高考数学复习第四章解三角形市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),第四章解三角形,1/91,1.,(江苏,14,5分,0.29)若,ABC,内角满足sin,A,+,sin,B,=2sin,C,则cos,C,最小值是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,解析,设,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.,sin,A,+,sin,B,=2sin,C,由正弦定理得,a,+,b,=2,c,cos,C,=,=,=,=,=,当且仅当,a,=,b,时等号成立,故cos,C,最小值为,.,2/91,2.,(江苏,18,16分)如图,水平放置正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器高均,为32 cm,容器底面对角线,AC,长为10,cm,容器两底面对角线,EG,E,1,G,1,长分别为14,cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒,l,其长度为40 cm.,(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计),(1)将,l,放在容器中,l,一端置于点,A,处,另一端置于侧棱,CC,1,上,求,l,没入水中部分长度;,(2)将,l,放在容器中,l,一端置于点,E,处,另一端置于侧棱,GG,1,上,求,l,没入水中部分长度.,3/91,解析,本小题主要考查正棱柱、正棱台概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间,想象能力和利用数学模型及数学知识分析和处理实际问题能力.,(1)由正棱柱定义,CC,1,平面,ABCD,所以平面,A,1,ACC,1,平面,ABCD,CC,1,AC,.,记玻璃棒另一端落在,CC,1,上点,M,处.,因为,AC,=10,AM,=40,所以,MC,=,=30,从而sin,MAC,=,.,记,AM,与水面交点为,P,1,过,P,1,作,P,1,Q,1,AC,Q,1,为垂足,则,P,1,Q,1,平面,ABCD,故,P,1,Q,1,=12,从而,AP,1,=,=16.,答:玻璃棒,l,没入水中部分长度为16 cm.,(假如将“没入水中部分”了解为“水面以上部分”,则结果为24 cm),4/91,(2)如图,O,O,1,是正棱台两底面中心.,由正棱台定义,OO,1,平面,EFGH,所以平面,E,1,EGG,1,平面,EFGH,O,1,O,EG,.,同理,平面,E,1,EGG,1,平面,E,1,F,1,G,1,H,1,O,1,O,E,1,G,1,.,记玻璃棒另一端落在,GG,1,上点,N,处.,过,G,作,GK,E,1,G,1,K,为垂足,则,GK,=,OO,1,=32.,因为,EG,=14,E,1,G,1,=62,所以,KG,1,=,=24,从而,GG,1,=,=,=40.,5/91,设,EGG,1,=,ENG,=,则sin,=sin,=cos,KGG,1,=因为,所以cos,=-,.,在,ENG,中,由正弦定理可得,=,解得sin,=,.,因为0,所以cos,=,.,于是sin,NEG,=sin(-,-,)=sin(,+,),=sin,cos,+cos,sin,=,+,=,.,记,EN,与水面交点为,P,2,过,P,2,作,P,2,Q,2,EG,Q,2,为垂足,则,P,2,Q,2,平面,EFGH,故,P,2,Q,2,=12,从而,EP,2,=,=20.,答:玻璃棒,l,没入水中部分长度为20 cm.,(假如将“没入水中部分”了解为“水面以上部分”,则结果为20 cm),6/91,3.,(江苏,15,14分)在,ABC,中,AC,=6,cosB,=,C,=,.,(1)求,AB,长;,(2)求cos,值.,解析,(1)因为cos,B,=,0,B,所以sin,B,=,=,=,.,由正弦定理得,AB,=,=,=5,.,(2)解法一:在,ABC,中,A,+,B,+,C,=,所以,A,=-(,B,+,C,),于是cos,A,=-cos(,B,+,C,)=-cos,=-cos,B,cos,+sin,B,sin,又cos,B,=,sin,B,=,故cos,A,=-,+,=-,.,7/91,因为0,A,所以sin,A,=,=,.,所以,cos,=cos,A,cos,+sin,A,sin,=-,+,=,.,解法二:因为cos,C,=cos,=,=所以,BC,2,-6,BC,-14=0,解得,BC,=7,或-,(舍去),所以cos,A,=,=-,又,A,(0,),所以sin,A,=,=,于是cos,=,cos,A,+,sin,A,=,.,8/91,4.,(江苏,18,16分,0.430)如图,游客从某旅游景区景点,A,处下山至,C,处有两种路径.