中考数学复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形试卷部分市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,4.5特殊平行四边形,中考数学,(广西专用),1/257,考点一矩形,五年中考,A,组 -年广西中考题组,五年中考,1.(南宁,12,3分)如图,矩形纸片,ABCD,AB,=4,BC,=3,点,P,在,BC,边上,将,CDP,沿,DP,折叠,点,C,落在点,E,处,PE,、,DE,分别交,AB,于点,O,、,F,且,OP,=,OF,则cos,ADF,值为,(),A.,B.,C.,D.,2/257,答案C由题意得Rt,DCP,Rt,DEP,所以,DC,=,DE,=4,CP,=,EP,在Rt,OEF,和Rt,OBP,中,EOF,=,BOP,B,=,E,OP,=,OF,所以Rt,OEF,Rt,OBP,(AAS),所以,OE,=,OB,EF,=,BP,设,EF,=,x,则,BP,=,x,DF,=,DE,-,EF,=4-,x,又因为,BF,=,OF,+,OB,=,OP,+,OE,=,PE,=,PC,PC,=,BC,-,BP,=3-,x,所以,AF,=,AB,-,BF,=4-(3-,x,)=1+,x,在Rt,DAF,中,AF,2,+,AD,2,=,DF,2,即(1+,x,),2,+3,2,=(4-,x,),2,解得,x,=,所以,EF,=,DF,=4-,=,在Rt,DAF,中,cos,ADF,=,.难点突破折叠问题关键结论是折叠前后不改变图形形状和大小,所以题干中隐含了很,多相等关系,突破口在于利用折叠性质将相关联线段长用未知数表示,利用勾股定理得到,关于所求线段或相关线段方程,难度适中.,3/257,2.(贵港,16,3分)如图,将矩形,ABCD,折叠,折痕为,EF,BC,对应边,B,C,与,CD,交于点,M,若,B,MD,=50,则,BEF,度数为,.,答案70,4/257,解析由折叠可知,B,=,B,=90,BEF,=,B,EF,.,过,B,作,B,G,AB,交,EF,于,G,则,B,G,CD,AB,.,DMB,=,MB,G,=50,AEB,=,EB,G,=90,-50,=40,BEB,=180,-40,=140,.,又,BEF,=,B,EF,BEF,=,BEB,=,=70,.,5/257,3.(玉林,25,10分)如图,在,ABCD,中,DC,AD,四个角平分线,AE,DE,BF,CF,交点分别是,E,F,过点,E,F,分别作,DC,与,AB,间垂线,MM,与,NN,在,DC,与,AB,上垂足分别是,M,N,与,M,N,连接,EF,.,(1)求证:四边形,EFNM,是矩形;,(2)已知:,AE,=4,DE,=3,DC,=9,求,EF,长.,6/257,解析(1)证实:如图,过点,E,作,EG,AD,于点,G,过点,F,作,FH,BC,于点,H,.,DE,平分,ADC,EG,=,EM,同理,EG,=,EM,ME,=,M,E,则,E,为,MM,中点.,同理可证点,F,为,NN,中点.,四边形,ABCD,为平行四边形,AB,CD,EF,.,又,MM,CD,NN,CD,ME,NF,四边形,EFNM,为平行四边形,又,EMN,=90,7/257,四边形,EFNM,为矩形.,(2),DE,AE,分别为,CDA,和,DAB,平分线,2+3=,=90,DEA,=90,在Rt,ADE,中,AD,=,=5.,在,ADE,和,EDM,中,ADE,EDM,.,=,即,=,DM,=,.,ADE,AEM,=,即,=,AM,=,在,AEM,和,CFN,中,AEM,CFN,AM,=CN,=,MN,=,DC,-,DM,-,NC,=9-,-,=4.,EF,=4.,8/257,4.(百色,22,8分)矩形,ABCD,中,E,、,F,分别是,AD,、,BC,中点,CE,、,AF,分别交,BD,于,G,、,H,两,点.求证:,(1)四边形,AFCE,是平行四边形;,(2),EG,=,FH,.,9/257,证实(1)四边形,ABCD,是矩形,AD,BC,AD,=,BC,E,、,F,分别是,AD,、,BC,中点,AE,=,AD,CF,=,BC,AE,=,CF,四边形,AFCE,是平行四边形.,(2)四边形,AFCE,是平行四边形,CE,AF,DGE,=,AHD,=,BHF,AD,BC,EDG,=,FBH,在,DEG,和,BFH,中,10/257,DEG,BFH,(AAS),EG,=,FH,.,思绪分析(1)依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形证实即可;,(2)证实,EG,所在,DEG,与,FH,所在,BFH,全等即可得出,EG,=,FH,.,11/257,5.