高考数学复习选修系列13.3数学归纳法理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

13.3,数学归纳法,1/92,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/92,基础知识自主学习,3/92,数学归纳法,知识梳理,普通地，证实一个与正整数,n,相关命题，可按以下步骤进行：,(1)(,归纳奠基,),证实当,n,取,(,n,0,N,*,),时命题成立；,(2)(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证实当,时命题也成立,.,只要完成这两个步骤，就能够断定命题对从,n,0,开始全部正整数,n,都成立,.,第一个值,n,0,n,k,1,4/92,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),用数学归纳法证实问题时，第一步是验证当,n,1,时结论成立,.(,),(2),全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实,.(,),(3),用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用,.(,),思索辨析,(4),不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由,n,k,到,n,k,1,时，项数都增加了一项,.(,),(5),用数学归纳法证实等式,“,1,2,2,2,2,n,2,2,n,3,1,”,，验证,n,1,时，左边式子应为,1,2,2,2,2,3,.(,),(6),用数学归纳法证实凸,n,边形内角和公式时，,n,0,3.(,),5/92,考点自测,A.1 B.1,a,C.1,a,a,2,D.1,a,a2,a,3,答案,解析,当,n,1,时，,n,1,2,，,左边,1,a,1,a,2,1,a,a,2,.,6/92,答案,解析,A.,n,k,1,时等式成立,B.,n,k,2,时等式成立,C.,n,2,k,2,时等式成立,D.,n,2(,k,2),时等式成立,7/92,因为,n,为正偶数，,n,k,时等式成立，,即,n,为第,k,个偶数时命题成立，,所以需假设,n,为下一个偶数，即,n,k,2,时等式成立,.,8/92,3.,在应用数学归纳法证实凸,n,边形对角线为,n,(,n,3),条时，第一步检验,n,等于,凸,n,边形边数最小时是三角形，,A.1 B.2,C.3 D.0,答案,解析,故第一步检验,n,3.,9/92,答案,解析,等式左边是从,1,开始连续自然数和，直到,n,2,.,故,n,k,1,时，最终一项是,(,k,1),2,，而,n,k,时，最终一项是,k,2,，,应加上,(,k,2,1),(,k,2,2),(,k,2,3),(,k,1),2,.,10/92,答案,3,4,5,n,1,11/92,题型分类深度剖析,12/92,题型一用数学归纳法证实等式,例,1,设,f,(,n,),1,(,n,N,*,).,求证：,f,(1),f,(2),f,(,n,1),n,f,(,n,),1,(,n,2,，,n,N,*,).,证实,13/92,当,n,2,时，左边,f,(1),1,，左边右边，等式成立,.,假设,n,k,(,k,2,，,k,N,*,),时，结论成立，即,f,(1),f,(2),f,(,k,1),k,f,(,k,),1,，,那么，当,n,k,1,时，,f,(1),f,(2),f,(,k,1),f,(,k,),k,f,(,k,),1,f,(,k,),(,k,1),f,(,k,),k,14/92,(,k,1),f,(,k,1),(,k,1),(,k,1),f,(,k,1),1,，,当,n,k,1,时结论成立,.,由,可知当,n,N,*,时，,f,(1),f,(2),f,(,n,1),n,f,(,n,),1,(,n,2,，,n,N,*,).,15/92,用数学归纳法证实恒等式应注意,(1),明确初始值,n,0,取值并验证,n,n,0,时等式成立,.,(2),由,n,k,证实,n,k,1,时，搞清左边增加项，且明确变形目标,.,(3),掌握恒等变形惯用方法：,因式分解；,添拆项；,配方法,.,思维升华,16/92,跟踪训练,1,用数学归纳法证实：,证实,17/92,左边右边，等式成立,.,假设,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，等式成立,.,当,n,k,1,时，,18/92,19/92,左边右边，等式成立,.,即对全部,n,N,*,，原式都成立,.