级数教学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第一节 级数的概念和性质,无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.,一、级数的基本概念,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,1,.,1、级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2,.,2、级数的收敛与发散:,3,.,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,4,.,发散,发散,综上所述,5,.,齐诺悖论,阿基里斯与乌龟,公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(,Zeno,),用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(,Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头,1000,米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的,10,倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了,1000,米,此时乌龟仍然前于他,100,米；当阿基里斯跑了下一个,100,米时,乌龟仍然前于他,10,米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,6,.,如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.,7,.,8,.,解,例2,讨论无穷级数,的收敛性.,9,.,解,例3,所以级数发散.,10,.,二、级数的重要性质,性质1,(级数收敛的必要条件),证明,11,.,说明,：,1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；,级数,发散；,级数,发散。,12,.,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,13,.,讨论,于是,矛盾，,调和级数,14,.,由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。,也收敛,且有,性质2 线性运算性质,15,.,注:,证,矛盾.,16,.,性质3,收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.,证略。,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论,如果加括弧后所成的级数发散,则原级,数也发散.,例如,例如，,则级数,且和不变.,17,.,去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响,性质4,它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).,证略。,18,.,解,例4,由性质,3,，,由性质,2,，,所以,注意：不能去括号,19,.,由性质,2,，,所以,于是,解,例4,20,.,例5,判断下列级数的敛散性：,因为,都收敛，,故原级数收敛，,解,且和为,21,.,例5,判断下列级数的敛散性：,收敛；,发散。,22,.,