(南宁,22,8分)如图,矩形,ABCD,对角线,AC,BD,相交于点,O,点,E,F,在,BD,上,BE,=,DF,.,(1)求证:,AE,=,CF,;,(2)若,AB,=6,COD,=60,求矩形,ABCD,面积.,12/257,解析(1)证实:四边形,ABCD,是矩形,OA,=,OC,OB,=,OD,BEDF,OE,=,OF,又,AOE,=,COF,AOE,COF,(SAS),(3分),AE,=,CF,.,(4分),(2)四边形,ABCD,为矩形,BCD,=90,AB,=,CD,=6,OD,=,OC,.,(5分),COD,=60,OCD,为等边三角形,OD,=,OC,=,CD,=6,BD,=2,OD,=12.,(6分),在Rt,BCD,中,BC,2,+,DC,2,=,BD,2,BC,=,=6,.,(7分),S,矩形,ABCD,=,BC,CD,=6,6=36,.,(8分),13/257,思绪分析(1)证,AOE,COF,可得,AE,=,CF,;(2)要求矩形,ABCD,面积,只要求,BC,即可,因为,四边形,ABCD,是矩形,COD,=60,所以,OCD,是等边三角形,从而得出,OD,=6,故,BD,=12,再利用,勾股定理即可求出,BC,从而求出矩形,ABCD,面积.,14/257,6.(玉林,25,10分)如图,在矩形,ABCD,中,AB,=5,AD,=3,点,P,是,AB,边上一点(不与,A,B,重合),连接,CP,过点,P,作,PQ,CP,交,AD,边于点,Q,连接,CQ,.,(1)当,CDQ,CPQ,时,求,AQ,长;,(2)取,CQ,中点,M,连接,MD,MP,若,MD,MP,求,AQ,长.,15/257,解析(1),CDQ,CPQ,CP,=,CD,=5,则,PB,4,故,AP,=5-4=1.,设,AQ,=,x,则,PQ,=,QD,=3-,x,在Rt,QAP,中,QP,2,=,QA,2,+,AP,2,即(3-,x,),2,=,x,2,+1,x,=,AQ,=,.,(2)由题意知,MD,MP,分别是Rt,CDQ,与Rt,CPQ,公共斜边,CQ,中线,MD,=,MC,=,MP,=,MQ,5=6,7=8,又1+3=90,5+6+7+8=360,-90,=270,6+7=135,AQP,=180,-135,=45,APQ,=45,.,CPB,=180,-90,-45,=45,16/257,QAP,与,PBC,均是等腰直角三角形,PB,=,BC,=3,则,AQAP,=5-3=2.,17/257,一题多解(1),CDQ,CPQ,CP,=,CD,=5,则,PB,=,=4,AP,=5-4=1.,易证,QAP,PBC,=,AQ,=,.,(2)由题意知,MD,MP,分别是Rt,CDQ,与Rt,CPQ,公共斜边,CQ,中线,MD,=,MC,=,MP,=,MQ,1=22,3=24,1+3=2(2+4).,2+4=,(1+3)=45,PCB,=90,-45,=45,.,PB,=,BC,=3,APQ,=45,AQ,=,AP,=5-3=2.,18/257,考点二菱形,1.(贵港,11,3分)如图,在菱形,ABCD,中,AC,=6,BD,=6,E,是,BC,边中点P,、,M,分别是,AC,AB,上动点,连接,PE,PM,则,PE,+,PM,最小值是,(),A.6B.3,C.2,D.4.5,19/257,答案C在菱形,ABCD,中,设,AC,BD,交于点,O,则,OC,=,AC,=3,OB,=,BD,=3,AC,BD,BC,=,=3,S,菱形,=,AC,BD,=,6,6=18,.,作,E,关于,AC,对称点,E,则,E,为,CD,中点.,作,E,M,AB,交,AC,于点,P,交,AB,于点,M,此时,PM,+,PE,最小,且,PM,+,PE,=,E,M,.,AB,=,BC,=3,ME,=,=2,.,PM,+,PE,最小值为2,.,故选C.,20/2572.(桂林,10,3分)如图,在菱形,ABCD,中,AB,=6,ABD,=30,则菱形,ABCD,面积是,(),A.18B.18,C.36D.36,21/257,答案B过点,A,作,AF,BC,于,F,在菱形,ABCD,中,AB,=6,ABD,=30,ABC,=60,BC,=,AB,=6.,AF,=,AB,sin 60,=6,=3,.,菱形,ABCD,面积,S,=,BC,AF,=6,3,=18,.