1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Department of Mathematics,4.3,用留数计算定积分,1,1/38,留数定理应用-,-积分计算:,（,2,）利用留数计算积分，没有一些通用方法，我们主要经过例子进行讨论；,利用留数计算积分特点：,（,1,）利用留数定理，我们把计算一些积分问题，转化为计算一些解析函数在孤立奇点留数，从而大大化简了计算；,2,2/38,思想方法,:,封闭路线积分,.,两个主要工作:,1),积分区域转化,2),被积函数转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,积分,3,3/38,当,经历变程,时,正方向
2、绕行一周.,z,沿单位圆周,z,有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理条件.,包围在单位圆周,内诸孤立奇点.,注,:,4,4/38,例,1,解,故积分有意义.,故,5,5/38,6,6/38,所以,而,7,7/38,注,:,此时,例2,计算积分,解,则,8,8/38,9,9/38,由留数定理,例,3,计算,解,10,10/38,由留数定理,11,11/38,注,:,例,4,计算积分,解,12,12/38,在许多实际问题中，往往要求计算反常积分值，如,数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.,13,13/38,14,14/38,1引理,6,.1,证实,因为,于是有,1
3、5,15/38,于是有,16,16/38,2定理,6,.7,17,17/38,证实,由条件(1),(2)及数学分析结论,知,x,.,.,依据留数定理得:,18,18/38,或写成,因为,19,19/38,解,例,5,20,20/38,21,21/38,解,例,6,22,22/38,23,23/38,引理6.2,x,y,.,.,24,24/38,证实,于是就有,于是由Jordan不等式,25,25/38,将(6.13)化为,应用引理6.2,完全和证实定理6.7一样可得,26,26/38,2定理6.8,则有,注:,将(6.14)分开实虚部,就可得到形如,积分.,27,27/38,证实,x,.,.,依据留数定理得:,28,28/38,或写成,因为,29,29/38,例,7,计算积分,解,且在上半平面只有一个二阶极点,30,30/38,注意,以上两型积分中被积函数中,R,(,x,)在实轴,上无孤立奇点.,31,31/38,四 计算积分路径上有奇点积分,引理6.3,证实,因为,于是有,32,32/38,于是有,33,33/38,例,8,计算积分,解,即,34,34/38,由引理6.2知,由引理6.3知,35,35/38,解,五 杂例,例,9,它是一个整函数,则,36,36/38,而,37,37/38,比较两端实部与虚部即得,弗莱聂尔(frensnel)积分,即,38,38/38,
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