高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PP.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.4.2,平面向量数量积坐标表示、模、夹角,1/66,2/66,1.,平面向量数量积坐标表示,(1),条件：两个向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,).,(2),坐标表示：,a,b,=_.,(3),文字语言：两个向量数量积等于它们,_,x,1,x,2,+y,1,y,2,对应坐标乘积和,3/66,2.,平面向量模坐标表示,(1),条件：,a,=(x,y).,(2),坐标表示：,|,a,|,2,=_,或,|,a,|=_.,(3),常见应用：表示向量,a,有向线段起点和终点坐标分别,为,(x,1,y,1,),，,(x,2,y,2,),，则,a,=_,，,|,a,|=,_.,x,2,+y,2,(x,2,-x,1,y,2,-y,1,),4/66,3.,向量垂直判定,(1),条件：,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),，,a,0,，,b,0,.,(2),坐标表示：,a,b,_.,4.,两向量夹角余弦,(1),条件：两个非零向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),，,为,a,与,b,夹角，且,0.,(2),坐标表示：,c,os=_=_.,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,5/66,1.,判一判,(,正确打,“,”,，错误打,“,”,),(1),向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),数量积仍是向量，其坐标为,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,).,(,),(2)|,计算公式与,A,，,B,两点间距离公式是一致,.,(,),(3),非零向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),夹角为锐角，则,x,1,x,2,+,y,1,y,2,0,，反之，若非零向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),满足,x,1,x,2,+,y,1,y,2,0,，则它们夹角为锐角,.,(,),6/66,【,解析,】,(1),错误,.,向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),数量积是实,数，其数值为,x,1,x,2,+y,1,y,2,.,(2),正确,.,向量 模,|,是线段,AB,长度，也就是,A,，,B,两,点间距离，二者计算公式也是相同,.,(3),错误,.,非零向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),夹角,为锐角，,则,cos=0,，所以,x,1,x,2,+y,1,y,2,0,，,反之，若,x,1,x,2,+y,1,y,2,0,，则,cos0,，当,cos=1,时，,=0,，非,零向量,a,，,b,夹角不是锐角,.,答案：,(1),(2),(3),7/66,2.,做一做,(,请把正确答案写在横线上,),(1),若,a,=(1,，,1),，,b,=(-3,，,4),，则,a,b,=,.,(2),若表示向量,a,起点和终点坐标分别为,(-1,，,2),和,(3,，,3),，,则,|,a,|=,.,(3),已知平面向量,a,=(x,，,-1),，,b,=(-3,，,1),，若,a,b,，则实数,x,值等于,.,(4),已知向量,a,=(1,，,1),，,b,=(2,，,0),，则向量,a,，,b,夹角为,.,8/66,【,解析,】,(1),因为,a,=(1,1),，,b,=(,3,4),，,所以,a,b,=(1,1),(,3,4)=1(,3)+14=1.,答案：,1,(2),由题意得，,a,