微积分1(华科课件).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章,微分中值定理与导数应用,11/9/2025,1,一、,罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,第一节 微分中值定理,四、小结 思考题,11/9/2025,2,一、,罗尔(Rolle)定理,定理,(Rolle),若函数,f,(,x,)满足,（1）在闭区间,a,b,上连续,（2）在开区间(,a,b,)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等,f,(,a,)=,f,(,b,),例如,11/9/2025,3,证,11/9/2025,6,11/9/2025,7,注,Rolle,定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导;,区间端点处的函数值相等；,这三个条件只是充分条件，而非必要条件,如：,y,=,x,2,在-1,2上满足(1),(2)，不满足(3),却在(-1,2)内有一点,x,=0 使,但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立,三个条件缺一不可。,例如,11/9/2025,8,又例如,在0,1上除去,x,=0不连续外，满足罗尔定理的,一切条件,再例如,在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数,等,0,的点。有的函数这样的点可能不止一个；,11/9/2025,9,另外还要注意点,并未具体指出，即使对于给定,的具体函数，点,也不一定能指出是哪一点，,如,在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而,但却不易找到使,但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们,将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用,11/9/2025,10,例1,2）唯一性,矛盾,由零点定理,即为方程的正实根.,证：1）存在性,11/9/2025,11,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,11/9/2025,12,几何解释:,证,分析:,弦,AB,方程为,11/9/2025,13,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意,:,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,11/9/2025,14,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,微分中值定理,推论1,推论2,11/9/2025,15,例4,证,11/9/2025,16,例5,证,由上式得,11/9/2025,17,例6,拉格 朗日中值定理.,解,11/9/2025,18,拉格朗日中值公式的几种表达形式,11/9/2025,19,三、柯西(Cauchy)中值定理,11/9/2025,20,几何解释:,证,作辅助函数,11/9/2025,21,Cauchy定理又称为广义微分中值定理,11/9/2025,22,例7,证,分析:,结论可变形为,11/9/2025,23,1.,设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,11/9/2025,24,2.,若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,11/9/2025,25,练 习,1、函数 在区间1,2上满足拉格朗日中值定理,则=,一、填空题,2、设函数,个根，,它们分别在区间 上,(1,2),(2,3),(3,4),11/9/2025,26,小结,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理,之间的关系；,11/9/2025,27,罗尔在数学上的成就主要是在代数方面。,任意次方程的一个解法的证明的论述中指出了：在多项式方程,多年后，即,并把此命题名为罗尔定理。,一新生事物还存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，,罗尔,。,罗尔,生平简介,且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而声名雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行政官员。1685 年进入法国科学院，担任低级职务，到1699年才获得科学院发给的固定薪水.此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。罗尔是法国数学家。罗尔出生于小店主家庭，只受过,初等教育，,罗尔于1691年在题为,的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百,1846年，尤斯托伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数。,罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，,由于这,其中也包括,（1652.4.211719.11.8）,11/9/2025,28,拉格朗日（1736.1.251813.4.10）生平简介,拉格朗日是法国数学家，他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官，,后又经商。拉格朗日兄弟姐妹11人，他的父亲希望他能当一名律师，他14岁考入中学时，逐渐对物理学和几何学感兴趣，特别对几何学更热爱。17岁时，当他读到英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微积分成就的一篇短文之后，对分析产生了浓厚的兴趣，而分析在当时是迅速发展的一个数学领域。,1754年，18岁的拉格朗日给出了二个函数积的高阶导数公式，他,将这一发现告诉了当时的几何学家泥尼亚诺、数学家欧拉。后来得知这一结果早在半个世纪以前就被莱布尼兹所发现，他生怕别人误认为他是剽窃者和科学骗子。但这一挫折并没有使他丧失信心，1755年8月12日，拉格朗日给欧拉写了一封信，在这封信中，他对求积分极值问题的纯分析方法做了系统的总结，这是变分法研究的一个重大进展，也是他在数学研究中最杰出的成就之一。,拉格朗日在数学的许多领域都留下了足迹，他的工作总结了18,世纪的数学成果，同时开辟了19世纪数学研究的道路。1813年4月10日，拉格朗日与世长辞，人们争相悼念他，在法国科学院、意大利各大学都举行了追悼会。,11/9/2025,29,柯西（1789.8.211857.5.23）生平简介,柯西是法国数学家、力学家。柯西的父亲是法国波旁王朝的官员,幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院的办公室，并在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识，拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家。柯西于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学，1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业。前往瑟堡参加海港建设工程。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支从数论到天文学方面的书籍。,柯西最有首创性的工作是有关复变函数论，他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述于证明方法，在这方面他写了三部专著分析教程、无穷小计算教程、微分计算教程。柯西还是数理弹性理论的奠基人之一，并开创了积分几何。,柯西直到逝世前不断参加学术活动，不断发表学术论文，生命不息，奋斗不止。他既是一位杰出的数学大师，也是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版，到1974年才出最后一卷，总计28卷.,11/9/2025,30,