三章随机变量向量的数字特征市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,勤学好问必有所获,第三章,随机变量（向量）数字特征,概率论,随机变量数学期望,随机变量方差,随机变量矩与中位数,随机变量间协方差与相关系数,第1页,在前面课程中，我们讨论了随机变量及其分布，假如知道了随机变量,X,概率分布，那么，,X,全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布普通是较难确定.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量一切概率性质，只要知道它一些数字特征就够了.,所以，在对随机变量研究中，确定一些数字特征是主要.,第2页,随机变量数学期望,Mathematical Expectation,以频率为权重加权平均，反应了这7位同学高数成,绩平均状态。,一、引例,某7学生高数成绩为,90，85，85，80，80，75，60，,则他们平均成绩为,随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？,第3页,二、数学期望定义,离散型随机变量,Def,设离散型随机变量概率分布为,连续型随机变量,Def,设连续型随机变量概率密度为,，若广义积分,第4页,随机变量数学期望所反应意义,例3.1,已知随机变量,X,分布律为,1/4,1/2,1/4,6,5,4,求数学期望,解：,由数学期望定义,例3.2,已知随机变量,X,分布律为,求数学期望,解：,由数学期望定义,1,0,X,第5页,例3.3,已知随机变量,。求数学期望,例3.4,已知随机变量,。求数学期望,第6页,例3.5,已知随机变量,。求数学期望,第7页,例3.6,已知随机变量,。求数学期望,第8页,例3.7,若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机,寿命(以小时计)N 数学期望.,分布函数为,第9页,二维随机变量数学期望及边缘分布数学期望,(,X,Y,),为二维离散型随机变量,(X,Y,)为二维连续型随机变量,第10页,例3.8,设(,X,Y,)联合密度为,1,1,3,解：,第11页,第12页,随机变量函数数学期望,1.一元随机变量函数情况,设,是随机变量 X函数，,离散型,连续型,第13页,该公式主要性在于:当我们求,E,g,X,),时,无须知道,g,(,X,),分布，而只需知道,X,分布就能够了.这给求随机变量函,数期望带来很大方便.,例3.9,解：,因为,第14页,2.二元随机变量函数情况,离散型,连续型,第15页,例3.10,例3.11,设,X,与,Y,相互独立，它们概率密度函数分别为,第16页,第17页,随机变量数学期望性质,1.设,C,是常数，则,E(C)=C,；,2.若,k,是常数，则,E,(,kX,)=,kE,(,X,)；,3.,E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,)；,4.设,X,，,Y,相互独立，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,)；,请注意:,由,E,(XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,证实：,这里只证实3，4,第18页,利用这些性质能够再求数学期望时计算得以化简。,第19页,例3.12,设随机变量,X,B,(,n,p,)，,求二项分布数学期望。,X,B,(,n,p,)，,则,X,表示,n,重贝努里试验中“成功”,次数。,解：,第20页,例,3.12,独立地操作两台仪器，他们发生故障概率分别为,p,1,和,p,2,.证实：产生故障仪器数目标数学期望为,p,1,+,p,2,则X全部可能取值为0,1,2,设产生故障仪器数目为,X,解:,所以，,产生故障仪器数目标数学期望,第21页,数学期望在医学上一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人血液样本混合起来进行化验。假如结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐一化验，总计化验11次。假定人群中这种病患病率是10%，且每人患病是否是相互独立。试问：这种分组化验方法与通常逐一化验方法相比，是否能降低化验次数？,分析：,设随机抽取10人组所需化验次数为,X,需要计算X数学期望，然后与10比较,第22页,化验次数X可能取值为1，11,先求出化验次数X分布律,X=1=“10人都是阴性”,X=11=“最少1人阳性”,结论：,分组化验法次数少于逐一化验法次数。,注意求 X期望值步骤！,问题深入讨论,1.概率p对是否分组影响？,2.概率p对每组人数n影响?,第23页,随机变量方差,Variance,随机变量方差定义,设 是一随机变量，假如 存在，则称为,方差，记作 或,方差计算公式,与,有相同量纲,均方差（标准差）,第24页,离散型,设,离散型,随机变量X概率分布为,连续型,设,连续型,随机变量X分布密度为,f,(,x,),方差统计意义,随机变量方差反应了随机变量全部可能取值聚散程度。,例3.14,已知随机变量,X,分布律为,1,0,求方差,解：,第25页,例3.15,已知随机变量,。求方差,第26页,例3.16,已知随机变量,。求方差,第27页,例3.17,已知随机变量,。求方差,第28页,例3.18,已知随机变量,。求方差,第29页,例3.19,解：,X密度函数为,所以有,第30页,方差性质,1.设,C,是常数，则,D(C)=,0；,2.若a，b是常数，则,相互独立时,3当随机变量,证实:,例3.20,第31页,解：,第32页,随机变量矩与中位数,随机变量矩,原点矩与原点矩,Def,设X是随机变量，若,存在，,则称其为,X,k,阶原点矩，,若,存在，,则称其为,X,k,阶,中心矩，,中位数,Def,显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差,第33页,随机变量间,协方差与相关系数,Covariance and Correlation coefficient,随机变量间协方差与相关系数,Def,协方差定义,相关系数定义,Def,第34页,随机变量间协方差计算,离散型,连续型,注意：,协方差与相关系数反应是同一个内容，只是协,方差有单位，而相关系数无单位。,第35页,例3.21,解：,边际分布如表,1/8,3/8,3/8,1/8,1/4,1/8,0,0,1/8,3,3/4,0,3/8,3/8,0,1,3,2,1,0,ij,p,第36页,例3.22,解：,边际概率密度为,第37页,随机变量间协方差与相关系数性质,性质,5,，,6,说明相关系数反应了随机变量之间线性相关性强弱。,第38页,证实:,随机变量间线性无关概念,Def,第39页,1/3,1/3,1/3,1,0,-1,解：,0,1/3,1,1/3,0,0,0,1/3,-1,1,0,这个题说明相关系数反应了随机变量之间线性相关性强弱。,例3.23,第40页,