高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.1抛物线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖课.pptx

2.3.2抛物线简单几何性质,第1课时抛物线简单几何性质,1/53,2/53,主题抛物线几何性质,类比椭圆、双曲线几何性质及其探究方法,你能否结合抛物线图形,探索抛物线几何性质?,3/53,提醒:,由如图所表示抛物线图形可见,开口向右抛物线顶点在原点,以x轴为对称轴且向右无限伸展;图形改变趋势比较平缓,且图形上任一点到焦点距离与它到准线距离相等.,4/53,结论:抛物线简单几何性质,标准方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py,(p0),图象,5/53,标准方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x2,=2py,(p0),x,2,=-2py,(p0),性质,范围,_,_,_,_,对称轴,_轴,_轴,顶点,_,焦点,_,_,_,_,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),6/53,标准方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py,(p0),准线,_,_,_,_,离心率,e=_,1,7/53,【微思索】,1.在同一坐标系中作出抛物线y,2,=4x,y,2,=2x,y,2,=x,y,2,=x图形.观察并回答抛物线开口大小由什,么决定.,提醒,:,作出图形如图所表示,依据图形比较可知,开口,大小由,p,决定,p,越大,开口越开阔,p,越小则开口越小,.,8/53,9/53,2.过抛物线y,2,=2px(p0)焦点且垂直于对称轴直线被抛物线截得线段长度是多少?,提醒,:,2p.,10/53,【预习自测】,1.顶点在原点,准线方程为y=2抛物线方程为(),A.y,2,=8xB.y,2,=-8x,C.x,2,=8yD.x,2,=-8y,11/53,【解析】,选D.因为准线为y=2,设抛物线方程为x,2,=,-2py(p0),且 =2,p=4,所以抛物线方程为x,2,=-8y.,12/53,2.若抛物线y=x,2,上一点P到焦点F距离为5,则P点坐标为(),A.(4,4)B.(4,4),C.D.13/53,【解析】,选B.因为抛物线方程为y=x,2,所以焦点为F(0,1),准线为,l,:y=-1,设所求点坐标为P(x,y),作PQ,l,于Q.依据抛物线定义可知P到准线距离等于PQ长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=4,故点P坐标为(4,4).,14/53,3.以x轴为对称轴抛物线通径(过焦点且与x轴垂直弦)长为8,若抛物线顶点在坐标原点,则其方程为,(),A.y,2,=8xB.y,2,=-8x,C.y,2,=8x或y,2,=-8xD.x,2,=8y或x,2,=-8y,15/53,【解析】,选C.设抛物线y,2,=2px或y,2,=-2px(p0),p=4,可得抛物线方程.,16/53,4.抛物线y,2,=ax上有一点P(3,m),它到焦点距离等于4,则a=_,m=_.,【解析】,由题意得,a0,且,所以,17/53,答案:,42,18/53,5.设抛物线y,2,=16x上一点P到对称轴距离为12,则点P与焦点F距离|PF|=_.,【解析】,不妨设,P(x,12),代入,y,2,=16x,得,x=9,所以|PF|=x+=9+4=13.,19/53,答案:,13,20/53,6.已知抛物线关于y轴对称,它顶点在坐标原点,而且经过点M(,-2 ),则它方程为_.,【解析】,因为抛物线关于y轴对称,它顶点在坐标原点,而且经过点M(,-2 ),所以可设它标准方程为x,2,=-2py(p0).,21/53,又因为点M在抛物线上,所以(),2,=-2p(-2 ),即p=.所以所求方程是x,2,=-y.,答案:,x,2,=-y,22/53,类型一抛物线性质及其应用,【典例1】,(1)(全国卷)设F为抛物线C:y,2,=4x焦点,曲线y=(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=,(),A.B.1C.D.2,23/53,(2)已知点P(x,y)在抛物线y,2,=4x上,则z=x,2,+y,2,+4最小值为_.,【解题指南】,(1)P是两条曲线交点,先利用抛物线方程y,2,=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y=.,(2)将z表示为关于x二次函数求解,注意x取值范围24/53,【解析】,(1)选D.因为抛物线方程是y,2,=4x,所以F(1,0).,又因为PFx轴,所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y=(k0),即 =2,所以k=2.,25/53,(2)z=x,2,+y,2,+4=x,2,+2x+4=(x+1),2,+3,因为y,2,=4x0,所以x0,+),所以当x=0时,z,min,=4.,答案,:,4,26/53,【方法总结】,抛物线各元素间关系,抛物线焦点一直在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴交点,准线一直与对称轴垂直,准线与对称轴交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点距离为 .,27/53,【巩固训练】,(孝感高二检测)在抛物线y,2,16x上到顶点与到焦点距离相等点坐标为(),A.(4 ,2)B.(4 ,2),C.(2,4 )D.(2,4 ),28/53,【解析】,选D.