3.1(多维随机变量及其联合分布)市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第3章 多维随机变量及其分布,3.1 多维随机变量及联合分布,3.2 二维随机变量边缘分布,3.3 条 件 分 布,3.4 随机变量相互独立性,3.5 二维随机变量函数分布,第1页,第3章 多维随机变量及其分布,在实际问题研究中，只用一个随机变量往往是不够,比如，要研究儿童生长发育情况，惯用,身高,和,体重,两个随机变量来描述；,研究某地域气候情况需要考虑,温度,、,湿度,等多个随机变量；,研究国民经济情况，就需要用,GDP,、,固定资产投资,、,各产业产值,、,人均消费额,等很多随机变量来描述,本章学习多维随机变量及其分布相关概念、理论和应用,第2页,【保险中理赔总量模型】,保险企业在一个会计年度保险单理赔次数、每次理赔额和整年理赔总量均为随机变量某保险企业为了研究某类保险在一个会计年度理赔总量，用,X,i表示某类保险单第,i,次理赔额，,N,表示在一个会计年度全部这类保单发生理赔次数，,Y,表示这一年中对这类保单理赔总量建立以下理赔总量模型：,第3页,现有一组保单，假设在一年内可能发生理赔次数为0，1，2和3，对应概率为0.1，0.3，0.4和0.2每张保单可能产生理赔额为1，2，3（万元），对应概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔总量,Y,概率分布，并求理赔总量超出6万元概率,【保险中理赔总量模型】,第4页,3.1 多维随机变量及联合分布,3.1.1 多维随机变量概念,定义3.1,假如,X,1,(,)，,X,2,(,)，,X,n,(,)是定义在同一个样本空间,=,上,n,个随机变量，则称,为,n,维随机变量,或,n,维随机向量，,简记为,X,=(,X,1,，,X,2,，,X,n,),注意，多维随机变量关键是定义在同一样本空间上，对于不一样本空间上两个随机变量，本章将不包括这类问题,第3章 多维随机变量及其分布,第5页,3.1.1 多维随机变量概念,【例3.1】,在研究每个家庭支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点,）衣食住行四个方面，若用,X,1,(,)，,X,2,(,)，,X,3,(,)，,X,4,(,)分别表示衣食住行花费，则(,X,1,，,X,2,，,X,3,，,X,4,)就是一个四维随机变量,逐一地来研究每个随机变量性质是不够，还需要将(,X,1,，,X,2,，,X,n,)作为一个整体来进行研究,本章中主要研究二维随机变量，二维以上情况可类似地进行.,第6页,定义3.2,设(,X,，,Y,)是二维随机变量，对于任意实数,x,，,y,，事件,X,x,，,Y,y,同时发生概率,称为二维随机变量(,X,，,Y,),分布函数,，或,X,与,Y,联合分布函数,假如将二维随机变量(,X,，,Y,)看成是平面上随机点坐标，那么分布函数,F,(,x,，,y,)在(,x,，y,)处函数值就是随机点(,X,，,Y,)落在以点(,x,，,y,)为右上角无穷矩形内概率.,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,第7页,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,轻易证实分布函数,F,(,x,，,y,)含有以下性质:,(1)单调性：,F,(,x,，,y,)分别对,x,或,y,是单调不减，即,当 时，有,当 时，有 ,(2)有界性：对任意,x,和,y,，有 ，且,第8页,3.1.2 二维随机变量及联合分布函数,(3)右连续性：对每个变量是右连续，即,对任意,x,0,，有 ；,对任意,y,0,，有 ,(4)非负性：对任意,a,b,，,c,d,有,实际上，含有上述四条性质二元函数,F,(,x,，,y,)一定是某个二维随机变量分布函数,注意，一个二元函数,F,(,x,，,y,)满足前三条性质时不一定满足性质(4)(见例3.2),第9页,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,定义3.3,假如二维随机变量(,X,，,Y,)只取有限个或可列个数对(,x,i,，,y,j,)，则称(,X,，,Y,)为,二维离散型随机变量,，称,为(,X,，,Y,),分布律,，或,X,与,Y,联合分布律,也可用以下表格形式表示(,X,，,Y,)分布律,Y,X,y,1,y,2,y,j,x,1,p,11,p,12,p,1,j,x,2,p,21,p,22,p,2,j,x,i,p,i