故选B.,22/257,3.(南宁,16,3分)如图,菱形,ABCD,对角线相交于点,O,AC,=2,BD,=2,将菱形按如图方式,折叠,使点,B,与点,O,重合,折痕为,EF,则五边形,AEFCD周长为,.,答案7,解析四边形,ABCD,是菱形,OA,=,OC,=,AC,=1,OD,=,OB,=,BD,=,AC,BD,AD,=,=2,tan,ADO,=,=,ADO,=30,ADC,=60,=,ABC,ABC,是等边三,角形.由折叠及菱形性质可得,OB,与,EF,相互垂直平分,则,OE,=,EB,=,BF,=,FO,EOB,=,EBO,=,ADO,=30,AOE,=90,-30,=60,=,OAE,AOE,和,BEF,均为等边三角形,故,EF,=,EB,=,EO,=,AE,=1,由此可知,FC,=1,五边形,AEFCD,周长为,AE,+,EF,+,FC,+,CD,+,DA,=1+1+12+2=7.,23/257,思绪分析依据菱形对角线相互垂直平分及勾股定理,求出菱形边长,再依据折叠性质,求出,AE,EF,FC,长,进而求出五边形,AEFCD,周长.,24/257,4.(钦州,16,3分)如图,在菱形,ABCD,中,AB,=4,线段,AD,垂直平分线交,AC,于点,N,CND,周,长是10,则,AC,长为,.,答案6,解析线段,AD,垂直平分线交,AC,于点,N,NA,=,ND,.,CND,周长是10,CD,+,DN,+,NC,=10,CD,+,NA,+,NC,=10.,CD,+,AC,=10.,又,CD,=,AB,=4,AC,=6.,25/257,5.(柳州,23,8分)如图,四边形,ABCD,是菱形,对角线,AC,BD,相交于点,O,且,AB,=2.,(1)求菱形,ABCD,周长;,(2)若,AC,=2,求,BD,长.,解析(1)菱形,ABCD,中,AB,=,AD,=,BC,=,CD,=2,菱形,ABCD,周长为4,AB,=4,2=8.,(2)在菱形,ABCD,中,AO,=,OC,=,AC,=1,BO,=,OD,=,BD,且,AC,BD,在Rt,AOB,中,BO,=,=,=,.,BD,=2,BO,=2,.,26/257,6.(南宁,23,8分)如图,在,ABCD,中,AE,BC,AF,CD,垂足分别为,E,F,且,BE,=,DF,.,(1)求证:,ABCD,是菱形;,(2)若,AB,=5,AC,=6,求,ABCD,面积.,27/257,解析(1)证实:四边形,ABCD,是平行四边形,B,=,D,.,AE,BC,AF,DC,AEB,=,AFD,=90,又,BE,=,DF,AEB,AFD,(ASA).,AB,=,AD,ABCD,是菱形.,(2)如图,连接,BD,交,AC,于点,O,28/257,由(1)知四边形,ABCD,是菱形,AC,BD,AO,=,OC,=,AC,AC,=6,AO,=,6=3,AB,=5,在Rt,AOB,中,BO,=,=,=4,BD,=2,BO,=8,S,ABCD,=,AC,BD,=,6,8=24.,方法总结证实菱形方法有很多,考查频率较高是一组邻边相等平行四边形是菱形.求,菱形面积主要有两种方法:1.对角线乘积二分之一;2.底乘高,详细方法需结合详细条件和题设,灵活利用.,29/257,7.(贺州,24,8分)如图,在,ABC,中,ACB,=90,O,、,D,分别是边,AC,、,AB,中点,过点,C,作,CE,AB,交,DO,延长线于点,E,连接,AE,CD,.,(1)求证:四边形,AECD,是菱形;,(2)若四边形,AECD,面积为24,tan,BAC,=,求,BC,长.,30/257,解析(1)证实:,O,是,AC,中点,OA,=,OC,CE,AB,DAO,=,ECO,在,AOD,和,COE,中,AOD,COE,AD,=,CE,又,CE,AB,四边形,AECD,是平行四边形,CD,是Rt,ABC,斜边,AB,上中线,CD,=,AD,四边形,AECD,是菱形.,31/257,(2)由(1)知,四边形,AECD,是菱形,AC,ED,.,在Rt,AOD,中,tan,DAO,=,=tan,BAC,=,.,设,OD,=3,x,(,x,0),OA,=4,x,则,ED,=2,OD,=6,x,AC,=2,OA,=8,x,依题意得,6,x,8,x,=24,解得,x,=1(负值舍去).,OD,=3,O,D,分别是,AC,AB,中点,OD,是,ABC,中位线,BC,=2,OD,=6.,32/257,8.