一个是从,A,沿直线步行到,C,另一个是先从,A,沿索道乘缆车到,B,然后从,B,沿直线步行到,C,.,现有甲、乙两位游客从,A,处下山,甲沿,AC,匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从,A,乘,缆车到,B,在,B,处停留1 min后,再从,B,匀速步行到,C,.假设缆车匀速直线运行速度为130 m/min,山,路,AC,长为1 260 m,经测量,cos,A,=,cos,C,=,.,(1)求索道,AB,长;,(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲距离最短?,(3)为使两位游客在,C,处相互等候时间不超出3分钟,乙步行速度应控制在什么范围内?,9/91,解析,(1)在,ABC,中,因为cos,A,=,cos,C,=,所以sin,A,=,sin,C,=,.,从而sin,B,=sin-(,A,+,C,),=sin(,A,+,C,),=sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,=,+,=,.,由,=,得,AB,=,sin,C,=,=1 040(m).所以索道,AB,长为1 040 m.,(2)设乙出发,t,分钟后,甲、乙两游客距离为,d,m,此时,甲行走了(100+50,t,)m,乙距离,A,处130,t,m,所以,由余弦定理得,d,2,=(100+50,t,),2,+(130,t,),2,-2,130,t,(100+50,t,),=200(37,t,2,-70,t,+50),10/91,因0,t,即0,t,8,故当,t,=,min时,甲、乙两游客距离最短.,(3)由,=,得,BC,=,sin,A,=,=500(m).,乙从,B,出发时,甲已走了50,(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能抵达,C,.,设乙步行速度为,v,m/min,由题意得-3,-,3,解得,v,所认为使两位游客在,C,处相互等候时间不超出3分钟,乙步行速度应控,制在,(单位:m/min)范围内.,评析,本题考查正、余弦定理,二次函数最值以及两角和正弦等基础知识和基本技能,考查,学生阅读能力和分析、处理实际问题能力.,11/91,考点一正、余弦弦定理,1.,(课标全国文,16,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,若2,b,cos,B,=,a,cos,C,+,c,cos,A,则,B,=,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,60,解析,解法一:由正弦定理得2sin,B,cos,B,=sin,A,cos,C,+sin,C,cos,A,即sin 2,B,=sin(,A,+,C,),即sin 2,B,=sin,(180,-,B,),可得,B,=60,.,解法二:由余弦定理得2,b,=,a,+,c,即,b,=,b,所以,a,2,+,c,2,-,b,2,=,ac,所以cos,B,=,又0,B,180,所以,B,=60,.,思绪分析,利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.,2.,(课标全国文改编,11,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知sin,B,+sin,A,(sin,C,-,cos,C,)=0,a,=2,c,=,则,C,=,.,12/91,答案,解析,本题考查正弦定理和两角和正弦公式.在,ABC,中,sin,B,=sin(,A,+,C,),则sin,B,+sin,A,(sin,C,-cos,C,),=sin(,A,+,C,)+sin,A,(sin,C,-cos,C,)=0,即sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,+sin,A,sin,C,-sin,A,cos,C,=0,cos,A,sin,C,+sin,A,sin,C,=0,sin,C,0,cos,A,+sin,A,=0,即tan,A,=-1,即,A,=,.,由,=,得,=,sin,C,=,又0,C,C,=,.,方法总结,解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定,理,以到达求解三角函数值时消元目标,比如本题中sin,B,=sin(,A,+,C,)应用.,13/91,3.,(山东理改编,9,5分)在,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.