一般如图中的领域,一个很重要的事实是：在曲面上所有黎曼度量通过保角变换后都有常数的曲率，通过微分同胚后，这种空间是有限维的，它的维数是 6,g,-6。,18,我们考虑二维曲面如何变化到上述曲率为常数的空间。,我们将黎曼度量全部放在一起，然后用一个类似于上述的抛物型方程来改动黎曼度量,其中,K,乃是,g,ij,的曲率（在二维时只有一个曲率）。,Hamilton 和其他工作者证明这个方程有光滑解并当,t,，这个解收歛于,K,=常数的度量，他引进了熵的观念并利用 Li-Yau 不等式。,19,Hamilton 引入的熵基本上是用来控制方程的收歛性，它随时间而増长，这是由推广 Li-Yau 不等式而得到的。,二维空间的方程由 Hamilton 推广到高维的黎曼空间，其想法有两个不同的根据。,首先，Einstein 已经知道引力场是由一个类似于黎曼张量的张量,g,ij,dx,i,dx,j,所决定的，引力由整个曲率张量给出。其中有一部份曲率是由物质的分布给出，这部份的张量叫做 Ricci 张量。,20,假如我们用调和函数做坐标系统，我们发觉Ricci张量,为,R,ij,=-,g,ij,。,影响几何差不多一百年的 Einstein 方程就是,其中,R,是,R,ij,的迹(trace)，而,T,ij,则是描写物质分布的张量。,如果没有物质(vacuum)的话，可以证明,R,ij,=0。,假如 Einstein 方程中加上 cosmology 常数，在没有物质的情况下会它改变为,R,ij,=,C g,ij,，,其中,C,是常数。,21,在黎曼几何学中，研究甚么空间有这种 Einstein 度量是一个最基本的问题，这个问题可以比喻为在空间上找一个最和阶的度量。,最简单的 Einstein 度量是常曲率空间，局部来说，它与圆球,、,欧氏空间或双曲空间其中一个等价。整体来说，它由离散群来决定例如在二维的黎曼曲面上存在曲率等于负一的度量，它们是 Poincare 圆盘,D,通过,SL,(2,R,)中离散子群,作用,的商得出的，它可以写成,D,/,。,22,可以证明在二维或三维空间中，Einstein 空间一定是常曲率空间。二维空间的拓朴的基本结构就全部由这些度量来决定。,在三维空间的时候，Thurston 猜测说任何三维空间都是由有限个拥有简单的黎曼度量的空间联结而成的，其中最基本的是常曲率空间，其次是一些由二维空间通过圆纤维构造出来的三维空间。,23,Thurston 猜测包含了 Poincare 猜测。Poincare 在二十世纪初猜测任何一个单连通的三维空间都与三维球同胚。单连通的定义是说在此空间中任何一个闭曲线可以连续收缩成一点。,Thurston 和 Poincare 的猜测可说是三维空间结构的最基本问题。Thurston 本人研究传统的三维拓朴方法和双曲几何，其中重要的是 Mostow 刚性定理和黎曼曲面上的曲线分布的理论，得到漂亮的结构性定理。,但是 Thurston 的方法需要假定存在所谓不可压缩的曲面，这样才可能进行空间的切割，除非有新的想法，不大可能将整个猜测证明。,24,一九八零年，Hamilton 企图推广 Eells 和 Sampson 在调和映射的方法到黎曼度量去。他建议对度量做一个抛物方程，很自然的想到,但是右方的,g,ij,在坐标变换后变得没有意义，在调和坐标系统时它却是-,R,ij,，所以代之而考虑,则是有意义的事情。,25,Hamilton 以深入的分析方法证明,：,假如始值的,g,ij,有正定的 Ricci 张量时，上述方程有解，同时在时间趋于无穷时，收歛于一个常曲率空间。这可以说是近代几何学上的一个奠基性工作。,在一九八一年，我邀请他到普林斯顿研究所作报告后，我立时建议多个研究生做这方面的工作，并考虑复几何的相应情形。在这方面 Bando 和曹怀东都做了重要的工作。,26,在此之前，有不少的几何学家已经考虑平面曲线的变动问题，每一条曲线都有曲率，我们可沿着曲线的法方向来推动曲线，推动的速度是它的曲率，如此得到的方程也是抛物方程与 Hamilton 的方程极为类似。Grayson,、,Hamilton 和 Gage 证明任何一个光滑的闭曲线可以光滑地变动为圆形的一点。,这个定理就如同 Hamilton 流在二维黎曼曲面一样，在整个变动的过程中并不出现奇异点。,27,Hamilton 的文章发表以后，Huisken 在一九八四年发现类似的定理：,在三维欧氏空间里，任何凸闭曲面可以沿着法线，用平均曲率推动，最后会变成球面形状的点。此处凸曲面与 Ricci 曲率为正的相类似。,假如曲面开始时不是凸的，则可以出现奇异点，并在奇异点出现后，将曲面分裂。,(1)(2)(3),我们叫这个流为平均曲率流。