复合函数的导数.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复合函数导数,1/16,一、复习与引入：,1.函数导数定义与几何意义.,2.常见函数导数公式.,3.导数四则运算法则.,4.比如求函数y=(3x-2),2,导数,那么我们能够把平方式,展开,利用导数四则运算法则求导.然后能否用其它,方法求导呢?,又如我们知道函数y=1/x,2,导数是 =-2/x,3,那么函数,y=1/(3x-2),2,导数又是什么呢?,为了处理上面问题,我们需要学习新导数运算法则,这就是,复合函数导数,.,2/16,二、新课复合函数导数：,1.复合函数概念:,对于函数y=f (x),令u=x),若y=f(u)是中间变量,u函数,u=(x)是自变量x函数,则称y=f (x),是自变量x复合函数.,2.复合函数导数:,设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在,点x对应点u处有导数 ,则复合函数,在点x处也有导数,且 或记,如:求函数y=(3x-2),2,导数,我们就能够有,令y=u,2,u,=3x-2,则 从而 .结果与我们利用导数四则运算法则求得结果完全一致.,3/16,在书写时不要把 写成 ,二者是不完全一样,前者表示对自变量x求导,而后者是对中间变量 求导.,3.复合函数求导法则:,复合函数对自变量导数,等于已知函数对中间,变量导数,乘以中间变量对自变量导数.,法则能够推广到两个以上中间变量.,求复合函数导数,关键在于分清函数复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,普通地,假如所设中间变量可直接求导,就无须再选中间变量.,复合函数求导法则与导数四则运算法则要有机结合和综合利用.要经过求一些初等函数导数,逐步掌握复合函数求导法则.,4/16,三、例题选讲：,例1:求以下函数导数:,解:设y=u,5,u=2x+1,则:,解:设y=u,-4,u=1-3x,则:,解:设y=u,-4,u=1+v,2,v=sinx,则:,说明:在对法则利用熟练后,就无须再写中间步骤.,5/16,例2:求以下函数导数:(1)y=(2x,3,-x+1/x),4,;,解:,(3)y=tan,3,x;,解:,(2),解:,(4),解:,6/16,(5):y=sin,2,(2x+,/3),法一:,法二:,练习1:求以下函数导数:,答案:,7/16,例3:假如圆半径以2cm/s等速度增加,求圆半径R=,10cm时,圆面积增加速度.,解:由已知知:圆半径R=R(t),且 =2cm/s.,又圆面积S=,R,2,所以,=40,(cm),2,/s.,故圆面积增加速度为40,(cm),2,/s.,例4:在曲线 上求一点,使经过该点切线平行于,x轴,并求此切线方程.,解:设所求点为P(x,0,y,0,).则由导数几何意义知:,切线斜率,把x,0,=0代入曲线方程得:y,0,=1.,所以点P坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.,8/16,例5:求证双曲线C,1,:x,2,-y,2,=5与椭圆C,2,:4x,2,+9y,2,=72在交,点处切线相互垂直.,证:因为曲线图形关于坐标轴对称,故只需证实其中一,个交点处切线相互垂直即可.,联立两曲线方程解得第一象限交点为P(3,2),不妨,证实过P点两条切线相互垂直.,因为点P在第一象限,故由x,2,-y,2,=5得,同理由4x,2,+9y,2,=72得,因为k,1,k,2,=-1,所以两条切线相互垂直.从而命题成立.,9/16,例6:设f(x)可导,求以下函数导数:,(1)f(x,2,);(2)f();(3)f(sin,2,x)+f(cos,2,x),解:,说明:对于抽象函数求导,首先要从其形式是把握其,结构特征,另首先要充分利用复合关系求导法,则.,10/16,我们曾经利用导数定义证实过这么一个结论:,“可导偶函数导函数为奇函数;可导奇函数导函数为偶函数”.现在我们利用复合函数,导数重新加以证实:,证:当f(x)为,可导偶函数,时,则f(-x)=f(x).两边同时对x,求导得:,故 为,奇函数.,同理可证另一个命题.,我们还能够证实类似一个结论:,可导周期函数导函数也是周期函数.,证:设f(x)为,可导周期函数,T为其一个,周期,则对定义,域内每一个x,都有f(x+T)=f(x).,两边同时对x求导得:即,也是以T为,周期周期函数.,11/16,例7:求函数 导数.,说明:这是分段函数求导问题,先依据各段函数表示,式,求出在各可导(开)区间函数导数,然后再用,定义来讨论分段点可导性.,解:当x,1时,.,又 ,故f(x)在x=1处连续.,而,从而f(x)在x=1处不可导.,12/16,四、小结：,利用复合函数求导法则来求导数时,选择中间变,量是复合函数求导关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样次序复合而成,分清其间复合关系.要善于把一部分量、式子暂时看成一个整体,这个暂时整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中尤其要注意中间变量系数,求导后要把中间变量转换成自变量函数.,13/16,在上面例子中包括到了二次曲线在某点切线,问题,但在上面解法中回避了点在第二、三、四象限,情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点切线怎样求问题,因为它包括到隐函数求导问题.我们不便去过多去研究.,下面举一个例子使同学们了解一下求普通曲线在任意点切线方法.(说明:这个内容不属于考查范围.),例子:求椭圆 在点 处切线方程.,解:对椭圆方程两边分别求导(在此把y看成是关于x,函数)得:,于是所求切线方程为:,备用,14/16,利用上述方法可得圆锥曲线切线方程以下:,(1)过圆(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,上一点P,0,(x,0,y,0,)切线方程是:,(x,0,-a)(x-a)+(y,0,-b)(y-b)=r,2,.,(2)过椭圆 上一点P,0,(x,0,y,0,)切线方程是:,(2)过椭圆 上一点P,0,(x,0,y,0,)切线方程是:,(4)过抛物线y,2,=2px上一点P,0,(x,0,y,0,)切线方程是:y,0,y,=p(x+x,0,).,(3)过双曲线 上一点P,0,(x,0,y,0,)切线方程是:,15/16,证:设x有增量,x,则对应u,y分别有增量,u,y.,因为 在点x处可导,所以 在点x处连续.所以当,x,0,时,u,0.,当,u,0时,由 ,且 得:,当,u=0时,公式也成立.,上面证实其实不是一个很严格证实,而且中间还会有不少疑问,譬如,u=0时公式也成立,怎样去了解;,x,0时与,u,0时极限相等问题等等.所以同学们只要了解公式证实中基本思想和方法即可,无须过多去深究证实过程.因为实际上,还有更严格证实.,16/16,