=(3,3),(,1,2)=(4,1),，,所以,|,a,|=,答案：,9/66,(3),因为,a,=(x,1),b,=(,3,1),，,a,b,所以,a,b,=(x,1),(,3,1)=,3x+(,1)1=0,，,解得,x=,.,答案：,(4),设向量,a,，,b,夹角为,，,由向量夹角公式可得,cos,因为,0,，所以,.,答案：,10/66,【,关键点探究,】,知识点,1,平面向量数量积及模坐标表示,1.,数量积坐标表示作用及记忆口诀,(1),作用：数量积坐标表示实质是用向量坐标计算数量积一个公式；它实现了向量数量积运算与两向量坐标运算转化，从而将它们联络起来,.,(2),记忆口诀：数量积坐标表示可简记为“对应相乘计算和”,.,11/66,2,数量积坐标表示意义,(1),由数量积坐标表示，可不求向量模和夹角直接求数量积，使得数量积计算更为方便、简单,.,(2),实现了向量运算完全代数化，并将数与形紧密结合起来,.,12/66,3.,向量模坐标运算实质,向量模即为向量长度,其大小应为平面直角坐标系中两点,间距离,如,a,=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点,A(x,y),使得,=,a,=(x,y),所以 ,=,a,=,即,a,为点,A,到原点距离,.,一样若,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,)则,=,(x,2,-x,1,y,2,-y,1,),所以 ,=,即平面直,角坐标系中任意两点间距离公式,.,由此可知向量模运算,实质即为平面直角坐标系中两点间距离运算,.,13/66,【,微思索,】,(1),向量数量积坐标公式适合用于任何两个向量吗？,提醒：,适用,.,不论是零向量，还是非零向量，均可使用向量数量积坐标公式,.,14/66,(2),向量有几个表示方法？因为表示方法不一样，计算数量积方法有什么不一样？,提醒：,向量有几何表示法、代数表示法和坐标表示法三种方法,.,几何表示法、代数表示法表示向量时，用数量积定义计算数量积，坐标表示法表示向量时，用数量积坐标运算求数量积,.,15/66,(3),向量模坐标表示能够处理哪些问题？,提醒：,向量模坐标表示能够处理求线段长度等问题,.,16/66,【,即时练,】,1.(,北京高一检测,),已知向量,e,1,=(1,，,0),，,e,2,=(0,，,1),，那么,|,e,1,+2,e,2,|=,(,),【,解析,】,选,D.,因为,e,1,=(1,，,0),，,e,2,=(0,，,1),，,所以,e,1,+2,e,2,=(1,，,0)+2(0,，,1)=(1,，,2),，,所以,|,e,1,+2,e,2,|=,17/66,2.,已知向量,a,=(4,，,3),，,b,=(-1,，,2),，求：,(1),a,b,.(2)(,a,+2b,),(,a,-,b,).(3),a,2,-4,a,b,.,【,解析,】,(1),因为,a,=(4,，,3),，,b,=(-1,，,2),，,所以,a,b,=(4,，,3),(-1,，,2)=4(-1)+32=2.,18/66,(2),因为,a,=(4,，,3),，,b,=(-1,，,2),，,所以,a,2,=(4,，,3),(4,，,3)=4,2,+3,2,=25,，,b,2,=(-1,，,2),(-1,，,2)=(-1),2,+2,2,=5.,所以,(,a,+2,b,),(,a,-,b,)=,a,2,+,a,b,-2,b,2,=25+2-25=17.,(3),a,2,-4,a,b,=25-42=17.,19/66,知识点,2,向量垂直、夹角余弦值坐标表示,1.,向量垂直坐标表示,(1),记忆口诀和注意问题,注意坐标形式下两向量垂直条件与两向量平行条件不要混同，,“,a,b,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,”,可简记为,“,对应相乘和为,0,”,；,“,a,b,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,”,可简记为,“,交叉相乘差为,0,”,.,(2),能够处理问题,应用公式可处理向量垂直，两条直线相互垂直等问题,