第4讲随机数的生成及随机变量抽样市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,试验目标,试验内容,学习,主要随机变量抽样方法,1、均匀分布随机数产生,2、其它分布,随机数产生方法,3、随机数生成实例,4、,试验作业,随机数生成及随机变量抽样,第1页,随机数产生是实现,MC,计算先决条件。而大多数概率分布随机数产生都是基于均匀分布,U(0,1),随机数。,首先，介绍服从均匀分布,U(0,1),随机数产生方法。,其次，介绍服从其它各种分布随机数产生方法。,以及服从正态分布随机数产生方法。,随机数生成,第2页,产生均匀分布标准算法在很多高级计算机语言书都能够看到。算法简单，轻易实现。使用者能够自己手动编程实现。,Matlab,中也提供给我们用于产生均匀分布函数。我们重点是怎样经过均匀分布产生服从其它分布随机数。,均匀分布,U,(0,1),随机数产生,第3页,例1,生成1行10000列均匀分布,U,(0,1),随机 数；,并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,1,1,1000)；cdfplot(Randnum)；,第4页,基本方法有以下三种：,逆变换法,复合抽样方法,筛选法,随机数产生方法,第5页,设随机变量,X,分布函数为,F,(,x,),，定义,F,-1,(,y,)=inf,x,:,F,(,x,),y,0,y,1,定理,设随机变量,U,服从(0,1)上均匀分布，则,X,=,F,-1,(,U,),分布函数为,F,(,x,),。,所以，要产生来自,F,(,x,),随机数，只要先产生来自,U,(0,1),随机数，然后计算,F,-1,(,u,),即可。,其步骤为,逆变换法(直接抽样方法),第6页,对于任意离散型分布：,其中,x,1,，,x,2,，,为离散型分布函数跳跃点，,p,1,，,p,2,，,为对应概率。即一离散随机变量,X,，它可能取值分别为,x,1,，,x,2,，取这些值概率分别为,p,1,，,p,2,，。该随机变量,X,分布为,F,(,x,),。,1)离散型分布直接抽样方法,第7页,依据前述直接抽样法，即,即,=inf,x,:,F,(,x,),u,其中令,第8页,为了实现由任意离散型分布随机抽样，直接抽样方法是非常理想。,第9页,掷骰子点数,X,=,x,i,x,1,=,1,x,2,=,2,x,3,=,3,x,4,=,4,x,5,=,5,x,6,=,6，而且随机变量,X,取值,概率为：,按照离散分布直接抽样:(1)由,U,(0,1),抽取,u,选取均匀随机数,u,，如,则,例2.掷骰子点数抽样,第10页,等价于,例2.掷骰子点数抽样,因为,也可使用以下更简单方法,第11页,function discreterandom=liti41(mm),Random=unifrnd(0,1,1,mm);,for i=1:mm,if(floor(6*Random(1,i)=6*Random(1,i),Random(1,i)=6*Random(1,i);,else,Random(1,i)=floor(6*Random(1,i)+1;,end,end,cdfplot(Random),第12页,第13页,例3,生成1行1000列110上离散均匀分布随机数；,并画经验分布函数曲线。,生成1行1000列2130上离散均匀分布随机数；,并画经验分布函数曲线。,生成1行1000列501510上离散均匀分布随机数,。并画经验分布函数曲线。,function Random=liti42(mm),Random=unifrnd(0,1,1,mm);,for i=1:mm,if(floor(10*Random(1,i)=10*Random(1,i),Random(1,i)=10*Random(1,i);,else,Random(1,i)=floor(10*Random(1,i)+1;,end,end,cdfplot(liti42(1000),cdfplot(liti42(1000)+20),cdfplot(liti42(1000)+500),第14页,第15页,对于连续型分布，假如分布函数,F,(,x,),反函数,F,1,(,x,),能够解析表示，则直接抽样方法是：,2)连续型分布直接抽样方法,第16页,在a，b上均匀分布分布函数为：,则(1)由,U,(0,1),抽取,u,例4.