复变函数第四版习题课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,1/57,一、重点与难点,重点：,难点：,1.复数运算和各种表示法,2.复变函数以及映射概念,1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域,2.映射概念,2,2/57,二、内容提要,复数,复变函数,极限,连续性,代数运算,乘幂与方根,复数表示法,几何表示法,向量表示法,三角及指数表示法,复球面,复平面扩充,曲线,与区域,判别定理,极限,计算,3,3/57,1.复数概念,4,4/57,1)两复数和,2)两复数积,3)两复数商,2.复数代数运算,5,5/57,4)共轭复数,实部相同而虚部绝对值相等符号相反两个复数称为共轭复数.,共轭复数性质,6,6/57,3.复数其它表示法,（1）几何表示法,7,7/57,（2）向量表示法,复数模(或绝对值),8,8/57,模性质,三角不等式,复数辐角,9,9/57,辐角主值,10,10/57,（3）三角表示法,利用欧拉公式,复数能够表示成,称为复数,z,指数表示式.,（4）指数表示法,利用直角坐标与极坐标关系,复数能够表示成,11,11/57,4.复数乘幂与方根,1),乘积与商,两个复数乘积模等于它们模乘积;两个复数乘积辐角等于它们辐角和.,则有,12,12/57,几何意义,复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应向量分别为,13,13/57,两个复数商模等于它们模商;两个复数商辐角等于被除数与除数辐角之差.,则有,14,14/57,2)幂与根,(a),n,次幂:,15,15/57,(b)棣莫佛公式,16,16/57,5.复球面与扩充复平面,南极、北极定义,(1)复球面,17,17/57,球面上点,除去北极,N,外,与复平面内点之间存在着一一对应关系.我们能够用球面上点来表示复数.,我们要求:复数中有一个唯一“无穷大”与复平面上无穷远点相对应,记作.因而球面上北极,N,就是复数无穷大几何表示.,球面上每一个点都有唯一复数与之对应,这么球面称为,复球面,.,复球面定义,18,18/57,包含无穷远点在内复平面称为扩充复平面.,不包含无穷远点在内复平面称为有限复平面,或简称复平面.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它模要求为正无穷大.,(2)扩充复平面定义,19,19/57,6.曲线与区域,（1）邻域,（2）内点,20,20/57,假如,G,内每一点都是它内点,那末,G,称为,开集.,(4)区域,假如平面点集,D,满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(a),D,是一个,开集,；,(b),D,是,连通,即,D,中任何两点都能够用完全属于,D,一条折线连结起来.,(3)开集,21,21/57,(5)边界点、边界,设,D,是复平面内一个区域,假如点,P,不属于,D,但在,P,任意小邻域内总有,D,中点,这么,P,点我们称为,D,边界点,.,(7)有界区域和无界区域,D,全部边界点组成,D,边界,.,(6),区域,D,与它边界一起组成闭区域.,闭区域,22,22/57,没有重点曲线,C,称为简单曲线(或若尔当曲线).,(8)简单曲线,23,23/57,(9)光滑曲线,由几段依次相接光滑曲线所组成曲线称为按段光滑曲线.,任意一条简单闭曲线,C,将复平面唯一地分成三个互不相交点集.,简单闭曲线性质,24,24/57,(10)单连通域与多连通域,复平面上一个区域,B,假如在其中任作一条简单闭曲线,而曲线内部总属于,B,就称为单连通域,.,一个区域假如不是单连通域,就称为多连通域,.,从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕,域.,25,25/57,7.复变函数概念,(1)复变函数定义,26,26/57,(2)映射定义,27,27/57,函数极限定义,注意:,8.复变函数极限,28,28/57,极限计算定理,29,29/57,与实变函数极限运算法则类似.,极限运算法则,30,30/57,（1）连续定义,9.复变函数连续性,31,31/57,连续充要条件,连续性质,32,32/57,有理整函数(多项式),有理分式函数,特殊:,在复平面内使分母不为零点也是连续.,33,33/57,三、经典例题,34,34/57,35,35/57,其几何意义是三角形任意一边长大于,其它两边边长之差绝对值.,36,36/57,37,37/57,解,38,38/57,解,39,39/57,解,40,40/57,例6,满足以下条件点组成何种图形?是不是区,域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.,解,是实数轴,不是区域.,是以,为界带形单连通区 域.,解,41,41/57,是以 为焦点,以3为半,长轴椭圆闭区域,它不是区,域.,不是区域，因为图中,解,解,在圆环内点不是内点.,42,42/57,例7,函数 将 平面上以下曲线变成 平,面上什么曲线？,解,又,于是,表示 平面上圆,.,(1),43,43/57,解,表示 平面上以 为圆心，为半径圆,.,放映结束，按Esc退出.,44,44/57,例8,解,45,45/57例9,证,46,46/57,两边平方,并化简得,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式方程(或不等式)来表示;也能够由给定复数形式方程(或不等式)来确定它所表示平面图形.,47,47/57,例10,证,48,48/57,两边同时平方,49,49/57,例11,解,故原方程可写成,50,50/57,故原方程根为,51,51/57,例12,证,利用复数相等可知:,52,52/57,等式得证.,53,53/57,例13,解,满足以下条件点集是什么,假如是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴直线,不是区域.,单连通域.,54,54/57,是多连通域.,不是区域.,55,55/57,56,56/57,单连通域.,57,57/57,