.,20/66,2.,平面向量夹角余弦公式应用条件及使用策略,(1),应用条件,已知两个非零向量坐标，能够利用该公式求得夹角余弦值,.,(2),在不一样表示形式下求向量夹角策略,当,a,，,b,是非坐标形式时，求,a,与,b,夹角，需求出,a,b,，,|,a,|,和,|,b,|,或直接得出它们之间关系,.,若,a,，,b,是坐标形式，则可直接利用公式,c,os=,求解,.,21/66,【,知识拓展,】,投影坐标表示,设向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),，则向量,b,在向量,a,方向上,投影坐标表示：,|,b,|cos=,22/66,【,微思索,】,由向量夹角余弦值计算公式可知，两个向量数量积和两个向量夹角余弦值有什么关系？,提醒：,若数量积为正，则余弦值为正；若数量积为,0,，则余弦值为,0,；若数量积为负，则余弦值为负,.,23/66,【,即时练,】,1.(,长沙高一检测,),设,a,=(log,2,x,，,2),，,b,=(1,，,-1),，,a,b,，则,x=,.,2.,已知,a,=(3,，,-1),，,b,=(1,，,-2),，则,a,与,b,夹角为,.,24/66,【,解析,】,1.,因为向量,a,=(log,2,x,，,2),，,b,=(1,，,-1),，,又,a,b,，所以,log,2,x-2=0,，所以,log,2,x=2,，,x=4.,答案：,4,25/66,2.,a,b,=3+2=5,，,|,a,|=,，,|,b,|=,，设两向量夹角为,，,则,cos=,又,0,，,，所以,=答案：,26/66,【,题型示范,】,类型一,平面向量数量积、模坐标运算问题,【,典例,1】,(1)(,安溪高一检测,),已知向量,a,=(1,2),b,=(2,x),且,a,b,=,1,，则,x,值等于,(),27/66,(2)(,天津高一检测,),已知点,A(1,，,-2),，若向量 与,a,=,(2,3),同向，且,|=,则点,B,坐标为,(),A.(5,，,-4)B.(4,5),C.(-5,，,-4)D.(5,4),(3)(,新课标全国,),已知正方形,ABCD,边长为,2,，,E,为,CD,中点，则,=_.,28/66,【,解题探究,】,1.,题,(1),中，利用哪个条件可建立关于,x,方程？,2.,题,(2),中，向量 坐标满足哪些等量关系？,3.,题,(3),中，求数量积有哪几个方法？若用坐标运算，需要先,做何种准备？,29/66,【,探究提醒,】,1.,依据,a,b,=,1,建立关于,x,方程,.,2.,分别依据向量 与,a,=(2,3),同向，,|=,可得,坐标满足等量关系,.,3.,方法一：用 分别表示向量 用数量积定义计,算 方法二：坐标运算,.,首先要建立坐标系,确定各关键,点坐标,再求得数量积,30/66,【,自主解答,】,(1),选,D.,因为,a,=(1,2),b,=(2,x),所以,a,b,=(1,2),(2,x)=12+2x=-1,，,解得,x31/66,(2),选,D.,因为向量 与,a,=(2,3),同向，,所以设向量,=(2,3),，,0,，则,=(2,3),，,又因为,|=,所以,(2),2,+(3),2,=,所以,2,=4,，解得,=2.,所以,=(4,6),又因为点,A,坐标为,(1,2),，设,O,为坐标原点，,所以,=(1,2)+(4,6)=(5,4),，,所以点,B,坐标为,(5,4).,32/66,(3),方法一：因为,ABCD,是正方形，,所以,因为,E,为,CD,中点，所以,所以,所以,=,33/66,方法二：以点,B,为原点，以 方向为,x,轴，,y,轴正方向建立平面直角坐标系，则,(,),，,(,),),，,(,),，所以,=(2,-1),=(2,2),，所以,答案：,2,34/66,【,延伸探究,】,题,(3),中，若增加条件“点,F,在边,AD,上，,”，试求 值,.,【,解析,】,建立平面直角坐标系如图，,则,A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为 所以,所以,所以,35/66,【,方法技巧,】,1.,数量积坐标运算技巧,(1),进行数量积运算时，要正确使用公式,a,b,=x,1,x,2,+y,1,y,2,，并能,灵活利用以下几个关系：,|,a,|,2,=,a,a,.