在a，b上均匀分布抽样,第17页,指数分布为连续型分布，其普通形式以下：,其分布函数为：,则(1)由,U,(0,1),抽取,u,因为,1,u,也是(0,1)上均匀随机数，可将上式简化为,例5.,指数分布,第18页,Randnum=,（,-2,）*,log(unifrnd(0,1,1,1000);,cdfplot(Randnum),例6.,产生指数分布,随机数,第19页,第20页,例7,设,X,分布,函数为,F,(,x,)，,X,1,X,n,独立且与同分布，试,*设,X FX,(,x,),Y F,Y,(,y,),且相互独立,M=,max,X,Y,N=,min,X,Y,求,M,N,分布函数.,第21页,推广至相互独立,n,个随机变量情形：,相互独立，且,设,则,第22页,当,X,1,X,n,相互独立且含有相同分布函数,F,(,x,)时，有,F,M,(,z,)=,F,(,z,),n,F,N,(,z,)=1-1-,F,(,z,),n,第23页,需要指出是，当,X,1,X,n,相互独立且含有相同分布函数,F,(,x,)时,常,称,M=,max(,X,1,X,n,)，,N=,min(,X,1,X,n,),为极值.,因为一些灾害性自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布含有主要意义和实用价值.,第24页,例8,设系统,L,由相互独立,n,个元件组成，连,接方式为,串联；并联；,假如,n,个元件寿命分别为,且,求在以上 2 种组成方式下，系统,L,寿命,X,密度函数.,第25页,解:(1),第26页,(2),第27页,例9,设,X,i,分布,函数为,生成n=201行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,第28页,n=20,Randnum=1-(1-unifrnd(0,1,1,10000).(1/n);,cdfplot(Randnum),第29页,设,密度函数为,作业:,为常数,(n=2，期望=5)。,第30页,连续性分布函数直接抽样方法对于分布函数反函数轻易实现情况，使用起来是很方便。不过对于以下几个情况，直接抽样法是不适当。,分布函数无法用解析形式表示，因而无法给出反函数解析形式。,分布函数有解析形式，不过反函数解析形式给不出来。,反函数有解析形式，但运算量很大。,下面叙述抽样方法是能够克服这些困难比很好方法。,第31页,复合抽样方法基本思想是由kahn提出。,考虑以下复合分布：,复合抽样方法,其中,f,2,(,x,|,y,),为给定,Y,=,y,时,X,条件密度，,F,1,(,y,),为,Y,分布函数。,对于以上复合分布抽样方法为:首先从分布,F,1,(,y,),中抽样,Y,F,1,，然后再从密度函数,f,2,(,x,|,Y,F,1),中抽样确定,X,f,2,(,x,|,Y,F,),第32页,在实际问题中，经常有这么随机变量，它服从分布与某随机变量取值相关，而该随机变量服从一确定分布，比如，概率密度,这是一个复合分布。其中,f,n,(,x,),为与,n,相关概率密度，,p,n,0，,n,1，,且,设,Y,为一离散型随机变量，它可能取值为,1,2,n,，取这些值概率分别为,p,1,p,2,p,n,特殊复合分布,第33页,离散型随机变量,Y,分布函数为,f,n,(,x,),为给定,Y,=,n,时,X,条件密度。该复合分布,f,(,x,),抽样方法为:首先从离散分布,F,(,y,),中抽样,N,，然后再从密度函数,f,N,(x,),中抽样确定,X,f,N,。,第34页,假如,X,密度函数,f,(,x,),难于抽样，而,X,关于,Y,条件密度函数,f,2,(,x,|,y,),以及,Y,分布,F,1,(,y,),均易于抽样，则,X,随机数能够下产生：,能够证实由此得到,X,f,2,(,x,|,Y,F,),服从,f,(,x,),。,总之,第35页,设有,X,密度函数为：,它相当于：设,Y,为离散型随机变量，取1，2两个值，取1概率为0.3，取2概率为0.7。