,20/92,例,2,(,烟台模拟,),等比数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，已知对任意,n,N,*,，点,(,n,，,S,n,),均在函数,y,b,x,r,(,b,0,且,b,1,，,b,，,r,均为常数,),图象上,.,(1),求,r,值；,题型二用数学归纳法证实不等式,解答,21/92,由题意，,S,n,b,n,r,，,当,n,2,时，,S,n,1,b,n,1,r,.,所以,a,n,S,n,S,n,1,b,n,1,(,b,1).,因为,b,0,且,b,1,，,所以,n,2,时，,a,n,是以,b,为公比等比数列,.,又,a,1,b,r,，,a,2,b,(,b,1),，,22/92,证实,23/92,由,(1),及,b,2,知,a,n,2,n,1,.,所以,b,n,2,n,(,n,N,*,),，,左式,右式，所以结论成立,.,假设,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时结论成立，,24/92,则当,n,k,1,时，,要证当,n,k,1,时结论成立，,25/92,所以当,n,k,1,时，结论成立,.,26/92,数学归纳法证实不等式适用范围及关键,(1),适用范围：当碰到与正整数,n,相关不等式证实时，若用其它方法不轻易证，则可考虑应用数学归纳法,.,(2),关键：由,n,k,时命题成立证,n,k,1,时命题也成立，在归纳假设使用后可利用比较法、综正当、分析法、放缩法等来加以证实，充分应用基本不等式、不等式性质等放缩技巧，使问题得以简化,.,思维升华,27/92,跟踪训练,2,若函数,f,(,x,),x,2,2,x,3,，定义数列,x,n,以下：,x,1,2,，,x,n,1,是过点,P,(4,5),、,Q,n,(,x,n,，,f,(,x,n,),直线,PQ,n,与,x,轴交点横坐标，试利用数学归纳法证实：,2,x,n,x,n,1,3.,证实,28/92,即,n,1,时结论成立,.,假设当,n,k,时，结论成立，即,2,x,k,x,k,1,3.,当,n,1,时，,x,1,2,，,f,(,x,1,),3,，,Q,1,(2,，,3).,所以直线,PQ,1,方程为,y,4,x,11,，,代入上式，令,y,0,，,29/92,即,x,k,1,x,k,2,，,所以2,x,k,1,x,k,2,3,，,即当,n,k,1,时，结论成立,.,由,知对任意正整数,n,2,x,n,x,n,1,x,4,x,6,，猜测：数列,x,2,n,是递减数列,.,下面用数学归纳法证实：,当,n,1,时，已证命题成立,.,假设当,n,k,时命题成立，即,x,2,k,x,2,k,2,，,易知,x,k,0,，那么,32/92,即,x,2(,k,1),x,2(,k,1),2,.,所以当,n,k,1,时命题也成立,.,结合,知，对于任何,n,N,*,命题成立,.,33/92,命题点,2,与数列相关证实问题,例,4,在数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,n,1,a,n,n,1,(2,)2,n,(,n,N,*,，,0).,(1),求,a,2,，,a,3,，,a,4,；,解答,a,2,2,2,2(2,),2,2,2,，,a,3,(,2,2,2,),3,(2,)2,2,2,3,2,3,，,a,4,(2,3,2,3,),4,(2,)2,3,3,4,2,4,.,34/92,(2),猜测,a,n,通项公式，并加以证实,.,证实,35/92,由,(1),可猜测数列通项公式为：,a,n,(,n,1),n,2,n,.,下面用数学归纳法证实：,当,n,1,2,3,4,时，等式显然成立，,假设当,n,k,(,k,4,，,k,N,*,),时等式成立，,即,a,k,(,k,1),k,2,k,，,那么当,n,k,1,时，,a,k,1,a,k,k,1,(2,)2,k,(,k,1),k,2,k,k,1,2,k,1,2,k,36/92,(,k,1),k,1,k,1,2,k,1,(,k,1),1,k,1,2,k,1,，,所以当,n,k,1,时，,a,k,1,(,k,1),1,k,1,2,k,1,，猜测成立，,由,知数列通项公式为,a,n,(,n,1),n,2,n,(,n,N,*,，,0).,37/92,命题点,3,存在性问题证实,例,5,设,a,1,1,，,a,n,1,b,(,n,N,*,).,解答,(1),若,b,1,，求,a,2,，,a,3,及数列,a,n,通项公式；,38/92,从而,(,a,n,1),2,是首项为,0,，公差为,1,等差数列，,39/92,下面用数学归纳法证实上式：,当,n,1,时结论显然成立,.,所以当,n,k,1,时结论成立,.,40/92,(2),若,b,1,，问：是否存在实数,c,使得,a,2,n,c,a,2,n,1,对全部,n,N,*,成立？