材料力学复习(3)-.ppt

复 习,单击此处编辑母版标题样式,*,材料力学总复习（三）,单元体应力分布,二向应力状态分析,解析法,三向应力状态分析,图解法,广义胡克定理,强度理论及其应用,重点内容：,1,、单元体的画法,掌握下列图中的,A,、,B,、,C,点的已知单元体。,P,P,A,A,s,x,s,x,M,P,x,y,z,B,C,t,zx,s,x,s,x,B,t,xz,t,x,y,t,yx,S,平面,2,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,1,x,1,x,1,x,2,x,2,2,2,3,3,3,a,l,S,F,x,z,y,4,3,2,1,z,y,4,3,2,1,F,S,M,z,T,1,2,y,x,z,z,y,4,3,2,1,F,S,M,z,T,x,z,y,4,3,2,1,3,s,x,t,xy,s,y,x,y,z,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,（,2,）三向到二向的等效,规定：,与截面外法线同向为正,；,t,a,绕研究对象顺时针转为正,；,a,逆时针为正。,3,、任意斜截面上的应力,图,1,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,s,y,t,xy,s,x,s,a,t,a,a,x,y,O,t,n,图,2,设：,斜截面面积为,S,，由分离体平衡得：,s,y,t,xy,s,x,s,a,t,a,a,x,y,O,t,n,同理：,任意角度横截面上的应力,极值应力,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,x,y,s,x,t,xy,s,y,O,正应力平面和切应力平面相差,45,度,（,3,）分析受扭构件的破坏规律。,M,C,解：,确定危险点并画其原,始单元体,求极值应力,t,x,y,C,t,yx,M,C,x,y,O,t,xy,t,yx,破坏分析,低碳钢,铸铁,建立应力坐标系，如下图所示，,（注意选好比例尺）,（,1,）二向应力圆的画法,在,坐标系内画出点,A,(,x,，,xy,),和,B,(,y,，,yx,),AB,与,s,a,轴的交点,C,便是圆心。,以,C,为圆心，以,AC,为半径画,圆,应力圆；,s,x,t,xy,s,y,x,y,O,n,s,a,t,a,a,O,s,a,t,a,C,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),x,2,a,n,D,(,s,a,t,a,),4,、二向应力圆的画法,s,x,t,xy,s,y,x,y,O,n,s,a,t,a,a,O,s,a,t,a,C,D,(,s,x,t,xy,),D,(,s,y,t,yx,),x,2,a,n,E,(,s,a,t,a,),（,2,）单元体与应力圆的对应关系,面上的,应力,(,，,),应力圆上一点,(,，,),两面夹角,两半径夹角,2,；,且转向一致,。,F,B,（,3,）应力圆上的极值应力,O,C,s,a,t,a,A,(,s,x,t,xy,),B,(,s,y,t,yx,),x,2,a,1,2,a,0,s,1,s,2s,3,1.,求单元体上任一,截面上的应力,2.,求主应力数值和主平面位置,3.,求最大切应力,s,1,s,2,x,y,z,s,3,（,1,）、三向应力状态（空间应力状态）,x,y,z,A,B,C,o,n,t,p,x,p,y,p,z,n,n,5,、三向应力状态研究,应力圆法,s,2,s,1,x,y,z,s,3,（,2,）三向应力分析,弹性理论证明，图,a,单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图,b,的应力圆上或阴影区内的一点。,图,a,整个单元体内的最大切应力为：,s,2,s,1,x,y,z,s,3,图,b,t,max,例：,单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位,.,解,:,该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力,z,无关,依据,x,截面和,y,截面上的应力画出应力圆,.,求另外两个,主应力,40MPa,x,y,z,20MPa,20MPa,20MPa,由,x,xy,定出,D,点,由,y,yx,定出,D,点,以,DD,为直径作应力圆,A,1,A,2,两点的横坐标分别代表另外两个主应力,1,和,3,A,1,A,2,D,O,D,C,1,3,1,=,46MPa,3,=,-26MPa,该单元体的三个主应力,1,=,46MPa,2,=,20MPa,3,=,-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,（,1,）各向同性材料的广义胡克定律,（,1,）,正应力,:,拉应力为正,压应力为负,1.,符号规定,(Sign convention),（,2,）,切应力,:,对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则,为正,;,反之为负,（,3,）,线应变,:,以伸长为正,缩短为负,;,（,4,）,切应变,:,使直角减者为正,增大者为负,.,x,x,y,z,y,xy,yx,z,6 广义,胡克定律,上式称为,广义胡克定律,（,Generalized Hookes law,）,沿,x,y,z,轴的线应变,在,xy,yz,zx,面上的角应变,（,2,）平面应力状态的广义胡克定理,（,假设,z,=0,xz,=0,yz,=0,）,x,y,z,xy,x,y,yx,x,y,xy,yx,（,3,）,.,主应力,-,主应变的关系,二向应力状态下,：,设,3,=0,已知,1,2,3,;,1,2,3,为主应变,（,4,）各向同性材料的体积应变,1,2,3,a,1,a,2,a,3,构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用,q,表示,.,各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的单元体,三个边长为,d,x,d,y,d,z,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,d,x,(1+,d,y,(1+,2,d,z,(1+,3,V,1,=,d,x,(1+,d,y,(1+,2,d,z,(1+,3,体积应变,（,volumetric