,当,Y,取1时，,X,条件密度函数为,f,(,x,|,Y,=1)=2,e,-2,x,x,0;,当,Y,取2时，,X,条件密度函数为,f,(,x,|,Y,=2)=e,-,x,x,0.,例10 混合分布抽样,第36页,分布密度函数：,抽样方法为：,首先从,Y,离散分布中抽样,N,，,N,=1,或,2。根,据,得,第37页,即,Y,为离散型随机变量，取1，2两个值，取1概率,为0.3，取2概率为0.7。,第38页,分布密度函数：,抽样方法为：,所以从,f,(,x,),抽样以下进行,从,U,(,0,1)中,抽取,u,第39页,画,f,(,x,)对应,分布函数图,ezplot(,F,(,x,),a,b),表示在axb绘制显函数,F,(,x,)函数图，其中,生成,10000个随机数，画经验分布函数，并,画分布函数曲线。,第40页,fu,nction liti43(mm),R=unifrnd(0,1,mm,1);R1=exprnd(0.5,mm,1);,R2=exprnd(1,mm,1);xR=zeros(mm,1);,for ii=1:mm,if R(ii,1)=0.3,xR(ii,1)=R1(ii,1);,else,xR(ii,1)=R2(ii,1);,end,end,cdfplot(xR);,hold on,ezplot(0.7*(1-exp(-x)+0.3*(1-exp(-2*x),0,10),hold off,第41页,Liti43(100),第42页,Liti43(1000),第43页,Liti43(10000),第44页,指数函数分布普通形式为,例11 指数函数分布抽样,则,使用复合抽样方法，抽取服从该分布样本.,引入以下两个密度函数：,第45页,对应分布函数为,使用复合抽样方法，首先从,f,1,(,y,),中抽取,y,从,U,(0,1),中抽取,u,令,第46页,生成10000个随机数，画经验分布函数，,n,=5。,指数分布,均值为1/,y,。,再由,f,2,(,x,|,y,f,1,),中抽取,x,f,第47页,function liti44(n,mm),R1=unifrnd(0,1,mm,1);,R2=unifrnd(0,1,mm,1);,x=zeros(mm,1);,y=1./R1.(1/n),x=-log(R2)./y,cdfplot(x),使用复合抽样方法，首先从,f,1,(,y,),中抽取,y,再由,f,2,(,x,|,y,f,1,),中抽取,X,function liti44(n,mm),R1=unifrnd(0,1,mm,1);,x=zeros(mm,1);,y=1./R1.(1/n);,x=exprnd(1./y);,cdfplot(x),第48页,Liti44(5,10000),第49页,定理,设,X,密度函数,f,(,x,),，且,f,(,x,)=c,h,(,x,),g,(,x,),，其中,0,g,(,x,),1,，,c,1,，,h,(,.,),是一个密度函数。令,U,和,Y,分别服从,U,0,1),和,h,(,y,),，则在,U,g,(,Y,),条件下，,Y,条件密度为,筛 选 抽 样,第50页,筛选抽样,假设我们要从,f,(,x,),抽样，假如能够将,f,(,x,),表示成,f,(,x,)=c,h,(,x,),g,(,x,),，其中,h,(,.,),是一个密度函数且易于抽,样，而,0,g,(,x,),1,，,c,1,是常数，则,X,抽样可如,下进行：,第51页,例12,令圆半径为,R,0,，该圆上点到圆心距离为,r,，,r,密度函数为,分布函数为,轻易知道，该分布直接抽样方法是,生成10000个随机数，画经验分布函数。,第52页,function liti15_1(R0,mm),R=unifrnd(0,1,mm,1);,x=R0*sqrt(R);,cdfplot(x),第53页,Liti15_1(3,10000),第54页,因为开方运算在计算机上很费时间，该方法不是好方法。下面使用筛选抽样方法：取,则抽样框图为,第55页,显然，没有必要舍弃,u,1,u,2,情况，此时，,只需取 就能够了，亦即,生成10000个随机数，画经验分布函数。