证实你结论,.,证实,41/92,则,a,n,1,f,(,a,n,).,下面用数学归纳法证实加强命题：,a,2,n,c,a,2,n,1,1.,42/92,假设,n,k,时结论成立，即,a,2,k,c,a,2,k,1,1.,再由,f,(,x,),在,(,，,1,上为减函数，,得,c,f,(,c,),f,(,a,2,k,2,),f,(,a,2,),a,3,1,，故,c,a,2,k,3,f,(,a,2,k,1,),f,(1),a,2,，即,1,c,a,2,k,2,a,2,.,所以,a,2(,k,1),c,a,2(,k,1),1,1.,43/92,先证：,0,a,n,1(,n,N,*,).,当,n,1,时，结论显然成立,.,则,a,n,1,f,(,a,n,).,假设,n,k,时结论成立，即,0,a,k,1.,44/92,易知,f,(,x,),在,(,，,1,上为减函数，从而,这就是说，当,n,k,1,时结论成立,.,故,成立,.,即,0,a,k,1,1.,再证：,a,2,n,a,2,n,1,(,n,N,*,)45/92,有,a,2,a,3,，即,n,1,时,成立,.,由,及,f,(,x,),在,(,，,1,上为减函数，得,假设,n,k,时，结论成立，即,a,2,k,f,(,a,2,k,1,),a,2,k,2,，,a,2(,k,1),f,(,a,2,k,1,),f,(,a,2,n,1,),，即,a,2,n,1,a,2,n,2,，,47/92,(1),利用数学归纳法能够探索与正整数,n,相关未知问题、存在性问题，其基本模式是,“,归纳,猜测,证实,”,，即先由合情推剪发觉结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论正确性,.,(2),“,归纳,猜测,证实,”,基本步骤是,“,试验,归纳,猜测,证实,”,高中阶段与数列结合问题是最常见问题,.,思维升华,48/92,跟踪训练,3,(,江苏,),已知集合,X,1,2,3,，,Y,n,1,2,3,，,，,n,(,n,N,*,),，设,S,n,(,a,，,b,)|,a,整除,b,或,b,整除,a,，,a,X,，,b,Y,n,，令,f,(,n,),表示集合,S,n,所含元素个数,.,(1),写出,f,(6),值；,解答,Y,6,1,2,3,4,5,6,，,S,6,中元素,(,a,，,b,),满足：,若,a,1,，则,b,1,2,3,4,5,6,；若,a,2,，则,b,1,2,4,6,；,若,a,3,，则,b,1,3,6.,所以,f,(6),13.,49/92,解答,(2),当,n,6,时，写出,f,(,n,),表示式，并用数学归纳法证实,.,50/92,当,n,6,时，,51/92,下面用数学归纳法证实：,假设,n,k,(,k,6),时结论成立，那么,n,k,1,时，,S,k,1,在,S,k,基础上新增加元素在,(1,，,k,1),，,(2,，,k,1),，,(3,，,k,1),中产生，分以下情形讨论：,(,),若,k,1,6,t,，则,k,6(,t,1),5,，此时有,(,),若,k,1,6,t,1,，则,k,6,t,，此时有,52/92,(,),若,k,1,6,t,2,，则,k,6,t,1,，此时有,(,),若,k,1,6,t,3,则,k,6,t,2,，此时有,53/92,(,),若,k,1,6,t,4,，则,k,6,t,3,，此时有,(,),若,k,1,6,t,5,，则,k,6,t,4,，此时有,54/92,总而言之，结论对满足,n,6,自然数,n,均成立,.,55/92,典例,(12,分,),数列,a,n,满足,S,n,2,n,a,n,(,n,N,*,).,(1),计算,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,，并由此猜测通项公式,a,n,；,(2),证实,(1),中猜测,.,归纳,猜测,证实问题,答题模板系列,9,规范解答,(1),由,S,1,a,1,算出,a,1,；由,a,n,S,n,S,n,1,算出,a,2,，,a,3,，,a,4,，观察所得数值特征猜出通项公式,.,(2),用数学归纳法证实,.,答题模板,思维点拨,56/92,(1),解,当,n,1,时，,a,1,S,1,2,a,1,，,a,1,1,；,当,n,2,时，,a,1,a,2,S,2,2,2,a,2,，,当,n,4,时，,a,1,a,2,a,3,a,4,S,4,2,4,a,4,，,57/92,(2),证实,当,n,1,时，,a,1,1,，结论成立,.,5,分,那么,n