高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程备课省公开课一等奖新名师优质课获奖课件.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,第二章圆锥曲线与方程,2.1椭圆,2.1.1椭圆及其标准方程,1/66,【自主预习】,1.椭圆定义,(1)定义:平面内与两个定点F,1,F,2,距离之和等于_,(大于|F,1,F,2,|)点轨迹.,(2)焦点:两个定点F,1,F,2,.,常数,2/66,(3)焦距:两焦点间距离|F,1,F,2,|.,(4)几何表示:|MF,1,|+|MF,2,|=_(常数)且2a_|F,1,F,2,|.,2a,3/66,2.椭圆标准方程,焦点在x轴上,焦点在y轴上,标准方程,_,_,图形,4/66,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点坐标,_,_,a,b,c,关系,_,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a,2,=b,2,+c,2,5/66,【即时小测】,1.椭圆 =1左、右焦点分别为F,1,F,2,点P在椭,圆上,若|PF,1,|=4,则|PF,2,|=_.,6/66,【解析】,由椭圆定义知|PF,1,|+|PF,2,|=6,所以|PF,2,|=6-|PF,1,|=6-4=2.,答案:,2,7/66,2.椭圆25x,2,+16y,2,=400焦点坐标为_,焦距为_.,8/66,【解析】,把方程化为标准形式为 =1,可知焦点,在y轴上,则a,2,=25,b,2,=16,所以c,2,=25-16=9,则c=3,所以焦点为(0,3),焦距为2c=6.,答案:,(0,3)6,9/66,【知识探究】,探究点1,椭圆定义,1.平面内动点M到两定点F,1,F,2,距离之和等于常数(2a),且2a|F,1,F,2,|,若2a=|F,1,F,2,|,则M轨迹是什么?若2a,|F,1,F,2,|,则M轨迹是什么?,10/66,提醒:,当2a=|F,1,F,2,|时,点M轨迹是线段F,1,F,2,;,当2abc一定成立吗?,提醒,:,不一定,只要,ab,ac,即可,b,c,大小关系不定,.,2.依据椭圆方程,怎样确定焦点位置?,提醒,:,把方程化为标准形式,x,2,y,2,分母哪个大,焦点就在对应轴上,.,15/66,【归纳总结】,对椭圆标准方程两点认识,(1)标准方程几何特征:椭圆中心在坐标原点,焦点,在x轴或y轴上.,(2)标准方程代数特征:方程右边为1,左边是关于,与 平方和,而且分母为不相等正值.,16/66,尤其提醒:焦点所在坐标轴不一样,其标准方程形式也不一样.,17/66,类型一,求椭圆标准方程,【典例】,1.(武汉高二检测)过点(-3,2)且与,=1有相同焦点椭圆方程是(),18/66,2.依据以下条件,求椭圆标准方程.,(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到,两焦点距离和为26.,(2)经过点 两焦点间距离为2,焦点在x轴上.,19/66,【解题探究】,1.典例1中已知椭圆焦点在哪个轴上?,提醒,:,椭圆焦点在,x,轴上,因为已知方程中,x,2,项分母较大,.,20/66,2.典例2(1)中焦点在y轴上椭圆标准方程是怎样?,典例2(2)中焦点在x轴上椭圆标准方程是怎样?,提醒,:,(1)=1(ab0).,(2)=1(ab0).,21/66,【解析】,1.选A.由方程 =1可知,其焦点坐标,为(,0),即c=.,设所求椭圆方程为 =1(ab0),因为过点(-3,2),代入方程得 =1(ab0),解得a,2,=15(a,2,=3舍去).,故方程为 =1.,22/66,2.(1)因为椭圆焦点在y轴上,所以设它标准方程为,=1(ab0).,因为2a=26,所以a=13,又c=5.,所以b,2,=a,2,-c,2,=144.,所以所求椭圆方程为 =1.,23/66,(2)设椭圆标准方程为 =1(ab0),因为焦点在x轴上,2c=2,所以a,2,=b,2,+1,又椭圆经过点 所以 =1,解得b,2,=3,所以a,2,=4.,所以椭圆标准方程为 =1.,24/66,【延伸探究】,将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是(5,0),(-5,0),其它条件不变,求椭圆标准方程.,25/66,【解析因为椭圆焦点在x轴上,所以设它标准方,程为 =1(ab0),因为2a=26,所以a=13,又c=5.,所以b,2,=a,2,-c,2,=144.,所以所求椭圆方程为 =1.,26/66,【方法技巧】,求椭圆标准方程方法,利用待定系数法求椭圆标准方程:,(1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c等量关系.