若,ABC,为锐角三角形,且满,足sin,B,(1+2cos,C,)=2sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,则以下等式成立是,.,a,=2,b,;,b,=2,a,;,A,=2,B,;,B,=2,A,.,答案,解析,本题考查三角公式利用和正弦定理、余弦定理.,解法一:因为sin,B,(1+2cos,C,)=2sin,A,cos,C,+cos,A,sin,C,所以sin,B,+2sin,B,cos,C,=sinA,cos,C,+sin(,A,+,C,),所以sin,B,+2sin,B,cos,C,=sin,A,cos,C,+sin,B,即cos,C,(2sin,B,-sin,A,)=0,所以cos,C,=0或2sin,B,=sin,A,即,C,=90,或2,b,=,a,又,ABC,为锐角三角形,所以0,C,c,2,故2,b,=,a,.,方法总结,解三角形时,能够由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求,解.注意灵活利用三角公式.,15/91,4.,(浙江,14,5分)已知,ABC,AB,=,AC,=4,BC,=2.点,D,为,AB,延长线上一点,BD,=2,连接,CD,则,BDC面积是,cos,BDC,=,.,答案,;,解析,本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能,力.,AB,=,AC,=4,BC,=2,cos,ABC,=,=,ABC,为三角形内角,sin,ABC,=,sin,CBD,=,故,S,CBD,=,2,2,=,.,BD,=,BC,=2,ABC,=2,BDC,.又cos,ABC,=,2cos,2,BDC,-1=,得cos,2,BDC,=,又,BDC,为锐角,cos,BDC,=,.,16/91,5.,(课标全国改编,4,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知,a,=,c,=2,cos,A,=,则,b,=,.,答案,3,解析,由余弦定理得5=2,2,+,b,2,-2,2,b,cos,A,cos,A,=,3,b,2,-8,b,-3=0,b,=3,.,评析,本题考查了余弦定理应用,考查了方程思想方法.,6.,(课标,16,5分,0.465)已知,a,b,c,分别为,ABC,三个内角,A,B,C,对边,a,=2,且(2+,b,)(sin,A,-sin,B,)=,(,c,-,b,)sin,C,则,ABC,面积最大值为,.,答案,解析,因为,a,=2,所以(2+,b,)(sin,A,-sin,B,)=(,c,-,b,)sin,C,可化为(,a,+,b,)(sin,A,-sin,B,)=(,c,b,)sin,C,由正弦定,理可得(,a,+,b,)(,a,-,b,)=(,c,-,b,),c,即,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,由余弦定理可得cos,A,=,=,=,又0,A,0),有2=,t,2,+,t,即,t,2,+,t,-2=0,解得,t,=1或,t,=-2(舍去),故,=1.,思绪分析,本题先由余弦定理列出关于,b,、,c,方程,再将方程转化为以,为变元方程求解.,19/91,9.,(天津,13,5分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,ABC,面积为3,b,-,c,=,2,cos,A,=-,则,a,值为,.,答案,8,解析,因为cos,A,=-,0,A,0).,则,a,=,k,sin,A,b,=,k,sin,B,c,=,k,sin,C,.,代入,+,=,中,有,+,=,变形可得,sin,A,sin,B,=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,=sin(,A,+,B,).,在,ABC,中,由,A,+,B,+,C,=,有sin(,A,+,B,)=sin(-,C,)=sin,C,所以sin,A,sin,B,=sin,C,.,21/91,(2)由已知,b,2,+,c,2,-,a,2,=,bc,依据余弦定理,有cos,A,=,=,.,所以sin,A,=,=,.,由(1),sin,A,sin,B,=sin,A,cos,Bcos,A,sin,B,所以,sin,B,=,cos,B,+,sin,B,故tan,B,=,=4.,方法总结,解三角形中,要依据题干条件恰当选取正、余弦定理,当包括边较多时,可考虑余弦,定理,当包括角较多时,可考虑正弦定理.,ABC,中,也惯用到sin(,A,+,B,)=sin,C,.,22/91,考点二解三角形及其应用,1.,(课标,16,5分,0.043)在平面四边形,ABCD,中,A,=,B,=,C,=75,BC,=2,则,AB,取值范围,是,.,答案,(,-,+,),23/91,解析,依题意作出四边形,ABCD,连接,BD,.