strain为,.,纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变,.,.,三向等值应力单元体的体积应变,三个主应力为,单元体的体积应变,m,m,m,（,4,）体积应变引出的推论,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例,.,所以在三向等值应力,m,的作用下,单元体变形后的,形状和,变形前,的,相,似,称这样的,单元体,是形状不变的,.,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变,x,y,z,有关,仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关,.,2,3,1,图,a,7,复杂应力状态下的应变能密度,三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为：,用,v,d,表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为,畸变能密度,用,v,V,表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为,体积改变能密度,2,3,1,图,a,图,c,3,-,m,1,-,m,2,-,m,m,图,b,m,m,称为形状改变应变能密度或歪形能。,图,c,3,-,m,1,-,m,2,-,m,:,单元体的应变能密度为：,图,b,例：,用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的应变能密度为：,纯剪单元体主应力下应变能密度表示为：,txy,A,1,3,8,强度理论及其应用,轴向拉压,弯曲,剪切,扭转,弯曲,切应力强度条件,正应力强度条件,（,1,）简单强度校核,（,2,）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯,剪,试验测定试,件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的,试验结果建立的强度条件,.,上述强度条件具有如下特点,（,1,）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态,;,（,1,）脆性断裂,:,无明显的变形下突然断裂,.,屈服失效,材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力,.,2.,断裂失效,（,2,）韧性断裂,:,产生大量塑性变形后断裂,.,（,2,）材料的破坏形式,最大拉应力（第一强度）理论：,认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断裂。,1,）、破坏判据：,2,）、强度准则：,3,）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,（,3,）四个强度理论及其相当应力,最大伸长线应变（第二强度）理论：,认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断裂。,1,）、破坏判据：,2,）、强度准则：,3,）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,最大切应力（第三强度,Tresca,）理论,：,认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时构件就失效了。,1,）、破坏判据：,3,）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,2,）、强度准则：,畸变能密度（第四强度,Mises,）理论：,认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度当畸变能密度 达到单向拉伸试验屈服极限时，构件就失效了。,1,）、破坏判据：,2,）、强度准则,3,）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,（,5,）相当应力,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r,称为复杂应力状态的,相当应力,.,莫尔强度理论是由综合实验结果建立的，主要考虑了材料抗拉和抗压强度不相等的情况。,（,6,）莫尔强度理论,1,）、破坏判据：,3,）、实用范围：实用于破坏形式为屈服或断裂的构件。,2,）、强度准则：,（,7,）强度计算的步骤,（,1,）外力分析,:,确定所需的外力值,;,（,2,）内力分析,:,画内力图,确定可能的危险面,;,（,3,）应力分析,:,画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力,;,（,4,）强度分析,:,选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算,.,例,在钢材,Q235,制成的构件中的危险点处取应力状态如图所示。已知钢的,=170MPa,试校核强度。,解：,1,、计算主应力,根据应力状态，分别求出,MPa,MPa,MPa,3,、分析与讨论,根据第三强度理论。