1、单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,结束,返回,首页,单击此处编辑母版标题样式,3.3,泰勒,(Taylor),公式,问题提出,泰勒中值定理,简单应用,P139,1/48,一、问题提出,（以下列图）,在微分中我们讲过，当 很小时，,即,令：则,误差为,上式表明函数,f,(,x,),在,x,0,附近可用一个线性函数来近似。且当 很小时，误差,也很小。,2/48,3/48,不足,:,问题,:,1,、准确度不高；,2,、误差不能预计,.,4/48,分析,:,2.,若有相同切线,3.,若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.,若在 点相交,5/48,6/48,三、泰勒,(Taylor),中值定理,7/
2、48,证实,:,8/48,9/48,10/48,拉格朗日形式余项,皮亚诺形式余项,11/48,1.,说明,:,12/48,2.,麦克劳林,(Maclaurin),公式,Talyor,公式特例,或,13/48,四、,Talyor,公式简单应用,解,代入公式,得,由公式可知,14/48,预计误差,其误差,思索：,e,x,=?,15/48,惯用函数麦克劳林公式,16/48,位于,x,与,1,之间。,例,2,直接展开法,解：,17/48,解,18/48,播放,小 结,19/48,播放,20/48,思索题,1.,利用泰勒公式求极限,21/48,思索题解答,22/48,思索题,23/48,证实,:,f,(
3、a,)=,A,0,f,(,x,),二阶可导,X,a,使,f,(X)0,f,(,x,),在,a,+,),上连续,最少,(,a,X),a,+),使,f,()=0.,唯一性证实,:,方法一,方法二,(,反证法,),若,f,(,x,)=0,有两个根,:,x,1,x,2,由罗尔定理知,24/48,作业：,P145,：,2,、,4,、,5,、,9-,（,1,）、,10-,（,2,）,25/48,26/48,世纪早期英国牛顿学派最优异代表人物之一英国数学家泰勒（,Brook Taylor,），于 年月日在米德尔塞克斯埃 德蒙顿出生。年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后
4、获法学博士学位。同年（即年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由解聘职务。年，他以泰勒定理求解了数值方程。最终在年 月日于伦敦逝世。,泰勒主要着作是年出版,正 和反增量方法,，书内以以下形式陈说出他已于 年月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出着名定理泰勒定理：式内为独立变量增量，及 为流数。他假定随时间均匀改变，则 为常数。上述公式以当代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成，当时便称作马克劳林定理。年，拉格朗日强调了此公式之主要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证实当中并没有考虑 级数收敛性，因而使证实不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。,泰
5、勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以相关弦横向振动之结果尤为主要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。另外，此书还包含了他于 数学上之其它创造性工作，如叙述常微分方程奇异解，曲率 问题之研究等。年，他出版了另一名着,线性透 视论,，更发表了再版,线性透视原理,（）。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用没影点概念，这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于年。,泰勒,(-02-06),27/48,五、小结,28/48,五、小结,29/48,五、小结,30/48,五、小结,31/48,五、小结,32/48,33/48,34/48,35/48,36/48,37/48,38/48,39/48,40/48,41/48,42/48,43/48,44/48,45/48,46/48,47/48,回,48/48,
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