令,BD,=,x,AB,=,y,CDB,=,CBD,=,在,BCD,中,由正弦,定理得,=,.由题意可知,ADC,=135,则,ADB,=135,-,.在,ABD,中,由正弦定理得,=,.所以,=,即,y,=,=,=,=,.,因为0,75,+,+75,=180,所以30,105,当,=90,时,易得,y,=,;,当,90,时,y,=,=,24/91,又tan 30,=,tan 105,=tan(60,+45,)=,=-2-,结合正切函数性质知,(,-2,),且,0,所以,y,=,(,-,),(,+,).,总而言之:,y,(,-,+,).,评析,本题考查了三角函数和解三角形.利用函数思想方法是求解关键,属偏难题.,2.,(课标全国,15,5分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,若cos,A,=,cos,C,=,a,=1,则,b,=,.,25/91,答案,解析,由cos,C,=,0,C,得sin,C,=,.,由cos,A,=,0,A,得sin,A,=,.,所以sin,B,=sin-(,A,+,C,)=sin(,A,+,C,),=sin,A,cos,C,+sin,C,cos,A,=,依据正弦定理得,b,=,=,.,评析,本题考查了正弦定理应用及运算求解能力.,3.,(课标全国改编,9,5分)在,ABC,中,B,=,BC,边上高等于,BC,则sin,A,=,.,答案,26/91,解析,解法一:过,A,作,AD,BC,于,D,设,BC,=,a,由已知得,AD,=,B,=,AD,=,BD,BAD,=,BD,=,DC,=,a,tan,DAC,=,=2.,tan,BAC,=tan,=,=,=-3.,cos,2,BAC,=,=,sin,BAC,=,=,.,解法二:过,A,作,AD,BC,于,D,设,BC,=,a,由已知得,AD,=,B,=,AD,=,BD,BD,=,AD,=,DC,=,a,AC,=,=,a,在,ABC,中,由正弦定理得,=,sin,BAC,=,.,27/91,4.,(湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶,到,A,处时测得公路北侧一山,顶,D,在西偏北30,方向上,行驶600 m后抵达,B,处,测得此山顶在西偏北75,方向上,仰角为30,则此山高度,CD,=,m.,答案,100,28/91,解析,依题意有,AB,=600,CAB,=30,CBA,=180,-75,=105,DBC,=30,DC,CB,.,ACB,=45,.,在,ABC,中,由,=,得,=,有,CB,=300,在Rt,BCD,中,CD,=,CB,tan 30,=100,则此山高度,CD,=100,m.,29/91,5.,(福建理,13,4分)如图,在,ABC,中,已知点,D,在,BC,边上,AD,AC,sin,BAC,=,AB,=3,AD,=3,则,BD,长为,.,答案,解析,cos,BAD,=cos,=sinBAC,=,故在,ABD,中,由余弦定理知:,BD,2,=,BA,2,+,DA,2,-,2,BA,AD,cos,BAD,=3,故,BD,=,.,30/91,6.,(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,已知sin(,A,+,C,)=8sin,2,.,(1)求cos,B,;,(2)若,a,+,c,=6,ABC,面积为2,求,b,.,解析,本题考查了三角公式利用和余弦定理应用.,(1)由题设及,A,+,B,+,C,=得sin,B,=8sin,2,故sin,B,=4(1-cos,B,).,上式两边平方,整理得17cos,2,B,-32cos,B,+15=0,解得cos,B,=1(舍去),cos,B,=,.,(2)由cos,B,=,得sin,B,=,故,S,ABC,=,ac,sin,B,=,ac,.,又,S,ABC,=2,则,ac,=,.,由余弦定理及,a,+,c,=6得,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,)=36-2,=4.,所以,b,=2.,解后反思,在余弦定理和三角形面积公式利用过程中,要重视“整体运算”技巧.