高等数学同济大学上第3习题课.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、导数应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数应用,第,三,章,1/27,拉格朗日中值定理,一、微分中值定理及其应用,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/27,2.微分中值定理主要应用,(1)研究函数或导数性态,(2)证实恒等式或不等式,(3)证实相关中值问题结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3/27,3.相关中值问题解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数.,普通解题方法:,证实含一个中值等式或根存在,(2)若结论中包括到含中值两个不一样函数,(3)若结论中含两个或两个以上中值,可用原函数法找辅助函数.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,必须,屡次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意,适当,放大,或,缩小,技巧.,有时也可考虑,对导数用中值定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4/27,例1.,设函数,在,内可导,且,证实,在,内有界.,证:,取点,再取异于,点,对,为端点区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/27,例2.,设,在,内可导,且,证实最少存在一点,使,上连续,在,证:,问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/27,例3.,且,试证存在,证:,欲证,因,f,(,x,)在,a,b,上满足拉氏中值定理条件,故有,将,代入,化简得,故有,即要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/27,例4.,设实数,满足下述等式,证实方程,在(0,1)内最少有一,个实根.,证:,令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/27,例5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,f,(,x,)在03 上连续,在(0,3)内可导,且,分析:,所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点,c,使,证:,因,f,(,x,)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值,M,与最小值,m,故,由,介值定理,最少存在一点,由,罗尔定理,知,必存在,9/27,例6.,设函数,在,上二阶可导,且,证实,证:,由泰勒公式得,两式相减得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/27,二、导数应用,1.研究函数性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.处理最值问题,目标函数建立与简化,最值判别问题,3.其它应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关改变率;,证实不等式;,研究方程实根等.,4.补充定理,(见下页),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27,设函数,在,上含有,n,阶导数,且,则当,时,证:,令,则,利用,在,处,n,1 阶泰勒公式得,所以,时,定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12/27,连续性及导函数,例7.填空题,(1)设函数,其导数图形如图所表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调减区间为,;,极小值点为,;,极大值点为,.,提醒:,正负作,f,(,x,)示意图.,单调增区间为,;,13/27,.,在区间,上是凸弧;,拐点为,提醒:,正负作,f,(,x,)示意图.,形在区间,上是凹弧;,则函数,f,(,x,)图,(2),设函数,图形如图所表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/27,例8.,证实,在,上单调增加.,证:,令,在,x,x,+1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故当,x,0 时,从而,在,上单调增.,得,15/27,例9.,设,在,上可导,且,证实,f,(,x,),至多只有一个零点.,证:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点.,又因,所以,也,至多只有一个零点.,思索:,若题中,改为,其它不变时,怎样设辅助函数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/27,例10.,求数列,最大项.,证:,设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一极大点所以在,处,也取最大值.,又因,中最大项.,极大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,列表判别:,17/27,例11.,证实,证:,设,则,故,时,单调增加,从而,即,思索:,证实,时,怎样设辅助,函数更加好?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提醒:,18/27,例12.,设,且在,上,存在,且单调,递减,证实对一切,有,证:,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/27,例13.,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立.,20/27,例14.,证实当,x,0 时,证:,令,则,法1,由,在,处二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立.,与 1 之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,21/27,法2,列表判别:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22/27,法3,利用,极值第二判别法,.,故,也是最小值,所以当,时,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23/27,例15.,求,解法1,利用中值定理求极限,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24/27,解法2,利用泰勒公式,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25/27,解法,3,利用罗必塔法则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26/27,P180,5;7;8;10,(2),(3);,11,(1),;,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,27/27,