,第56页,function liti15_2(R0,mm),R1=unifrnd(0,1,mm,1);R2=unifrnd(0,1,mm,1);,x=zeros(mm,1);,for ii=1:mm,if R1(ii,1)=R2(ii,1),x(ii,1)=R0*R2(ii,1);,else,x(ii,1)=R0*R1(ii,1);,end,end,cdfplot(x),第57页,Liti15_2(3,10000),第58页,例13,生成单位圆内均匀分布10000个随机数，并画散点图。,相当于-1，1,-1，1上均匀分布,。,第59页,例13,生成单位圆内均匀分布1行10000列随机数，,并,画散点图。,mm=10000；,xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);,ii=1;,while iimm,Randnum1=unifrnd(-1,1);,Randnum2=unifrnd(-1,1);,s=Randnum12+Randnum22；,if s=1;,xRandnum(1,ii)=Randnum1;,yRandnum(1,ii)=Randnum2;ii=ii+1;,end,end,plot(xRandnum,yRandnum,.),第60页,第61页,随机向量抽样有以下方法：,（1）,筛 选 抽 样法,定理,设,(,X,Y,),密度函数为,f,(,x,y,),，且,f,(,x,y,)=,ch,(,x,y,),g,(,x,y,),，,其中,0,g,(,x,y,),1,，,c,1,，,h,(,x,y,),是一个密度函数。令,U,和,Z,=(,X,h,Y,h,),分别服从,U,(0,1),和,h,(,x,y,),，则在,U,g,(,Z,),条,件下，,Z,条件密度为,随机向量抽样方法,第62页,假设我们要从,f,(,x,y,),抽样，假如能够将,f,(,x,y,),表,示成,f,(,x,y,)=c,h,(,x,y,),g,(,x,y,),，其中,h,(,.,),是一个密度函数,且易于抽样，而,0,g,(,x,y,),1,，,c,1,是常数，则,从,f,(,x,y,)中,抽样能够下进行：,筛 选 抽 样,第63页,若,X,Y,相互独立,分布函数分别为,F,X,(,x,),F,Y,(,y,),则从,F,X,(,x,),中抽样,x,从,F,Y,(,y,),中抽样y,得到二维随机变量(,X,Y,),抽样,(,x,y,).,分量,X,与,Y,相互独立时，随机向量,(,X,Y,),抽样,第64页,对于二维,随机向量,(,X,Y,),密度函数,f,(,x,y,),，,总能够将其表示以下,其中,f,l,(,x,)，,f,2,(,y,|,x,),分别为,X,边缘密度函数,和给定,X,=,x,条件下,Y,条件密度函数，即,按照条件分布，抽取随机向量,(,X,Y,),样本,第65页,依据上述边缘密度函数和条件密度函数，,二维,分布,f,(,x,y,),抽样方法为:,首先由,f,l,(,x,),中抽取,x,f,1,，再由,f,2,(,y,|,x,f,1,),中抽样,y,f,2,。(,x,f,1,y,f,2,)就是该二维分布一个抽样.,第66页,将,f,(,x,y,),写为,其中,用直接抽样方法分别从,f,l,(,x,),抽样,x,f,1,再从,f,2,(,y,|,x,f,1,),中抽样,y,f,2,，得到,例14,对,下面二维分布进行抽样,第67页,function liti16(mm),R1=unifrnd(0,1,mm,1);,R2=unifrnd(0,1,mm,1);,x=1./R1;y=-R1.*log(R2);,plot(x,y,.);,axis(0.0 10 0 10),hold on,hold off,第68页,liti16(1000),第69页,球内均匀分布抽样,设球壳内半径为,R,0,，外半径为,R,1,，点到球心距离为,r,，则,r,分布密度函数为,分布函数为,该分布直接抽样方法是,作业1:,第70页,为防止开立方根运算，作变换：,则,x,0,1，其分布密度函数为：,其中,生成10000个随机数，并画散点图。,第71页,2.生成单位球内均匀分布1行10000列随机数，并画散点图。,第72页,