如本题中,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,)中转化就说明了这一点.,31/917.,(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知sin,A,+,cos,A,=0,a,=2 ,b,=2.,(1)求,c,;,(2)设,D,为,BC,边上一点,且,AD,AC,求,ABD,面积.,解析,本题考查解三角形.,(1)由已知可得tan,A,=-,所以,A,=,.,在,ABC,中,由余弦定理得28=4+,c,2,-4,c,cos,即,c,2,+2,c,-24=0.,解得,c,=-6(舍去),或,c,=4.,(2)由题设可得,CAD,=,所以,BAD,=,BAC,-,CAD,=,.,故,ABD,面积与,ACD,面积比值为,=1.,又,ABC,面积为,4,2sin,BAC,=2,所以,ABD,面积为,.,32/91,思绪分析,(1)由sin,A,+,cos,A,=0,可求得tan,A,=-,注意到,A,是三角形内角,得,A,=,再由余弦,定理求,c,.(2)由题意知,CAD,=,BAD,=,于是可求得,值,再由,S,ABC,=,4,2sin,BAC,=2,得解.,一题多解,(2)另解一:由余弦定理得cos,C,=,在Rt,ACD,中,cos,C,=,CD,=,AD,=,DB,=,CD,=,S,ABD,=,S,ACD,=,2,sin,C,=,=,.,另解二:,BAD,=,由余弦定理得cos,C,=,CD,=,AD,=,S,ABD,=,4sin,DAB,=,.,另解三:过,B,作,BE,垂直,AD,交,AD,延长线于,E,在,ABE,中,EAB,=,-,=,AB,=4,BE,=2,BE,=,CA,从而可得,ADC,EDB,BD,=,DC,即,D,为,BC,中点,S,ABD,=,S,ABC,=,2,4,sin,CAB,=,.,33/91,8.,(山东文,17,12分)在,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.已知,b,=3,=-6,S,ABC,=3,求,A,和,a,.,解析,本题考查向量数量积运算及解三角形.,因为,=-6,所以,bc,cos,A,=-6,又,S,ABC,=3,所以,bc,sin,A,=6,所以tan,A,=-1,又0,A,b,a,=5,c,=6,sin,B,=,.,(1)求,b,和sin,A,值;,(2)求sin,值.,38/91,解析,本小题主要考查同角三角函数基本关系,二倍角正弦、余弦公式,两角和正弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.,(1)在,ABC,中,因为,a,b,故由sin,B,=,可得cos,B,=,.由已知及余弦定理,有,b,2,=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,B,=13,所以,b,=,.,由正弦定理,=,得sin,A,=,=,.,所以,b,值为,sin,A,值为,.,(2)由(1)及,a,0,所以,A,.,于是sin,A,+sin,C,=sin,A,+sin,=sin,A,+cos 2,A,=-2sin,2,A,+sin,A,+1,=-2,+,.,因为0,A,所以0sin,A,所以,-2,+,.,由此可知sin,A,+sin,C,取值范围是,.,44/91,评析,本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数图象与性质,对考生思维严谨,性有较高要求.,15.,(浙江,18,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,a,b,c,=,cos,2,A,-cos,2,B,=,sin,A,cos,A,-,sin,B,cos,B,.,(1)求角,C,大小;,(2)若sin,A,=,求,ABC面积.,45/91,解析,(1)由题意得,-,=,sin 2,A,-,sin 2,B,即,sin 2,A,-,cos 2,A,=,sin 2,B,-,cos 2,B,sin,=sin,.,由,a,b,得,A,B,又,A,+,B,(0,),得,2,A,-,+2,B,-,=,即,A,+,B,=,所以,C,=,.,(2)由(1)及,c,=,sin,A,=,=,得,a,=,由,a,c,得,A,b,故,B,=,.,4.,(辽宁理改编,6,5分)在,ABC,中,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,.