(贺州,23,9分)如图,AC,是矩形,ABCD,对角线,过,AC,中点,O,作,EF,AC,交,BC,于点,E,交,AD,于点,F,连接,AE,CF,.,(1)求证:四边形,AECF,是菱形;,(2)若,AB,=,DCF,=30,求四边形,AECF,面积.(结果保留根号),33/257,解析(1)证实:,O,是,AC,中点,且,EF,AC,AF,=,CF,AE,=,CE,OA,=,OC,.,四边形,ABCD,是矩形,AD,BC,AFO,=,CEO,.,在,AOF,和,COE,中,AOF,COE,(AAS).,AF,=,CE,.,AF,=,CF,=,CE,=,AE,.,四边形,AECF,是菱形.,(2)四边形,ABCD,是矩形,CD,=,AB,=,.,在Rt,CDF,中,CF,=,=,=2.,四边形,AECF,是菱形,CE,=,CF,=2.,四边形,AECF,面积为,EC,AB,=2,.,34/257,思绪分析(1)由,O,是,AC,中点,且,EF,AC,得,AF,=,CF,AE,=,CE,OA,=,OC,由矩形对边平行得,AFE,=,CEF,可证,AOF,COE,得,AF,=,CE,再利用四边相等四边形是菱形得结论.,(2)用底乘高求菱形面积.,主要考点矩形性质,菱形判定,锐角三角函数.,35/257,考点三正方形,1.(桂林,11,3分)如图,在正方形,ABCD,中,AB,=3,点,M,在,CD,边上,且,DM,=1,AEM,与,ADM,关,于,AM,所在直线对称,将,ADM,按顺时针方向绕点,A,旋转90,得到,ABF,连接,EF,则线段,EF,长,为,(),A.3B.2,C.,D.,36/257,答案C连接,BM,如图所表示.,由对称和旋转可知,ADM,AEM,ABF,AD,=,AE,=,AB,AF,=,AM,FAB,=,MAD,=,MAE,FAB,+,BAE,=,MAE,+,BAE,FAE,=,MAB,在,FAE,和,MAB,中,FAE,MAB,(SAS).,37/257,EF,=,BM,又在正方形,ABCD,中,AB,=,DC,=,BC,=3,而,DM,=1,MC,=2,在RtBCM,中,依据勾股定理得,BM,=,=,=,EF,=,故选C.,38/257,2.(贵港,12,3分)如图,在正方形,ABCD,中,O,是对角线,AC,与,BD,交点,M,是,BC,边上动点(点,M,不与,B,C,重合),CN,DM,CN,与,AB,交于点,N,连接,OM,ON,MN,.以下五个结论:,CNB,DMC,;,CON,DOM,;,OMN,OAD,;,AN,2,+,CM,2,=,MN,2,;若,AB,=2,则,S,OMN,最小值是,其中正确结论个数是,(),A.2B.3C.4D.5,39/257,答案D正方形,ABCD,中,CD,=,BC,BCD,=90,BCN,+,DCN,=90,又,CN,DM,CDM,+,DCN,=90,BCN,=,CDM,又,CBN,=,DCM,=90,CNB,DMC,(ASA),故正确;,依据,CNB,DMC,可得,CM,=,BN,又,OCM,=,OBN,=45,OC,=,OB,OCM,OBN,(SAS),OM,=,ON,COM,=,BON,DOC,+,COM,=,COB,+,BON,即,DOM,=,CON,又,DO,=,CO,CON,DOM,(SAS),故正确;,40/257,BON,+,BOM,=,COM,+,BOM,=90,MON,=90,即,MON,是等腰直角三角形,又,AOD,是等腰直角三角形,OMN,OAD,故正确;,AB,=,BC,CM,=,BN,BM,=,AN,又Rt,BMN,中,BM,2,+,BN,2,=,MN,2,AN,2,+,CM,2,=,MN,2,故正确;,OCM,OBN,四边形,BMON,面积=,BOC,面积=1,即四边形,BMON,面积是定值1,当,MNB,面积最大时,MNO,面积最小,设,BN,=,x,=,CM,则,BM,=2-,x,MNB,面积=,x,(2-,x,)=-,x,2,+,x,41/257,当,x,=1时,MNB,面积有最大值,此时,S,OMN,最小值是1-,=,故正确.,总而言之,正确结论个数是5,故选D.,42/257,3.(贵港,8,3分)以下命题中错误是,(),A.两组对角分别相等四边形是平行四边形,B.矩形对角线相等,C.对角线相互垂直四边形是菱形,D.对角线相互垂直平分且相等四边形是正方形,答案CA、B、D所述命题正确,C所述命题错误,故选C.,43/257,4.