,k,1,时，,7,分,假设,n,k,(,k,1,且,k,N,*,),时，结论成立，,a,k,1,S,k,1,S,k,2(,k,1),a,k,1,2,k,a,k,2,ak,a,k,1,，,2,a,k,1,2,a,k,.,9,分,58/92,当,n,k,1,时，结论成立,.,11,分,返回,59/92,归纳,猜测,证实问题普通步骤,：,第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测,数列通项或普通结论,；,第二步：验证普通结论对第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),成立,；,第三步：假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时结论成立，证实当,n,k,1,时结论也成立,；,第四步：下结论，由上可知结论对任意,n,n,0,，,n,N,*,成立,.,返回,60/92,课时作业,61/92,1.,假如命题,p,(,n,),对,n,k,(,k,N,*,)成立，则它对,n,k,2,也成立,.,若,p,(,n,),对,n,2,也成立，则以下结论正确是,A.,p,(,n,),对全部正整数,n,都成立,B.,p,(,n,),对全部正偶数,n,都成立,C.,p,(,n,),对全部正奇数,n,都成立,D.,p,(,n,),对全部自然数,n,都成立,答案,解析,n,2,时，,n,k,，,n,k,2,成立，,n,为,2,4,6,，,，故,n,为全部正偶数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,62/92,2.,用数学归纳法证实命题,“,当,n,是正奇数时，,x,n,y,n,能被,x,y,整除,”,，在第二步时，正确证法是,A.,假设,nk,(,k,N,*,),，证实,n,k,1,时命题成立,B.,假设,n,k,(,k,是正奇数,),，证实,n,k,1,时命题成立,C.,假设,n,2,k,1(,k,N,*,),，证实,n,k,1,时命题成立,D.,假设,n,k,(,k,是正奇数,),，证实,n,k,2,时命题成立,答案,解析,相邻两个正奇数相差,2,，故,D,选项正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,63/92,3.(,淄博质检,),设,f,(,x,),是定义在正整数集上函数，且,f,(,x,),满足：当,f,(,k,),k,1,成立时，总能推出,f,(,k,1),k,2,成立，那么以下命题总成立是A.,若,f,(1)2,成立，则,f,(10)11,成立,B.,若,f,(3),4,成立，则当,k,1,时，都有,f,(,k,),k,1,成立,C.,若,f,(2)4,时，,f,(,n,),_(,用,n,表示,).,5,答案,解析,f,(,n,),f,(3),3,4,(,n,1),2,3,4,(,n,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,72/92,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,73/92,下面利用数学归纳法证实,.,假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，结论成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,74/92,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,75/92,(1),证实：,x,n,是递减数列充要条件是,c,0,；,所以数列,x,n,是递减数列,.,必要性：若,x,n,是递减数列，则,x,2,x,1,，且,x,1,0.,故,x,n,是递减数列充要条件是,c,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证实,76/92,(2),若,01,时，对,x,(0,，,a,1,有,(,x,),0,，,(,x,),0,在,0,，,),上恒成立，,(,a,1)1,时，存在,x,0,，使,(,x,),n,ln(,n,1).,综上可知，,a,取值范围是,(,，,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,91/92,下面用数学归纳法证实,.,由,可知，结论对,n,N,*,成立,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,92/92,