若,a,sin,B,cos,C,+,c,sin,B,cos,A,=,b,且,a,b,则,B,=,.,50/91,5.,(浙江理,16,4分)在,ABC,中,C,=90,M,是,BC,中点.若sin,BAM,=,则sin,BAC,=,.,答案,51/91,解析,令,BAM,=,BAC,=,故|,CM,|=|,AM,|sin(,-,),M,为,BC,中点,|,BM,|=|,AM,|sin(,-,).,在,AMB,中,由正弦定理知,=,即,=,sin,=,cos,=,52/91,=cos,=,sin,cos,-,cos,2,整理得1=2,sin,cos,-cos,2,解得tan,=,故sin,=,.,评析,本题考查解三角形,正弦定理应用和三角函数求值问题.考查学生图形观察能力和数,据处理能力.,6广东,12,5分)在,ABC,中,角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,b,cos,C,+,c,cos,B,=2,b,则,=,.,答案,2,解析,利用余弦定理,将,b,cos,C,+,c,cos,B,=2,b,转化为,b,+,c,=2,b,化简得,=2.,53/91,7.,(湖南,18,12分)如图,在平面四边形,ABCD,中,AD,=1,CD,=2,AC,=,.,(1)求cos,CAD,值;,(2)若cos,BAD,=-,sin,CBA,=,求,BC,长.,54/91,解析,(1)在,ADC,中,由余弦定理,得,cos,CAD,=,=,=,.,(2)设,BAC,=,则,=BAD,-,CAD,.,因为cos,CAD,=,cos,BAD,=-,所以sin,CAD,=,=,=,sin,BAD,=,=,=,.,于是sin,=sin(,BAD,-,CAD,),=sin,BAD,cos,CAD,-cos,BAD,sin,CAD,=,-,=,.,在,ABC,中,由正弦定理,得,=,55/91,故,BC,=,=,=3.,8.,(山东理,17,12分)设,ABC,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,且,a,+,c,=6,b,=2,cos,B,=,.,(1)求,a,c,值;,(2)求sin(,A,-,B,)值.,56/91,解析,(1)由余弦定理,b,2,=,a,2,c,2,-2,ac,cos,B,得,b,2,=(,a,+,c,),2,-2,ac,(1+cos,B,),又,b,=2,a,+,c,=6,cos,B,=,所以,ac,=9,解得,a,=3,c,=3.,(2)在,ABC,中,sin,B,=,=,由正弦定理得sin,A,=,=,.,因为,a,=,c,所以,A,为锐角,所以cos,A,=,=,.,所以sin(,A,-,B,)=sin,A,cos,B,-cos,A,sin,B,=,.,评析,本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能,考查学生运算求解能力.,57/91,9.(,北京理,15,13分)在,ABC,中,a,=3,b,=2,B,=2A,.,(1)求cos,A,值;,(2)求,c,值.,58/91,解析,(1)因为,a,=3,b,=2,B,=2,A,所以在,ABC,中,由正弦定理得,=,.,所以,=,.故cos,A,=,.,(2)由(1)知cos,A,=,所以sin,A,=,=,.,又因为,B,=2,A,所以cos,B,=2cos,2,A,-1=,.,所以sin,B,=,=,.,在,ABC,中,sin,C,=sin(,A,+,B,),=sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,=,.,所以,c,=,=5.,评析,本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式,和诱导公式熟练应用是处理本题关键.,59/91,10.,(纲领全国,17,10分),ABC,内角,A,、,B,、,C,对边分别为,a,、,b,、,c,已知3,a,cos,C,=2,c,cos,A,tan,A,=,求,B,.,解析,由题设和正弦定理得3sin,A,cos,C,=2sin,C,cos,A,.,故3tan,A,cos,C,=2sin,C,因为tan,A,=,所以cos,C,=2sin,C,tan,C,=,.,(6分),所以tan,B,=tan180,-(,A,+,C,),=-tan(,A,+,C,),=,(8分),=-1,即,B,=135,.,(10分),60/91,11,.