(贺州,18,3分)如图,正方形,ABCD,边长为12,点,E,在边,AB,上,BE,=8,过点,E,作,EF,BC,分别,交,BD,、,CD,于,G,、,F,两点,若点,P,、,Q,分别为,DG,、,CE,中点,则,PQ,长为,.,答案2,44/257,解析如图所表示,过,P,作,PM,CD,于,M,过,Q,作,QN,CD,于,N,过,P,作,PH,QN,于,H,.,在正方形,ABCD,中,AB,=,CD12,AD,CB,ADC,=,BCD,=90,又,EF,BC,AD,EF,BC,EF,CD,PM,EF,QN,.,M,、,N,分别为,DF,、,FC,中点,45/257,MN,=,CD,=6,DM,=,DF,=2,NC,=,FC,=4,QN,=,EF,=6.,又,BD,为正方形,ABCD,对角线,BDC,=45,PM,=,DM,=2=,HN,.,QH,=6-2=4,PQ,=,=2,.,46/257,5.(北海,16,3分)如图,已知正方形,ABCD,边长为4,对角线,AC,与,BD,相交于点,O,点,E,在,DC,边,延长线上,若,CAE,=15,则,AE,=,.,答案8,解析四边形,ABCD,是正方形,BAC,=45,AB,DC,ADC,=90,E,=,BAE,=,BAC,-,CAE,=45,-15,=30,.,在Rt,ADE,中,ADE,=90,E,=30,AE,=2,AD,=8.,评析利用正方形性质求出,E,=30,是解题关键.,47/257,6.(南宁,16,3分)如图,在正方形,ABCD,外侧,作等边,ADE,则,BED,度数为,.,答案45,解析四边形,ABCD,是正方形,AB,=,AD,BAD,=90,.,三角形,ADE,为等边三角形,AD,=,AE,DAE,=,AED,=60,.,BAE,=,BAD,+,DAE,=90,+60,=150,.,AB,=,AE,AEB,=,ABE,=(180,-,BAE,),2=15,.,BED,=,DEA,-,AEB,=60,-15,=45,.,48/257,7.(河池,22,8分),(1)如图1,在正方形,ABCD,中,点,E,F,分别在,BC,CD,上,AE,BF,于点,M,求证:,AE,=,BF,;,(2)如图2,将(1)中正方形,ABCD,改为矩形,ABCD,AB,=2,BC,=3,AE,BF,于点,M,探究,AE,与,BF,数,量关系,并证实你结论.,49/257,解析(1)证实:四边形,ABCD,是正方形,ABC,=,C,AB,=,BC,.,AE,BF,AMB,=90,BAM,+,ABM,=90,ABM,+CBF,=90,BAM,=,CBF,.,在,ABE,和,BCF,中,ABE,BCF,(ASA),AE,=,BF,.,(2),AB,=,BC,.,证实:四边形,ABCD,是矩形,ABC,=,C,AE,BF,50/257,AMB,=90,BAM,+,ABM,=90,ABM,+,CBF,=90,BAM,=,CBF,ABE,BCF,=,=,AB,=,BC,.,51/257,B组年全国中考题组,考点一矩形,1.(甘肃兰州,8,4分)如图,矩形,ABCD,对角线,AC,与,BD,相交于点,O,ADB,=30,AB,=4,则,OC,=,(),A.5B.4C.3.5D.3,答案B因为四边形,ABCD,为矩形所以,AC,=,BD,OC,=,AC,.已知,ADB,=30,故在直角三角形,ABD,中,BD,=2,AB,=8,所以,AC,=8,所以,OC,=,AC,=4,故选B.,52/257,2.(四川成都,14,4分)如图,在矩形,ABCD,中,按以下步骤作图:分别以点,A,和,C,为圆心,以大,于,AC,长为半径作弧,两弧相交于点,M,和,N,;作直线,MN,交,CD,于点,E,.若,DE,=2,CE,=3,则矩形,对角线,AC,长为,.,53/257,答案,解析如图,连接,AE,由作图方法得,MN,垂直平分,AC,EA,=,EC,=3.,在Rt,ADE,中,AD,=,=,=,.,在Rt,ADC中,AC,=,=,=,.,思绪分析连接,AE,依据题中作图方法,可得,MN,垂直平分,AC,则,EA,=,EC,=3,用勾股定理先计,算出,AD,再计算出,AC,得解.,解题关键本题考查了矩形性质,基本作图(作已知线段垂直平分线),勾股定理,识别基本,作图并熟练应用勾股定理计算是解题关键.,54/257,3.(黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形,ABCD,中,M,为,BC,边上一点,连接,AM,过点,D,作,DE,AM,垂足为,E,若,DE,=,DC,=1,AE,=2,EM,则,BM,长为,.,答案,解析,BAM,+,EAD,=90,EAD,+,EDA,=90,BAM,=,EDA,.又,B,=,AED,=90,ADE,MAB,.,=,即,=,.,AE,=,BM,.由,AE,=2,EM,可设,AE,=2,x,EM,=,x,(,x,0),则,BM,=2,x,在Rt,ABM,中,由勾股定理可知(2,x,+,x,),2,=1,2,+(2,x,),2,解得,x,=,(舍负),BM,=2,x,=,.,55/257,4.(安徽,14,5分)如图,在矩形纸片,ABCD,中,AB,=6,BC,=10.点,E,在,CD,上,将,BCE,沿,BE,折叠,点,C,恰落在边,AD,上点,F,处;点,G,在,AF,上,将,ABG,沿,BG,折叠,点,A,恰落在线段,BF,上点,H,处.有下,列结论:,EBG,=45,;,DEF,ABG,;,S,ABG,=,S,FGH,;,AG,+,DF,=,FG,.,其中正确是,.(把全部正确结论序号都选上),答案,56/257,解析,ABG,=,HBG,FBE,=,CBE,ABC,=90,EBG,=45,正确;,AB,=6,BF,=,BC,=10,AF,=8,FD,=,AD,-,AF,=10-8=2,设,DE,=,x,则,EF,=,CE,=6-,x,在Rt,DEF,中,DF,2,+,DE,2,=,EF,2,2,2,+,x,2,=(6-,x,),2,x,=,即,DE,=,EF,=,BH,=,AB,=6,HF,=,BF,-,BH,=10-6=4,又易知Rt,DEF,Rt,HFG,=,即,=,57/257,GF,=5,AG,=3,若,DEF,ABG,则,=,但,故不正确;,BH,=6,HF,=4,S,BGH,=,S,FGH,ABG,HBG,S,ABG,=,S,FGH,正确;,FHG,EDF,=,=,FG,=5,AG,+,DF,=5,AG,+,DF,=,FG,正确.,58/257,5.(天津,24,10分)在平面直角坐标系中,四边形,AOBC,是矩形,点,O,(0,0),点,A,(5,0),点,B,(0,3),以,点,A,为中心,顺时针旋转矩形,AOBC,得到矩形,ADEF,点,O,B,C,对应点分别为,D,E,F,.,(1)如图a,当点,D,落在,BC,边上时,求点,D,坐标;,(2)如图b,当点,D,落在线段,BE,上时,AD,与,BC,交于点,H,.,求证,ADB,AOB,;,求点,H,坐标;,(3)记,K,为矩形,AOBC,对角线交点,S,为,KDE,面积,求,S,取值范围(直接写出结果即可).,图a 图b,59/257,解析(1)点,A,(5,0),点,B,(0,3),OA,=5,OB,=3.,四边形,AOBC,是矩形,AC,=,OB,=3,BC,=,OA,=5,OBC,=,C,=90,.,矩形,ADEF,是由矩形,AOBC,旋转得到,AD,=,AO,=5.,在Rt,ADC,中,有,AD,2,=,AC,2,+,DC,2,DC,=,4.,BD,=,BC,-,DC,=1.,点,D,坐标为(1,3).,(2)证实:由四边形,ADEF,是矩形,得,ADE,=90,.,又点,D,在线段,BE,上,得,ADB,=90,.,由(1)知,AD,=,AO,又,AB,=,AB,AOB,=90,Rt,ADB,Rt,AOB,.,60/257,由Rt,ADB,Rt,AOB,得,BAD,=,BAO,.,又在矩形,AOBC,中,OA,BC,CBA,=,OAB,.,BAD,=,CBA,.,BH,=,AH,.,设,BH,=,t,(0,t,5),则,AH,=,t,HC,=,BC,-,BH,=5-,t,.,在Rt,ACH,中,有,AH,2,=,AC,2,+,HC,2,t,2,=3,2,+(5-,t,),2,解得,t,=,.,BH,=,.,点,H,坐标为,.,(3),S,.,61/257,思绪分析(1)依据点坐标及旋转性质得,AD,=,AO,=5,在直角,ACD,中利用勾股定理可求,CD,长,从而可确定,D,点坐标.(2)依据直角三角形全等判定方法进行判定;由知,BAD,=,BAO,再依据矩形性质得,CBA,=,OAB,从而,BAD,=,CBA,故,BH,=,AH,在Rt,ACH,中,利用勾股定理可求得,AH,长,得出,H,点坐标.