,28,Hamilton 和我在一九八五年在加州大学共事，他的办公室在我的办公室旁边。我建议用他的流来解决 Thurston 的猜测，一方面与平均曲率流比较，一方面与 Sacks-Uhlenbech 在二维黎曼曲面上调和映射的 bubbling 过程相似。但是最令人担心的是分裂时的奇异点如何处理，是否有无穷多次的分裂，同时分裂后的几何如何处理。,29,为了控制奇异点的性质，我建议 Hamilton 用我和 Peter Li 刚完成的关于热方程的估值和理论。在几年内，Hamilton 将Li-Yau 估值发展成使我惊异的深入理论。他在一九九五年发表一篇极为重要的文章，解释 Thurston 的几何分解可以在控制奇异点的假设下推导出来。这篇文章将整个流的研究带入新的境界。然后，Hamilton 与我致力于推广类似于 Li-Yau 不等式的估值，希望能够用来控制 Hamilton 流的奇异点。,两年前，Perelman 公布了三篇文章，里面的新想法可以用来处理一些奇异点的问题，Ricci 流的研究得到极大的进展。,30,虽然如何处理流形分裂后的问题还没有完全解决，但迄今的纍纍成果，已经让我们看到几何分析的威力。,除了 Hamilton Ricci 流对几何结构的重要贡献外，我们也期望与它类似的平均曲率流对拓朴学的贡献，假如它不产生到奇异点的话，它给出一条自然(canonical)路径将曲面变动成球面，存在这种途径叫做 Smale 猜测（它的拓朴证明由 Hatcher 给出）。,31,值得注意的是在研究 Hamilton 的 Ricci 流时，大量的偏微分方程的估值问题需要解决。施皖雄的博士论文,、,Li-Yau-Hamilton 不等式，和其他有关的非线性估值都占据重要的位置，在这里也用到极小子流形的理论，有部份是 Schoen-Yau 在解决正质量猜想时得出的不等式。,事实上在七十年代时 Meeks-Yau 就曾利用极小子流形来解决重要的三维拓朴问题，在这二十年来拓朴学家利用这个想法得出不少结果。,这几年来朱熹平和其合作者用 Hamilton 流获得复几何中很重要的成果，对我作的一个有关的重要猜想的解决推进了一大步。,32,四维空间的主要工具是 Donaldson 和 Seiberg-Witten 理论。前者是由 Yang-Mills 理论里面的 self-dual 规范场的模空间得出拓朴空间的不变量，以后由比较简单的 Seiberg-Witten 方程简化。这些理论在四维空间有特别意义，其中一个原因是它的保角不变性。,四维空间有可能存在的一种几何结构叫做辛结构。当存在辛结构时，Taubes 创造了一个极为重要的理论，他证明了拟全纯曲线的个数可以用来构造 Seiberg-Witten 拓朴不变量。很多重要的辛几何定理因此得到证明。从这里也可以看到黎曼曲面和高维拓朴的关系。,辛几何包含了代数曲面的理论，但是代数曲面的内容丰富得多，如何去构造代数结构仍是一个重要的命题。,33,四维空间的拓朴结构问题至今仍是数学上一个最困难的问题。一般来说高维空间的拓朴是用切割空间的方法来进行研究的。我们希望将拓朴的问题变成代数的问题来处理。例如以同调群,、,同伦群和特征类作为基本的计算量，我们希望创造一本字典使我们能找出空间的一切拓朴性质，而代数的记录方法是最为明了的。,因此在给定一个代数量时，我们要想办法将它用几何方法表示出来，例如同调群里面的元素，可以用浸入到空间的子流形表示。问题是,：,这些浸入的子流形会自行相交，这些相交的量有一部份可以用代数方法来代表，我们希望通过一个过程来变动子流形，使得它的几何相交的点与代数给出的量一样，假如这个变动成功的话，几何意义则可由代数方法给出。,34,这是微分拓朴学中的一个至为要紧的方法，Whitney 在研究流形浸入到欧氏空间时就研究这个问题，他发觉可以利用二维圆盘的嵌入来解决其中的困难。,D,在研究四维空间时重要的工具，乃是寻找有特殊对称的曲面的存在性。Taubes 的工作精义在于在四维空间有辛结构时，存在拟全纯曲线。如何决定四维空间存在辛结构却是极为困难的问题，四维空间的拓朴结构将会是本世纪数学的一个基本问题。,但是如何把二维圆盘嵌入四维空间是一个难题（在高维空间时，圆盘可以通过扰动而成为嵌入的图形）。,35,近代几何最主要的活动大部份围绕于带有内对称的结构而开展，一方面要构造这种结构，一方面要寻找这些结构的性质。在二维和三维空间，我们大部时间在寻找常曲率空间的结构，在三维空间，这些结构与纽结(knot)的拓朴性质有关，例如,：,Chern-Simons 的理论或 Yang-Baxter 理论都有很丰富的内容。