(课标全国理,17,12分),ABC,内角,A,B,C,对边分别为,a,b,c,已知,a,=,b,cos,C,+,c,sin,B,.,(1)求,B,;,(2)若,b,=2,求,ABC,面积最大值.,解析,(1)由已知及正弦定理得sin,A,=sin,B,cos,C,+sin,C,sin,B,.,又,A,=-(,B,+,C,),故sin,A,=sin(,B,+,C,)=sin,B,cos,C,+cos,B,sin,C,.,由,和,C,(0,)得sin,B,=cos,B,.,又,B,(0,),所以,B,=,.,(2),ABC,面积,S,=,ac,sin,B,=,ac,.,由已知及余弦定理得4=,a,2,+,c,2,-2,ac,cos,.,又,a,2,+,c,2,2,ac,故,ac,当且仅当,a,=,c,时,等号成立.,所以,ABC,面积最大值为,+1.,61/91,12.,(陕西,16,12分),ABC,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.,(1)若,a,b,c,成等差数列,证实:sin,A,+sin,C,=2sin(,A,+,C,);,(2)若,a,b,c,成等比数列,求cos,B,最小值.,解析,(1)证实:,a,b,c,成等差数列,a,+,c,=2,b,.,由正弦定理得sin,A,+sin,C,=2sin,B,.,sin,B,=sin-(,A,+,C,)=sin(,A,+,C,),sin,A,+sin,C,=2sin(,A,+,C,).,(2),a,b,c,成等比数列,b,2,=,ac,.,由余弦定理得cos,B,=,=,=,当且仅当,a,=,c,时等号成立.,cos,B,最小值为,.,评析,本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.,62/91,13,.(陕西,17,12分),ABC,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.向量,m,=(,a,b,)与,n,=(cos,A,sin,B,),平行.,(1)求,A,;,(2)若,a,=,b,=2,求,ABC,面积.,63/91,解析,(1)因为,m,n,所以,a,sin,B,-,b,cos,A,=0,由正弦定理,得sin,A,sin,B,-,sin,B,cos,A,=0,又sin,B,0,从而tan,A,=,因为0,A,0,所以,c,=3.,故,ABC,面积为,bc,sin,A,=,.,解法二:由正弦定理,得,=,从而sin,B,=,64/91,又由,a,b,知,A,B,所以cos,B,=,.,故sin,C,=sin(,A,+,B,)=sin,=sin,B,cos,+cos,B,sin,=,.,所以,ABC,面积为,ab,sin,C,=,.,14.,(浙江,16,14分)在,ABC,中,内角,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,.已知,b,+,c,=2,a,cos,B,.,(1)证实:,A,=2,B,;,(2)若cos,B,=,求cos,C,值.,65/91,解析,(1)证实:由正弦定理得,sin,B,+sin,C,=2sin,A,cos,B,故2sin,A,cos,B,=sin,B,+sin(,A,+,B,)=sin,B,+sin,A,cos,B,+cos,A,sin,B,于是sin,B,=sin(,A,-,B,).,又,A,B,(0,),故0,A,-,B,所以,B,=-(,A,-,B,)或,B,=,A,-,B,所以,A,=(舍去)或,A,=2,B,所以,A,=2,B,.,(2)由cos,B,=,得sin,B,=,cos 2,B,=2cos,2,B,-1=-,故cosA,=-,sin,A,=,cos,C,=-cos(,A,+,B,)=-cos,A,cos,B,+sin,A,sin,B,=,.,评析,本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,66/91,一、,填空题(每小题5分,共20分),1.,(盐城高三第一学期期中,9)在,ABC,中,已知sin,A,sin,B,sin,C,=357,则此三角形,最大内角度数为,.,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：50分钟 