1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 定积分应用,3.2,简单几何体体积,1/12,一个平面图形绕平面内一条定直线旋,转一周所形成几何体叫,旋转体,，这条定直,线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆
2、台、球体、,球冠都是,旋转体,。,计算由区间,a,、,b,上连续曲线 、,两直线,x,=,a,与,x,=b,及,x,轴所围成曲边梯形,绕,x,轴旋转一周所成旋转体体积,。,旋转体体积,复习回顾,2/12,由微元法，取,x,为积分变量，其改变范围为区间,a,b,。在区间,a,b,任意一个小区间,x,x,+d,x,上，相,应薄旋转体体积能够用以点,x,处函数值,f,(,x,),为底,面半径，以,d,x,为高 扁圆柱体体积近似代替，,从而得到体积元素,所以，所求旋转,体体积,3/12,类似地可得，由区间,c,d,上连续曲线,两直线,y=c,与,y=d,及,y,轴所围成曲边梯形绕,y,轴旋,转一周所成
3、旋转体体积为,4/12,例,:,求由椭圆,解,利用图形对称性,只需考虑第一象限内,(,一,),绕,x,轴：选取积分变量为,x,0,a,，,所围图形分别绕,x,轴和,y,轴旋转所成旋转体体积,.,任取一个子区间,x,x,+,d,x,0,a,，,曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成旋转体体积,，,所求体积为该体积,2,倍,。,5/12,在子区间,x,x,+,d,x,上旋转体微元为：,于是,d,V,1,=,p,y,2,d,x,，,y,x,O,x x,+,d,x,6/12,(,二,),绕,y,轴：,选积分变量,y,0,b,，任取子区间,y,y,+,d,y,0,b,.,在子区间,y,y,+,d,y,上体积微元为
4、则,y,x,O,y,+,d,y,y,x,x,7/12,1,、,求,y,=,x,2,与,y,2,=,x,所围图形绕,x,轴旋转所成旋转体体积,.,解,选积分变量,x,0,1,(,两曲线交点为,(,0,0,),和,(,1,1,),，,任取子区间,x,x,+d,x,0,1,，,其上体积微元为,x,x,+,d,x,(1,1),y,2,=,x,2,y,x,O,练习,8/12,2.,曲线 与直线 所成图形,面积为 （）,3.,将第一象限内由,x,轴和曲线 与直线,所围成平面图形绕,x,轴旋转一周所得旋转体体积,等于,(),练习,D,C,9/12,课堂小结：,求体积过程就是对定积分概念深入了解过程，总结求旋转体体积公式步骤以下：,1,先求出,表示式；,2,代入公式 ，,即可求旋转体体积值。,10/12,微积分创建，使得：,过去,少,数,大,数学家,潜心研究,需要,特殊方法,才能处理,许多问题，,今天一个接收过微积分,基本训练,学生就能,轻易处理,。,11/12,利用,祖暅原理,取得球体积,拓展眼界,祖暅,原理，又名等幂等积定理，,内容是,:,夹在两个平行平面间两个几何体，,被平行于这两个平行平面任何平面所截，,假如截得两个截面面积总相等，,那么这两个几何体体积相等。,12/12,
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