除了这些结构外，二维和三维空间还有仿射和投影结构，它们也有精彩的内容，很多重要的方向还待开发。,一般来说，在一个给定的空间上，可能有无穷多个类似的结构，它们本身成为一个新的空间，我们叫它做结构的模空间。模空间上的结构可以由原来的结构引出。这些新的结构有时比原来的结构容易计算而甚至更为重要。,36,举个例子来说，在数学上最重要的模空间就是由所有在一个二维曲面上的复结构所组成，就是前面谈到的,Teichmuller 空间，它的商(quotient)叫做曲面的模空间，在代数几何和近代弦理论起着极为重要的地位。,由于曲面上有不同的结构，因此在模空间上亦有不同的几何结构，例如它有 Weil-Peterson 的黎曼度量，有 Bergman 度量，有 Kahler-Einstein 度量等等。这两年来，刘克峰、孙小峯和我终于搞清楚这些几何中间的关系，这个古典的空间蕴含了种种不同的讯息，有微分几何的,、,有代数几何的,、,有算术几何的,、,有弦理论的。,37,近代弦理论将曲线的轨迹看成是一个曲面，在其上研究整个轨迹的古典Action而加以量化后，得出极为漂亮的数学理论。最重要的原动力由弦理论提供，为了对弦振动量子化，他们提出共形场论的重要性，超对称共形代数的表示理论提供了极为丰富的数学启示，很多极为重要的公式，例如 Verlinde 公式，例如 Witten 在模空间上发现关于陈类积分的公式，将原来古典的由 Mumford 和其他代数几何学家发展的理论大大提升。,38,由于弦理论建基于超对称的存在性，要求玻子和费子可以对应，所以在曲线划出的轨迹上，古典的能有玻子和费子的对称性，量化的结果亦要求时空上有超对称的观念。基本上我们要求时空有固定的旋子(spinor),（,它的微分等于零,）,，这种空间或者可以叫做超对称空间。,二十年前就发现我们熟习已久的复几何里面的 Kahler 度量是超对称的，所以黎曼曲面也是超对称的。,在考虑弦理论的真空的状态时，也要求时空没有物质，因此也要求它的 Ricci 张量等于零。这种空间的存在是我在1976年时用偏微分方程证明的。,39,因此这类空间一般叫做 Calabi-Yau 空间（它的存在是由 Calabi 猜测的），这二十年来，这个空间的几何理论极为丰富，弦论的发展要求这种空间有所谓镜对称的存在性，一个空间的量子场论可以与其他完全不同空间的量子场论等价，从而得出计算这种场论的方法，在几何学上解决了困扰代数几何学一百年来的问题。从前跟我的一个博士后 Brian Greene 开始这方面的镜对称的研究，Vafa,、,Witten 等作了啓发性的贡献，刘克峰,、,连文豪和我先在镜对称上做了严格的数学证明以后，刘克峰,、,刘秋菊,、,周军和李骏等在最近 Vafa 的猜想上得到极为重要的贡献。,40,除了 Calabi-Yau 空间外，还有两类极为重要的超对称空间，它们与李群有关，一个是,G,2,，一个是 Spin(7)。它们的结构还不很清楚，但是已经有很好的开始，很多几何学家如 Joyce,、,Hitchin,、,梁廼聪,、,Zaslow,、,Gukov,、,Sparks和我都做了一些贡献，这方面的几何在未来十年应当会有重要的发展。,41,在研究这些几何时，很重要的工具是空间里带有超对称的子流形和规范场，还有他们中间的关系。,例如在 Calabi-Yau 空间的理论里，代数子流形当然是其中重要的带超对称的子流形，还有一类叫做 special Lagrangian 子流形，它在 Calabi-Yau 流形中有结构性的重要。Strominger-Yau-Zaslow 理论需要它的存在，SYZ 理论已经得到很多重要的支持，以后会继续发展下去，它以几何的方法解释了镜对称的来源。,42,在这里值得提出的是在代数几何和算术几何里面的 Hodge 猜想，这个猜想极为重要，将会是这个世纪几何上一个重要发展的里程碑。国内教育部提供大量经费给团队来研究这个问题，事实上，据我所知，未有国内或国外华裔数学家真正去考虑过这个问题，我希望国内几何学家把注意力于在这个重要问题上。,43,黎曼曲面的理论不单在弦理论和高维空间发挥了极大的功用，在工程问题上也有其着力之处。现在给大家看一些顾险峰,、,王雅琳和我在图像处理上的工作，我们大量地利用了这方面的工具。,44,几何颂,穹苍广而善美兮何天理之悠悠,先哲思而念远兮奚术算之久留,形与美之交接兮心与物之融流,临新纪以展望兮翼四力以真求,岂原爆之非妄兮实万物之始由,曲率浅而达深兮时空坦而寡愁,曲率极而物毁兮黑洞冥而难求,相迁变而规物兮几何雅其远谋,扬规范之场论兮柘朴衰而复留,时空荡而物生兮新数学其始流,惟对称之内薀兮类不变而久悠,道深奥而动心兮惟精析之能图,质与量之相成兮匪线化之能筹,45,