该构件安全,2,、强度理论选用,Q235,塑性材料，采用第三或第四强度理论校核,1.,外力分析,将外力,简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使,之每个力（或力偶）对应一种基本变形,3.,应力分析,画出危险截面的应力分布图,利用,叠加原理,将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件,8,处理组合变形的基本方法,2.,内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面,.,分,别,计算,在每一种基本变形下构件的应力和变形,=,+,+,=,+,9,拉,(,压,),与弯曲组合,一、受力特点,杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉,(,压,),力,还有横向力,二、变形特点,F,F,1产生弯曲变形,F,2,产生拉伸变形,F,y,F,x,F,y,产生弯曲变形,F,x,产生拉伸变形,F,1,F,2,F,2,示例,1,示例,2,三、内力分析,x,y,O,z,M,z,F,N,横截面上内力,2.,弯曲,1.,拉,(,压,),:,轴力,F,N,（,axial force,）,弯矩,M,z,（,bending moment,）,剪力,F,s,（,shear force,）,因为引起的切应力较小,故一般不考虑,.,F,S,1,、任意点的应力分析：,横截面上任意一点（,z,y,）处的正应力计算公式为：,四、应力分析,拉伸正应力,弯曲正应力,x,y,O,z,M,z,F,N,(,z,y,),综合正应力：,轴力图：,所以跨中截面是杆的危险截面,F,1,F,2,F,2,l,/2,l,/2,2.,危险点的应力分析,内力图：,弯矩图：,x,x,F,N,图,M,图,F,2,F,1,l,/4,危险截面的确定：,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为,计算危险点的应力,F,1,F,2,F,2,l,/2,l,/2,-,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立,杆件的抗拉和抗压强度条件,.,五、强度条件,由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为,:,例：,悬臂吊车如图所示,横梁用,20a,工字钢制成,.,其抗弯刚度,W,z,=237cm,3,横截面面积,A,=35.5cm,2,总荷载,F,=34kN,横梁材料的许用应力为,=125MPa.,校核横梁,AB,的强度,.,F,A,C,D,1.2m,1.2m,B,30,B,A,D,F,F,R,Ay,F,R,Ax,F,y,F,x,F,N,AB,30,解：,（,1,）分析,AB,的受力情况,AB,杆,为平面弯曲与,轴向,压缩组合变形,中间截面为危险截面,.,最大压应力发生在该,截面的上边缘,（,2,）,压缩正应力,（,3,）,最大弯曲正应力,（,4,）危险点的应力,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,B,A,D,F,F,R,Ay,F,R,Ax,F,y,F,x,F,N,AB,30,10,弯曲与扭转,研究对象,:,圆截面杆,受力特点,:,杆件同时承受转矩和横向力作用,变形特点,:,发生扭转和弯曲两种基本变形,l,a,A,B,C,F,一、内力分析,设一直径为,d,的等直圆杆,AB,B,端具有与,AB,成直角的刚臂,.,研究,AB,杆的内力,.,将力,F,向,AB,杆右端截面的形心,B,简化,得,横向力,F,（引起,平面弯曲,）,力偶矩,M,=,Fa,（引起,扭转,）,AB,杆为,弯曲,与,扭转,局面组合变形,B,A,F,M,x,l,a,A,B,C,F,画内力图确定危险截面,固定端,A,截面为危险截面,A,A,F,M,M,Fl,二、应力分析,危险截面上的危险点为,C,1,和,C,2,点最大扭转切应力,发生在截面,周边上的各点处,.,A,截面,C,3,C,4,C,2,C,1,危险截面上的最大弯曲正应力,发生在,C,1,、,C,2,处,对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的,.,可取任意点,C,1,来研究,.,C,1,点,处于平面应力状态,该点的单元体如图示,T,C,3,C,4,C,2,C,1,C,1,三、,强度分析,1.,主应力计算,C,1,2.,相当应力计算,第三强度理论,计算相当力,第四强度理论,计算相当应力,3.,强度校核,该公式适用于图示的平面应力状态,.,是危险点的正应力,是危险点的切应力,.,且横截面不限于圆形截面,讨 论,C,1,该公式适用于弯扭组合变形,;,拉（压）与扭转的组合变形,;,以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形,（,1,）,弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为,（,2,）对于圆形截面杆有,C,1,式中,W,为杆的抗弯截面系数,.,M,T,分别为危险截面的弯矩和扭矩,.,以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆,.,例,:,空心圆杆,AB,和,CD,杆焊接成整体结构,受力如图,.,AB,杆的外径,D,=140mm,内外径之比,=,d/D,=0.8,材料的许用应力,=,160MPa.,试用第三强度理论校核,AB,杆的强度,A,B,C,D,1.4m,0.6m,15kN,10kN,0.8m,A,B,F,e,解,:1,）外力分析,将力向,AB,杆的,B,截面形心简化得,AB,杆为,扭转和平面弯曲的组合变形,A,B,F,M,e,+,15kN,m,（,2,）内力分析画扭矩图和弯矩图,固定端截面为危险截面,-,20kN,m,解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：,斜弯曲,分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；,扭弯组合,分解为平面弯曲和扭转；,拉弯组合,分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲；,偏心拉压组合,单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，,-,双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。,总 结,组合变形的强度计算，可归纳为两类：,危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；,危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。,Thank You!,