线性矩阵不等式市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基于LMI 区域极点配置理论,1/40,问题提出,准确极点配置必须以准确数学模型为依据,因为不确定性及各种扰动存在，使得准确极点配置不可实现,准确极点配置并非是唯一路径，将系统闭环极点配置在复平面上一个适当区域，即可确保系统动态特征和稳态特征,2/40,3/40,主要内容,LMI区域描述,D-稳定性分析,含有区域极点约束,状态反馈,控制器设计,含有区域极点约束,输出反馈,控制器设计,4/40,LMI区域描述,定义,对复平面中区域,D,，假如存在一个实对称矩阵,，使得,则称,D,是一个线性矩阵不等式区域,(简记为,LMI,区域,),。,矩阵值函数,称为,LMI,区域,D,特征函数,特征函数,维,Hermite,矩阵，,表示矩阵,是负定。,是复数变量,。,取值是,和实矩阵,5/40,注意：,LMI区域是凸,LMI区域是关于复平面上实轴对称,6/40,常见LMI区域,左半开复平面,对应特征值函数,7/40,对应特征值函数,8/40,左半复平面垂直条形区域,对应特征值函数,9/40,如图阴影部分所表示：,对应特征值函数,10/40,由r0可推出:,复平面上半径为r，中心在(-q,0)圆盘D(r,q),11/40,所以，对应特征值函数可写为：,12/40,区域极点配置与动态性能指标之间关系,为使闭环系统动态性能满足一定要求，考虑复平面上以下所表示圆盘 ：,阻尼比,自然振荡频率,衰减振荡频率,调整时间,闭环系统特征值,13/40,D稳定性分析,定义,对复平面中给定,LMI,区域,D,和实矩阵,假如实矩阵,A,全部特征值都位于区域,D,中，即,，则称实矩阵,A,是D-稳定。,14/40,定理,4-1,给定,LMI,区域,其中：,，使得,则实矩阵,是,D-,稳定充分必要条件是存在一个对称正定,实矩阵,15/40,证实：仅证充分性。假定存在对称阵,X,满足,M,D,(A,X)0.,设,是矩阵A任意特征值，,且有,应用,Kronecker,乘积性质，可得,16/40,17/40,由,M,D,(A,X)0,可推出,即,因为,任意性，依据,D-,稳定定义，,可得矩阵,A,是,D-,稳定（必要性证实请见书,第,102,页）。定理得证。,18/40,D稳定性定理应用,一、,LMI,区域为左半开复平面,对于左半开复平面，其特征函数是,则,由,D,稳定性定理，可得，矩阵,A,全部特征值均在,左半开复平面充分必要条件是存在对称正定矩阵,X,，使得,Lyapunov,不等式,19/40,二、,复平面上半径为r，中心在(-q,0)圆盘,D(r,q),对于圆盘D(r,q)，其特征函数是,20/40,矩阵,A,全部特征值均在圆盘,D(q,r),充分必要条件是存在对称正定矩阵,X,，使得,21/40,推论,给定两个LMI区域D,1,和D,2,，矩阵A同时是D,1,-稳定和D,2,-稳定充分必要条件是存在一个对称正定阵X，使得,22/40,含有区域极点约束状态反馈控制器设计,不确定参数矩阵,和,是反应不确定性结构常数矩阵，,是时变不确定矩阵，且满足,。,考虑以下线性不确定系统,（4-1）,23/40,设计状态反馈控制律,闭环系统可写为,（4-2）,24/40,定理,4-2,给定,LMI,区域,不确定矩阵,，使得对全部允许参数,假如存在,则称不确定系统,(4-2),是二次,D-,稳定。,二次D-稳定性,一个对称正定实矩阵,，都有,25/40,二次D-稳定性定理应用,定理,4-3,对于给定,LMI,区域圆盘,D(q,r),，假如存在对称正定矩阵,X,，使得以下不等式成立,则不确定系统,(4-2),是二次,D-,稳定。,非LMI,26/40,定理,4-4,对于给定,LMI,区域圆盘,D(q,r),，假如存在对称正定矩阵,V,，矩阵,W,，标量,0，,使得以下线性矩阵不等式成立,则,u(t)=WV,-1,x(t)为闭环系统(4-2)含有圆盘极点约束,鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-2)是二次D-稳定,。,27/40,证实：由定理4.3，知,将,代入得,28/40,由,引理3.1,，对于全部满足F,T,F,I实矩阵F，上式成立，当且仅当存在,标量,0,使得以下不等式成立,Y+MFE+E,T,F,T,M,T,0 Y+,MM,T,+,-1,E,T,E0，,使得等式约束,CV=NC,和以下线性矩阵不等式成立,则,u(t)=WN,-1,y(t)为闭环系统(4-4)含有圆盘极点约束,鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-4)是二次D-稳定,。,34/40,证实：前面证实过程同状态反馈，在此不再螯述。,不等式两边分别数乘,，,并记,得,35/40,上述不等式包含有”B,K,C,V,”和“E,2,K,C,V,”一项,所以该不等式为关于V和K双线性矩阵不等式(bilinear matrix inequality-,BMI,),无法经过Matlab求解.为此,引入等式约束,CV=NC,可将其转化为LMI问题,其中N为一适当维数非奇异实矩阵.将CV=NC代入上式，并记W=KN,可得,定理得证。,含有等式约束LMI问题求解起来会有很多限制。,36/40,引理4-1,假设,一个实对称正定阵,其中,是对称实正定阵,表示,正交补。,和,是列满秩实矩阵，那么存在,，使得,成立，当且仅当,且此时,解可表示为,37/40,定理,4-7,对于给定,LMI,区域圆盘,D(q,r),，假如存在对称正定矩阵,N,C,、,S,，矩阵,W,，标量,0，,使得以下线性矩阵不等式成立,则,u(t)=WCC,T,N,C,-1,y(t)为闭环系统(4-4)含有圆盘极点约束,鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-4)是二次D-稳定,。,其中,38/40,证实：,假设存在适当维数对称正定阵,并令,则有,等式约束问题CV=NC等价于,令,39/40,将,代入，,定理得证。,即得定理成立条件。,又,则有,40/40,