(4)求a,b值,代入所设方程.,27/66,尤其提醒:若椭圆焦点位置不确定,需要分焦点在x轴,上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx,2,+ny,2,=1(mn,m0,n0).,28/66,【变式训练】,求适合以下条件椭圆标准方程.,(1)焦点在x轴上,且a=4,c2.,(2)经过点A(0,2)和,29/66,【解析】,(1)a,2,=16,c,2,=4,所以b,2,=16-4=12,且焦点在x轴上,故椭圆标准方程为 =1.,30/66,(2)设所求椭圆标准方程为,Mx,2,+Ny,2,=1(M0,N0,MN).,因为椭圆经过A(0,2)和 两点,所以 解得,所以所求椭圆方程为x,2,+=1.,31/66,类型二,椭圆定义及应用,【典例】,(潍坊高二检测)设P是椭圆 =1,上一点,F,1,F,2,是椭圆焦点,若F,1,PF,2,=60,求F,1,PF,2,面积.,32/66,【解题探究】,(1)你能写出|PF,1,|+|PF,2,|与|F,1,F,2,大小吗?,提醒,:,(1),依据椭圆定义即可写出,.,33/66,(2)在F,1,PF,2,中,怎样得到|F,1,F,2,|,|PF,1,|,|PF,2,|之间关,系式?,提醒,:,在,F,1,PF,2,中,利用余弦定理能够得到,|F,1,F,2,|,|PF,1,|,|PF,2,|,之间关系式,.,34/66,【解析】,由椭圆方程知,a,2,=25,b,2,=,所以c,2,=,所以c=,2c=5.,在PF,1,F,2,中,|F,1,F,2,|,2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-2|PF,1,|,|PF,2,|cos 60,即25=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-|PF,1,|,|PF,2,|.,35/66,由椭圆定义得10=|PF,1,|+|PF,2,|,即100=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,+2|PF,1,|,|PF,2,|.,-,得3|PF,1,|,|PF,2,|=75,所以|PF,1,|,|PF,2,|=25,所以 =|PF,1,|,|PF,2,|,sin 60=,36/66,【延伸探究】,1.将典例中“F,1,PF,2,=60”改为“F,1,PF,2,=30”,其余条件不变,求F,1,PF,2,面积.,37/66,【解析】,由椭圆方程知,a,2,=25,b,2,=,所以c,2,=,所以c=,2c=5.,在PF,1,F,2,中,|F1,F,2,|,2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-2|PF,1,|,|PF,2,|cos30,即25=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,|PF,1,|,|PF,2,|.,38/66,由椭圆定义得10=|PF,1,|+|PF,2,|,即100=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,+2|PF,1,|,|PF,2,|.,-,得(2+)|PF,1,|,|PF,2,|=75,所以|PF,1,|,|PF,2,|=75(2-),所以 =|PF,1,|,|PF,2,|,sin 30=(2-).,39/66,2.将典例中椭圆方程改为“=1”,其余条件,不变,求F,1,PF,2,面积.,40/66,【解析】,|PF,1,|+|PF,2,|=2a=20,又|F,1,F,2,|=2c=12.