(3)在矩形旋转过程中,依据点,K,与直线,DE,距离范围即可确定,S,取值范围.,62/257,提醒如图1,当矩形顶点,D,在线段,AB,上时,点,K,到直线,DE,距离最小,最小值为线段,DK,长,DK,=,AD,-,AB,=5-,S,=,DK,DE,=,.,图1,如图2,当矩形顶点,D,在,BA,延长线上时,点,K,到直线,DE,距离最大,最大值为线段,DK,长,63/257,DK,=,AD,+,AB,=5+,S,=,DK,DE,=,.,所以,S,.,图2,64/257,6.(云南昆明,23,12分)如图1,在矩形,ABCD,中,P,为,CD,边上一点(,DP,0),则,DP,=2,x,在Rt,DPO,中,由勾股定理得,DP,2,=,DO,2,+,OP,2,101/257,即(2,x,),2,=3,),2,+(3,-,x,),2,解得,x,=,-,(负值舍去),即,AP,=,-,;,点,P,在,AB,上时,PAD,=90,PD,=2,AP,ADP,=30,AP,=,AD,tan 30,=6,=2,.,总而言之,AP,长为2,-,或2,.,思绪分析依据正方形性质得出,AC,BD,AC,=,BD,OB,=,OA,=,OC,=,OD,画出符合题意三种情,况,依据正方形性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.,解题关键熟记正方形性质,分析符合题意情况,并准确画出图形是解题关键.,易错警示此题没有给出图形,需将点,P,位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点,P,在正方,形边上而致错.,102/257,5.(山东青岛,13,3分)如图,在正方形,ABCD,中,对角线,AC,与,BD,相交于点,O,E,为,BC,上一点,CE,=5,F,为,DE,中点.若,CEF,周长为18,则,OF,长为,.,答案,解析四边形,ABCD,是正方形,BO,=,DO,BC,=,CD,BCD,=90,.在Rt,DCE,中,F,为,DE,中,点,CF,=,DE,=,EF,=,DF,.,CEF,周长为18,CE,+,CF,+,EF,=18,又,CE,=5,CF,+,EF,=18-5=1,3,DE,=,DF,+,EF,=13,DC,=,=12,BC,=12,BE,=12-5=7.在,BDE,中,BO,=,DO,F为,DE,中点,OF,为,BDE,中位线,OF,=,BE,=,.,103/257,6.(北京,27,7分)如图,在正方形,ABCD,中,E,是边,AB,上一动点(不与点,A,B,重合),连接,DE,点,A,关于直线,DE,对称点为,F,连接,EF,并延长交,BC,于点,G,连接,DG,过点,E,作,EH,DE,交,DG,延长,线于点,H,连接,BH,.,(1)求证:,GF,=,GC,;,(2)用等式表示线段,BH,与,AE,数量关系,并证实.,104/257,解析(1)证实:如图,连接,DF,.,四边形,ABCD,为正方形,DA,=,DC,=,AB,A,=,C,=,ADC,=90,.,又点,A,关于直线,DE,对称点为,F,ADE,FDE,DA,=,DF,=,DC,DFE,=,A,=90,DFG,=90,.,在Rt,DFG,和Rt,DCG,中,105/257,Rt,DFG,Rt,DCG,(HL),GF,=,GC,.,(2)线段,BH,与,AE,数量关系:,BH,=,AE,.,证实:在线段,AD,上截取,AM,使,AM,=,AE,连接,ME,.,AD,=,AB,DM,=,BE,.,由(1)得1=2,3=4,106/257,ADC,=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH,=45,.,EH,DE,DE,=,EH,DEH,=90,A,=90,1+,AED,=90,5+,AED,=90,1=5.,在,DME,和,EBH,中,DME,EBH,(SAS),ME,=,BH,.,A,=90,AM,=,AE,107/257,ME,=,AE,BH,=,AE,.,思绪分析本题第(1)问需要经过正方形性质和轴对称性质处理;本题第(2)问需要经过构,造全等三角形,利用等腰直角三角形性质处理.,解题关键处理本题第(2)问关键是要经过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证实三角,形全等,从而将,BH,和,AE,转化到,AME,中证实数量关系.,108/257,7.(陕西,19,7分)如图,在正方形,ABCD,中,E,、,F,分别为边,AD,和,CD,上点,且,AE,=,CF,连接,AF,、,CE,交于点,G,.