,1,p,i,2,p,ij,第10页,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律有以下性质：,(1)非负性：,(2)归一性：,求二维离散型随机变量(,X,，,Y,)分布律，关键是写出(,X,，,Y,)全部可能取到数对及其发生概率,第11页,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,【例3.3】,甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为0.5以,X,、,Y,分别表示甲、乙各射击两次命中次数，试求(,X,，,Y,)分布律,解：,由题知，,X,、,Y,均可取0，1，2因为甲、乙是独立进行射击，所以,X,=,i,与,Y,=,j,两事件相互独立，,i,，,j,=0，1，2于是,P,X,i,，,Y,=,j,=,P,X,=,i,P,Y,=,j,i,，,j,=0，1，2,故(,X,，,Y,)分布律为,Y X,0,1,2,0,0.16,0.32,0.16,1,0.08,0.16,0.08,2,0.01,0.02,0.01,第12页,【补充例】,袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以,X,表示取到黑球只数，以,Y,表示取到白球只数.(1)求(,X,Y,)分布律.,(2)求概率,解:,(1),X,全部可能取不一样值为0,1,2;,Y,全部可能取不一样值为0,1,2.(,X,Y,)分布律为,分布律也可写成以下表格形式,.,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,第13页,(2),X Y,0,1,2,0,1/7,2/7,1/21,1,2/7,4/21,0,2,1/21,0,0,3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律,第14页,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,定义3.4,假如存在二元非负函数,f,(,x,，,y,)，使得二维随机变量(,X,，,Y,)分布函数,F,(,x,，,y,)可表示为,则称(,X,Y,)为,二维连续型随机变量,称,f,(,x,y,)为(,X,Y,),概率密度,，或,X,与,Y,联合概率密度,显然，在,F,(,x,，,y,)偏导数存在点上有,3.1 多维随机变量及联合分布,第15页,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,联合概率密度有以下性质：,(1)非负性：,f,(,x,，,y,),0,(2)归一性：,(3)二维随机变量(,X,，,Y,)落在平面上某个区域,G,内概率为,第16页,【例3.5】,已知随机变量,X,和,Y,联合概率密度为,试求,P,X,Y,解：,由联合概率密度性质3知：,积分区域,x,y,与,f,(,x,，,y,)取值非零区域交集如图.所以,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,第17页,【例3.6】,设二维随机变量(,X,，,Y,)含有概率密度,求分布函数,F,(,x,，,y,),解：,3.1.4 二维连续型随机变量及联合概率密度,第18页,解:,（1）因为在区域,G,:0,x,1,-,x,y,0,其它,f,(,x,y,)0所以,3.1 多维随机变量及联合分布,【补充例】,第19页,解得,k,=2,3.1 多维随机变量及联合分布,解:,（1）因为在区域,G,:,0,x,1,-,x,y,0,其它,f,(,x,y,)0所以,第20页,（2）设区域,为:,3.1 多维随机变量及联合分布,第21页,3.1.5 惯用二维分布,1.二维均匀分布,定义3.5,设,G,是平面上一个有界区域，其面积为,A,，令,以,f,(,x,，,y,)为概率密度二维随机变量(,X,，,Y,)称为服从区域,G,上均匀分布,3.1 多维随机变量及联合分布,第22页,3.1.5 惯用二维分布,【例3.7】,设(,X,，,Y,)服从区域,G,：0,x,2；0,y,2上均匀分布，,求,P,|,X,Y,|,1,解：,设,D,表示区域|,x,y|,1，因为(,X,，,Y,)概率密度为,所以,=,区域,D,G,面积=,第23页,3.1.5 惯用二维分布,2.二维正态分布,定义3.6,(,X,，,Y,)概率密度为,称(,X,，,Y,)服从二维正态分布，,记为,图为二维标准正态分布,N,(0，0，1，1，0)概率密度曲面,第24页,