抛物线y,2,=16x顶点为O(0,0),焦点为F(4,0),设P(x,y)符合题意,则有,所以符合题意点为(2,4 ).,29/53,【赔偿训练】,(长沙高二检测)已知定点,A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y,2,=2x上移动,则,最小值等于_.,30/53,【解析】,设P(x,y),因为A(-3,0),B(3,0),则,=(x+3,y)(x-3,y)=x,2,+y,2,-9=x,2,+2x-9=(x+1),2,-10(x0),所以当x=0时,(),min,=-9.,答案:,-9,31/53,类型二依据抛物线性质求方程,【典例2】,若抛物线焦点与椭圆 一个焦点重合,则抛物线标准方程为_.,【解题指南】,用待定系数法求方程,分类讨论焦点位置.,32/53,【解析】,由题意知椭圆焦点为(2,0),(-2,0),当抛物线焦点为(2,0)时,方程为y,2,=8x,当抛物线焦点为(-2,0)时,方程为y,2,=-8x,所以抛物线标准方程为y,2,=8x或y,2,=-8x.,33/53,答案:,y,2,=8x或y,2,=-8x,34/53,【方法总结】,待定系数法求抛物线标准方程步骤,(1)定位置:依据抛物线几何性质等条件确定焦点位置或开口方向.,(2)设方程:依据确定焦点位置设出对应方程,若未能确定则要分情况讨论.,35/53,(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p方程,确定p值.,(4)写出方程:依据求出p值,代入设出方程,确定抛物线方程.,36/53,【巩固训练】,设抛物线y,2,=mx(m0)准线与直线x=1距离为3,求抛物线方程.,【,解析】,当m0时,由2p=m,得 =,这时抛物线准线方程是x=-.,因为抛物线准线与直线x=1距离为3,37/53,所以1-=3,解得m=8,这时抛物线方程是y,2,=8x.,同理,当m0)焦点,则该抛物线标准方程是_.,39/53,【解析】,线段OA垂直平分线为4x+2y-5=0与x轴交点为 ,所以抛物线焦点为 ,所以其标准方程是y,2,=5x.,答案:,y,2,=5x,40/53,类型三焦点弦问题,【典例3】,(九江高二检测)过抛物线y,2,=4x焦点F作直线交抛物线于A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,)两点,假如x,1,+x,2,=7,求线段AB长.,【解题指南】,利用抛物线定义,把,|AB|=|,AF|+|BF|,转化为A,B两点到准线距离和来求解.,41/53,【解析】,由抛物线方程得 =1,所以依据抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x,1,+x,2,+=x,1,+1+x,2,+1=7+2=9.,42/53,【延伸探究】,1.本例中,若点A,B是倾斜角为60直,线与抛物线交点,则|AB|等于多少?,【解析】,因为抛物线焦点是,(1,0),所以直线,AB,方程,为,y=(x-1),与抛物线方程联立消去,y,得,3x,2,-10 x+3=0,所以,x,1,+x,2,=,从而,|AB|=x,1,+x,2,+p=+2=.,43/53,2.本例中,证实以线段AB为直径圆与抛物线准线相切,该结论能否推广到任意抛物线方程y,2,=2px?,【解析】,因为线段,AB,中点横坐标为,所以以,AB,为直径圆圆心到准线,x=-1,距离为,而,AB,长度为,9,所以以,AB,为直径圆半径为,故该圆与准线相切,.,该结论能够推广,证实以下:,44/53设抛物线方程y,2,=2px过焦点弦为AB,中点为M,准线为,l,A,1,B,1,分别为A,B在准线,l,上射影,则|AA,1,|=|AF|,|BB,1,|=|BF|,于是M到,l,距离d=(|AA,1,|+|BB,1,|),=(|AF|+|BF|)=|AB|=半径,故相切.,45/53,【方法总结】,抛物线焦点弦问题解法,(1)因为抛物线焦点弦过焦点,所以与焦点弦相关问题要注意结合抛物线定义求解.,(2)焦点弦相关问题要把过焦点直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数关系求解.,46/53,(3)求焦点弦长度能够利用两点间距离公式,也能够利用弦长公式,但因为弦过焦点,结合抛物线定义得出焦点弦长.以抛物线y,2,=2px(p0)为例,过抛物线焦点F,作直线交抛物线于A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则焦点弦长为x,1,+x,2,+p,同时由弦长x,1,+x,2,+p2 +p=2p,当且仅当x,1,=x,2,时,取“=”知,通径是全部弦中最短弦.,47/53,【拓展延伸】,1.抛物线焦点弦常见结论,(1)若AB是抛物线y,2,=2px(p0)焦点弦(过焦点弦),且A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),则x,1,x,2,=,y,1,y,2,=-p,2,.,(2)若AB是抛物线y,2,=2px(p0)焦点弦,且直线AB倾斜角为,则|AB|=(0).,48/53,2.焦点弦公式,抛物线y,2,=2px(p0),|AB|=p+(x,1,+x,2,);,抛物线y,2,=-2px(p0),|AB|=p-(x,1,+x,2,);,抛物线x,2,=2py(p0),|AB|=p+(y,1,+y,2,);,抛物线x,2,=-2py(p0),|AB|=p-(y,1,+y,2,).,49/53,【赔偿训练】,设抛物线y,2,=8x焦点为F,准线为,l,P,为抛物线上一点,PA,l,A为垂足,假如直线AF斜率为,-,那么|PF|=(),A.4 B.8C.8 D.16,50/53,【解析】,选B.设A(-2,y),F(2,0),所以,所以y=4 ,所以y,P,=4 ,因为P在抛物线上,所以y,P,2,=8x,P,所以,由抛物线定义可得|PF|=|PA|=x,P,-x,A,=6-(-2)=8.,51/53,【课堂小结】,1.知识总结,52/53,2.方法总结,抛物线几何性质研究方法,(1)标准方程法:由标准方程形式明确抛物线几何特征.,(2)数形结正当:结合抛物线定义,在坐标系中将线段长用坐标表示,进而处理与几何特征相关问题方法.,53/53,