1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,为什么要研究微分方程的定性理论?,由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求,得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等,方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径,本章4.3节中所介绍的,幂级数解法,就是途径之一,另一种重要的途径,是利用,数值计算方法,通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方,法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不,通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这,就是所谓的,定性分析方法,.这
2、种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了,解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析,法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效,果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初,步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。,5.1 自治系统与非自治系统,(5.1),(5.2),把t理解为时间,x理解为相空间,内动点的坐标,那末(5.1),确定了一个向量场(速度场),(5.2)确定一个定常场.,(5.1)称为,非自治系统,(5.2)称为,自治系统,5.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别,自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交.而非自,治系统在
3、增广相空间积分曲线不相交,但在,相空间,轨线,可能相交,.,定义5.1 若存在,使,则点,称为系统(5.2),的一个平衡位置,也称为此系统的一个奇点.,轨线只可能与奇点无限接近,但不可能通过奇点,否则与解的,唯一性相矛盾.对于一给定的自治系统来说,奇点或平衡位置是人,们关心的重要问题,在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的,这,也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨,论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论,奇点的,的稳定性.,5.3 判定稳定性的Liapunov函数法,定义5.3 设,若,且当,时,则称,函数,在,上是常正(常负)的;若,函数,且当,时,则称,
4、在,上是常正(常负)的;常,常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为,定号函数.若,且在,的任意领域内均既有使,的点,也有使,的点,则称函数,在,上是变号的.,定理5.1,(稳定性的Liapunov判别法)设有定义在,上的定正(定负)函数,表示,沿系统(5.2)的轨线,的全导数,(1)若,在,上是常负(常正)的,则,是稳定的;,(2)若,在,上是定负(定正)的,则,是渐近稳定的;,(3)若,在,上是定正(定负)的,则,是不稳定的;,用来判定稳定性的这种函数,称为Liapunov函数,也称为,函数.,内除,附注1,若,定正(定负),则,常负(常正),但集合,是渐近稳定的.,外不含有
5、系统(5.2)的整条轨线,附注2,若,在,的领域内是变号函数,而,定号,则,是不稳定的.,例5.2 讨论系统,(5.5),的零解,的稳定性.,5.4 由线性近似系统判定稳定性,称系统(5.11)的线性近似系统为,(5.10),设,为(5.10)的解,利用Tayoor公式 可将(5.10)化为,(5.12),定理 5.2,(1)若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统,(5.11)的零解是渐近稳定的;,(2)若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统,(5.11)的零解是不稳定的.,定理 5.3,(Hurwitz准则)实系数 n 次代数方程,的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:,其中当,时,例5.5 判定系统,零解的稳定性.,
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