求证:,AG,=,CG,.,证实四边形,ABCD,是正方形,ADF,=,CDE,=90,AD,=,CD,.,AE,=,CF,DE,=,DF,.,(2分),ADF,CDE,.,DAF,=,DCE,.,(4分),又,AGE,=,CGF,AE,=,CF,AGE,CGF,AG,=,CG,.,(7分),109/257,C组教师专用题组,考点一矩形,1.(四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片,ABCD,使,AB,与,DC,重合得到折痕,EF,将纸片展平;再,一次折叠,使点,D,落到,EF,上点,G,处,并使折痕经过点,A,展平纸片后,DAG,大小为,(),A.30,B.45,C.60,D.75,110/257,答案C如图,依据第二次折叠可知,1=2,MGA,=90,由第一次折叠可知,MN,=,AN,即,NG,是Rt,AMG,中线,故,AN,=,GN,所以2=3.又,EF,AB,所以3=4,故1=2=4,又因为,1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=,DAG,=60,故选C.,111/257,2.(内蒙古呼和浩特,9,3分)已知矩形,ABCD,周长为20 cm,两条对角线,AC,BD,相交于点,O,过点,O,作,AC,垂线,EF,分别交两边,AD,BC,于,E,F,(不与顶点重合),则以下关于,CDE,与,ABF,判,断完全正确一项为,(),A.,CDE,与,ABF,周长都等于10 cm,但面积不一定相等,B.,CDE,与,ABF,全等,且周长都为10 cm,C.,CDE,与,ABF,全等,且周长都为5 cm,D.,CDE,与,ABF,全等,但它们周长和面积都不能确定,112/257,答案B,AO,=,CO,EF,AC,即,EF,垂直平分,AC,EA,=,EC,CDE,周长=,CD,+,DE,+,CE,=,CD,+,AD,=10 cm,同理可求出,ABF,周长为10 cm.,在,AOE,和,COF,中,AOE,COF,AE,=,CF,.,AD,=,BC,DE,=,BF,.,113/257,在,CDE,和,ABF,中,CDE,ABF,故选B.,评析本题考查了矩形性质,线段垂直平分线性质,全等三角形判定,属轻易题.,114/257,3.(安徽,9,4分)如图,矩形,ABCD,中,AB,=8,BC,=4,点,E,在,AB,上,点,F,在,CD,上,点,G,、,H,在对角线,AC,上,若四边形,EGFH,是菱形,则,AE,长是,(),A.2,B.3,C.5D.6,答案C连接,EF,交,GH,于点,O,由四边形,EGFH,为菱形,可得,EF,GH,OH,=,OG,因为四边形,ABCD,为矩形,所以,B,=90,.因为,AB,=8,BC,=4,所以,AC,=,=4,.易证,AGE,CHF,所以,AG,=,CH,所以,AO,=,AC,=2,;因为,EO,GH,B,=90,所以,AOE,=,B,又因为,OAE,=,BAC,所以,AOE,ABC,所以,=,=,所以,AE,=5,故选C.,115/257,4.(内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形,ABCD,中,点,E,是,CD,中点,点,F,是,BC,上一点,且,FC,=2,BF,连接,AE,EF,.若,AB,=2,AD,=3,则cos,AEF,值是,.,答案,解析连接,AF,.,四边形,ABCD,是矩形,AB,=,CD,B,=,C,=90,.,点,E,是,CD,中点,AB,=2,CE,=1.,FC,=2,BF,BC,=3,BF,=1,FC,=2.,易证,ABF,FCE,AF,=,EF,AFB,=,FEC,FEC,+,EFC,=90,AFB,+,EFC,=90,AFE,=90,.,AEF,是等腰直角三角形,cos,AEF,=cos 45,=,.,116/257,5.(广东,15,4分)如图,矩形,ABCD,中,对角线,AC,=2,E,为,BC,边上一点,BC,=3,BE,.将矩形,ABCD,沿,AE,所在直线折叠,B,点恰好落在对角线,AC,上,B,处,则,AB,=,.,答案,解析由折叠和矩形性质,可知,BE,=,B,E,AB,E,=,ABE,=90,EB,C,=90,.,BC,=3,BE,EC,=2,BE,=2,B,E,ACB,=30,AB,=,AC,.,A