(,a,+,b,)(,a,-,b,)=|,a,|,2,-|,b,|,2,.a,+,b,),2,=|,a,|,2,+2,a,b,+|,b,|,2,.,36/66,(2),利用数量积条件求平面向量坐标，普通来说应该先设,出向量坐标，然后依据题目中已知条件找出向量坐标满足,等量关系，利用数量积坐标运算列出方程,(,组,),来进行求解,.,37/66,2.,求向量模两种基本策略,(1),字母表示下运算,.,利用,|,a,|,2,=,a,2,，将向量模运算转化为向量与向量数量积问题,.,(2),坐标表示下运算,.,若,a,=(x,，,y),，则,a,a,=,a,2,=|,a,|,2,=x,2,+y,2,，于是有,|,a,|=.,38/66,【,变式训练,】,已知向量,a1,，,k),，,b,=(2,，,2),，且,a,+,b,与,a,共线，那么,a,b,值为,.,【,解析,】,a,+,b,=(1,，,k)+(2,，,2)=(3,，,k+2).,因为,a,+,b,与,a,共线，所以,k+2-3k=0,，解得,k=1.,所以,a,b,=(1,，,1),(2,，,2)=4.,答案：,4,【,误区警示,】,解答本题轻易将向量平行坐标表示与数量积坐标表示混同，造成错误,.,39/66,【,赔偿训练,】,若,a,=(3,，,-1),，,b,=(1,，,2),，则满足,c,a,=9,，,c,b,=-4,向量,c,=,.,【,解析,】,设向量,c,坐标为,(x,，,y),，,c,a,=(x,，,y),(3,，,-1)=3x-y=9,c,b,=(x,，,y),(1,，,2)=x+2y=-4,联立解得,x=2,，,y=-3,，所以,c,=(2,，,-3).,答案：,(2,，,-3),40/66,类型二,平面向量夹角和垂直问题,【,典例,2】,(1)(,景德镇高一检测,),设,a,=(2,，,4),，,b,=(1,，,1),，若,b,(,a,+m,b,),，则实数,m=,.,41/66,(2),如图，,AOE,和,BOE,都是边长为,1,等边三角形，延长,OB,到,C,使,|BC|=t(t0),，连,AC,交,BE,于点,D,，连接,OD.,用,t,表示向量 坐标；,当 时，求向量 夹角大小,.,42/66,【,解题探究,】,1.,题,(1),中，怎样建立关于,m,方程？,2.,题,(2),中，第题点,C,能够看作哪个角终边上点？是否能够,利用任意角三角函数定义表示出点,C,坐标？,BCD,与,EAD,相同吗？若相同，能够找到哪些向量之间关,系？,第题，,t,值是多少？求 与 夹角，要计算哪些,量？,43/66,【,探究提醒,】,1.,由,b,(,a,+m,b,),得,b,(,a,+m,b,)=0,，从而建立关于,m,方程,.,2.,第题点,C,能够看作,-60,角终边上点，再利用,|=t,+1,，能够依据任意角三角函数定义表示出点,C,坐标,.BCD,与,EAD,相同，由此能够找到 与 ，与 ，与,关系,.,第题，,t,.,求 夹角，要计算,44/66,【,自主解答,】,(1),因为,a,=(2,4),，,b,=(1,1),，,所以,a,+m,b,=(2+m,4+m),，,又,b,(,a,+m,b,),，,所以,b,(,a,+m,b,)=2+m+4+m=0,解得,m=-3.,答案：,-3,45/66,(2),由已知得点,C,是,-60,角终边上点，且,|OC|=|OB|+|BC|=t+1,所以点,C,坐标为,(t+1)cos(-60),(t+1)sin(-60),，,即,所以,同理可得,46/66,因为,所以,所以,所以,所以,47/66,由已知,t,，,所以,所以,又因为,设向量 夹角为,，则,cos,所以向量 