分值：60分),答案,120,解析,因为sin,A,sin,B,sin,C,=357,所以,a,b,c,=357,从而可知,C,最大,由余弦定理得,cos,C,=,=,又0,C,180,所以,C,=120,.,67/91,2.,(江苏南京、盐城一模,7)在,ABC,中,设,a,b,c,分别为角,A,B,C,对边,若,a,=5,A,=,cos,B,=,则,c,=,.,答案,7,解析,由cos,B,=,0,B,BD,所以,为锐角,从而cos,=,=,.,所以sin,ADC,=sin,=sin,cos,+cos,sin,74/91,=,=,.,所以,ADC,面积,S,=,AD,DC,sin,ADC,=,6,2,=,(1+,).,7.,(江苏常州高级中学阶段调研,15)在,ABC,中,A,=,AB,=6,AC,=3,.,(1)求sin,值;,(2)若点,D,在BC,边上,AD,=,BD,求,AD,长.,75/91,解析,(1)设,ABC,内角,A,B,C,所对边长分别是,a,b,c,由余弦定理得,a,2,=,b,2,+,c,2,-2,bc,cos,BAC,=(3,),2,+6,2,-2,3,6,cos,=18+36-(-36)=90,所以,a,=3,.,由正弦定理得sin,B,=,=,=,.,由题设知0,B,0,且,a,2,+,c,2,=,kb,2,kb,2,-,b,2,0,k,1,1,k,2.,4.,(江苏无锡、常州、镇江二模,10)若一个钝角三角形三内角成等差数列,且最大边长与,最小边长之比为,m,则实数,m,取值范围是,.,答案,(2,+,),82/91,解析,依题意可设三内角为60,-,60,60,+,.,由该三角形为钝角三角形可得30,60,由正弦定理得,m,=,=,=-1+,由30,60,得,tan,所以0,-tan,2.,方法拓展,钝角三角形三个内角成等差数列,则三个角能够表示为,-,+,.,83/91,二、解答题(共,2,0分),5.,(江苏南通、扬州、泰州调研,15)在斜三角形,ABC,中,tan,A,+tan,B,+tan,A,tan,B,=1.,(1)求角,C,大小;,(2)若,A,=15,AB,=,求,ABC,周长.,解析,(1)因为tan,A,+tan,B,+tan,A,tan,B,=1,即tan,A,+tan,B,=1-tan,A,tan,B,.,因为在斜三角形,ABC,中,1-tan,A,tan,B,0,所以tan(,A,+,B,)=,=1,即tan(180,-,C,)=1,亦即tan,C,=-1.,因为0,C,180,所以,C,=135,.,(2)在,ABC,中,A,=15,C,=135,则,B,=180,-,A,-,C,=30,.,由,=,=,得,=,=,=2,故,BC,=2sin 15,=2sin(45,-30,),=2(sin 45,cos 30,-cos 45,sin 30,)=,CA,=2sin 30,=1.,所以,ABC,周长为,AB,+,CA,+,BC,=,+1+,=,.,84/91,6.,(江苏苏州一模,18)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内布设一条对角线在,l,上,四边形电气线路,如图所表示,为充分利用现有材料,边,BC,CD,用一根5米长材料弯折而成,边,BA,AD,用一根9米长材料弯折而成,要求,A,和,C,互补,且,AB,=,BC,.,(1)设,AB,=,x,米,cos,A,=,f,(,x,),求,f,(,x,)解析式,并指出,x,取值范围;,(2)求四边形,ABCD,面积最大值.,85/91,解析,(1)在,ABD,中,BD,2,=,AB,2,+,AD,2,-2,AB,AD,cos,A,.,在,CBD,中,BD,2,=,CB,2,+,CD,2,-2,CB,CD,cos,C,.,因为,A,和,C,互补,所以,AB,2,+,AD,2,-2,AB,AD,cos,A,=,CB,2,+,CD,2,-2,CB,CD,cos,C,=,CB,2,+,CD,2,+2,CB,CD,cos,A,即,x,2,+(9-,x,),2,-2,x,(9-,x,)cos,A,=,x,2,+(5-,x,),2,+2,x,(5-,x,)cos,A,.,解得cos,A,=,即,f,(,x,)=,其中,x,(2,5).,(2)四边形,ABCD,面积,S,=,(,AB,AD,+,CB,CD,)sin,A,=,x,(9-,x,)+,x,(5-,x,),=,x,(7-,x,),=,记,g,(,x,)=(,x,2,-4)(,x,2,-14,x,+49),x,(2,5).,由,g,(,x,)=2,x,(,x,2,-14,x,+49)+(,x,2,-4)(2,x,-14),86/91,=2(,x,-7)(2,x,2,-7,x,-4)=0,解得,x,=4,.,函数,g,(,x,)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减,所以,g,(,x,)最大值为,g,(4)=12,9=108.,所以,S,最大值为,=6,.,答:四边形,ABCD,面积最大值为6,m,2,.,87/91,一、填空题,1.,(江苏苏州期中)在,ABC,中,角,A,B,C,对边分别为,a,b,c