由余弦,定理知:(2c),2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-2|PF,1,|,|PF,2,|,cos 60,即144=(|PF,1,|+|PF,2,|),2,-3|PF,1,|,|PF,2,|.,所以|PF,1,|,|PF,2,|=,所以 =|PF,1,|,|PF,2,|,sin 60=.,41/66,【方法技巧】,椭圆定义应用技巧,(1)椭圆定义含有双向作用,即若|MF,1,|+|MF,2,|=2a(2a|F,1,F,2,|),则点M轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点距离之和必为2a.,(2)包括曲线上点到焦点距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆定义求解.,42/66,【拓展延伸】,椭圆中焦点三角形,椭圆上一点P与椭圆两个焦点F,1,F,2,组成PF,1,F,2,称为焦点三角形.解关于椭圆焦点三角形问题,通常要利用椭圆定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.,43/66,【赔偿训练】,如图所表示,已知椭圆方程为,=1,若点P是椭圆上第二象限内点,且PF,1,F,2,=120,求PF,1,F,2,面积.,44/66,【解题指南】,由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边,长.,【解析】,由已知a=2,b=,所以c=1,|F,1,F,2,|=2c=2,45/66,在PF,1,F,2,中,由余弦定理,得|PF,2,|,2,=|PF,1,|,2,+|F,1,F,2,|,2,-,2|PF,1,|,|F,1,F,2,|,cos 120,即|PF,2,|,2,=|PF,1,|,2,+4+,2|PF,1,|.,46/66,由椭圆定义,得|PF,1,|+|PF,2,|=4,即|PF,2,|=4-|PF,1,|.,将代入解得|PF,1,|=.,所以,即PF,1,F,2,面积是,47/66,类型三,与椭圆相关轨迹问题,【典例】,1.(合肥高二检测)已知点M在椭圆,=1上,MP垂直于椭圆焦点所在直线,垂足为P,而且,M为线段PP中点,则P点轨迹方程为_.,2.一动圆与已知圆O,1,:(x+3),2,+y,2,=1外切,与圆O,2,:(x-3),2,+y,2,=81内切,试求动圆圆心轨迹方程.,48/66,【解题探究】,1.典例1中动点P与哪个动点相关?本题可采取什么方法求动点P轨迹方程?,提醒,:,动点,P,与点,M,相关,.,因为点,M,在已知椭圆上运动,所以本题可采取代入法求动点,P,轨迹方程,.,49/66,2.典例2中两圆内切时能得到什么条件?,提醒,:,两圆内切时,两圆圆心距等于两圆半径之差,.,50/66,【解析】,1.设点P坐标为(x,y),M点坐标为(x,0,y,0,),因为点M在椭圆 =1上,所以 =1.,因为M是线段PP中点,所以,把 代入 =1,得 =1,即x,2,+y,2,=36.,51/66,所以点P轨迹方程为x,2,+y,2,=36.,答案:,x,2,+y,2,=36,52/66,2.两定圆圆心和半径分别为O,1,(-3,0),r,1,=1;O,2,(3,0),r,2,=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可,得|MO,1,|=1+R,|MO,2,|=9-R,所以|MO,1,|+|MO,2,|=10.,而|O,1,O,2,|=6|AB|,所以圆心P轨迹是以A,B为焦点椭圆.,59/66,所以,2a=10,2c=|AB|=6.,所以,a=5,c=3.,所以b,2,=a,2,-c,2,=25-9=16.,所以圆心P轨迹方程为 =1.,60/66,【赔偿训练】,已知两定点F,1,(-1,0),F,2,(1,0),且|F,1,F,2,|是|PF,1,|与|PF,2,|等差中项,求动点P轨迹方程.,61/66,【解析】,因为|F,1,F,2,|是|PF,1,|和|PF,2,|等差中项,所以|PF,1,|+|PF,2,|=2|F,1,F,2,|=22=4|F,1,F,2,|.,所以P轨迹应是以F,1,F,2,为焦点椭圆.,这里c=1,a=2.所以b,2,=3.,所以轨迹方程为 =1.,62/66,自我纠错,椭圆方程应用,【典例】,若方程 =1表示椭圆,则m满足条,件是,_,.,63/66,【失误案例】,64/66,分析解题过程,找犯错误之处,并写出正确答案.,提醒,:,错误根本原因是忽略了在椭圆方程中,ab,这一条件,当,a=b,时,方程表示圆,.,正确解答过程以下,:,65/66,【解析】,由方程 =1表示椭圆,知 解得m 且m1.,答案:,66/66,