夹角为,60.,48/66,【,方法技巧,】,利用数量积求两向量夹角步骤,(1),求数量积：利用平面向量数量积坐标表示公式求出这两,个向量数量积,.,(2),求模：利用,|,a,|=,计算出这两个向量模,.,(3),求余弦值：由公式,cos=,直接求出,cos,值,.,(4),求角：在,0,内，由,cos,值求角,.,49/66,【,变式训练,】,(,湖北高考,),设向量,a,=(3,，,3),，,b,=(1,，,-1),，若,(,a,+,b,)(,a,-,b,),，则实数,=,.,【,解析,】,因为,a,+,b,3+,，,3-),，,a,-,b,=(3-,，,3+),，,因为,(,a,+,b,)(,a,-,b,),，,所以,(3+)(3-)+(3-)(3+)=0,，,解得,=3.,答案：,3,50/66,【,误区警示,】,解题时要明确知道,(,a,+,b,)(,a,-,b,),充要条件是,(,a,+,b,),(,a,-,b,)=0,，不要与向量平行充要条件弄混,.,51/66,【,赔偿训练,】,1.,已知向量,=(,1,2),，,=(3,m),，若,则,m=_.,【,解析,】,因为,=(,1,2),，,=(3,m),，,所以,=(3,m),(,1,2)=(4,m,2),因为 所以,=(,1)4+2m,2)=0,解得,m=4.,答案：,4,52/66,2.,已知,A(1,，,0),，,B(3,，,1),，,C(2,，,0),，且,a,=,，,b,=,，则,a,与,b,夹角为,_.,【,解析,】,因为,A(1,，,0),，,B(3,，,1),，,C(2,，,0),，,所以,a,=(2,0),(3,1)=(,1,1),，,b,=(1,0),(2,0)=(,1,0),，,所以,a,b,=(,1,1),(,1,0)=(,1)(,1)+(,1)0=1,|,a,|=|,b,|=1,53/66,设,a,b,夹角为,cos=,又因为,0180,，所以,a,与,b,夹角为,45.,答案：,45,54/66,3.,已知点,A(1,2),和,B(4,，,1),，问能否在,y,轴上找到一点,C,，使,ACB,90,，若不能，请说明理由；若能，求出,C,点坐标,.,55/66,【,解析,】,假设存在点,C(0,，,y),，,使,ACB,90,，则,因为 ,(,1,，,y,2),，,(,4,，,y,1),，,所以 ,4,(y,2)(y,1),0,，,所以,y,2,y,2,0.,而方程,y,2,y,2,0,，,0,，,所以方程无实数解，故不存在满足条件点,C.,56/66,【,规范解答,】,平面向量数量积坐标运算综合应用,【,典例,】,(12,分,)(,北京高一检测,),已知点,A(,1,0),B(0,1),，点,P(x,y),为直线,y=x,1,上一个动点,.,(1),求证：,APB,恒为锐角,.,(2),若四边形,ABPQ,为菱形，求 值,.,57/66,【,审题,】,抓信息，找思绪,58/66,【,审题,】,抓信息，找思绪,59/66,60/66,【,点题,】,警误区，促提升,失分点,1,：解题时，若未想到利用点在直线上消元，用,x,表示点,P,坐标，造成在处不能用配方法证实 则会造成,失分,.,失分点,2,：解题时，认为,cos,APB0,则,APB,恒为锐角，遗漏通,过处方程无讲解明,APB0,，造成证实不严谨，考试时最少,扣掉,2,分,.,61/66,失分点,3,：解题时，若忽略由四边形,ABPQ,为菱形，则无法由向,量模相等、相等向量几何意义推出处,考试时要扣掉,4,6,分,.,62/66,【,悟题,】,提办法，导方向,1.,注意函数与方程思想应用,解答向量坐标运算问题时，要注意函数、方程相关知识应用,.,如本例中，,=2x,2,-2x+2=2(x,2,-x+1),，能够用二次函数,知识求最值,.,解方程,(x+1)(x-2)-(x-1)x=0,，能够判断两个向量,是否共线,.,63/66,2.,重视向量及其运算几何意义应用,在解答向量问题时，恰当利用向量及其运算几何意义能够达,到建立向量,模型解题目标,.,如本例中，由四边形,ABPQ,为菱,形，可推出,64/66,【,类题试解,】,(,温州高一检测,),如图，已知,=(3,1),，,=(,1,2),，,(1),求 值及,|.,(2),求,坐标,.,65/66,【,解析,】,(1)=(3,1),(,1,2)=3(,1)+12=,1.,=(,1,2),(3,1)=(,4,1),，,|=,(2),设,=(x,y),，则,=(x,y),(,1,2)=(x+1,y,2),，,因为 所以 所以,x+2y=0,因为 所以,x+1,3(y,2)=0,，即,x,3y+7=0,联立解得,x=14,y=7,，故,=(14,7).,66/66,