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对两个重要极限的重要性的认识

摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。

关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用
1. 绪论
两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和

时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明
两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：
证明：作单位圆，如图1：
图1
设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即 ，

（因为，所以上不等式不改变方向）
当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切，有。
又因为，
所以
而 ，证毕。

2.2第二个重要极限：
先考虑取正整数时的情形：
对于，有不等式：，
即：，
即：
（i）现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列，记作{}。
（ii）又令，
所以 ，
即对， 又对
所以{}是有界的。
由单调有界定理知 存在，并使用来表示，
即

3.两个重要极限在微分学中的重要性
在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：
幂函数(),
指数函数，
对数函数()，
三角函数y=sin x, y=cos x，y=tan x, y=cot x,
反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx。
由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x处的导数 ，就是计算极限
（3.1）
当这一极限存在时，其值就是 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。
关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函数的求导，要利用二项式定理和导数定义便求得。对于第二类函数的求导，需要利用到 这个重要极限。对于第三类函数的求导，需要利用到
这个极限。

下面来看一看基本求导公式是如何得来的。
3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用
以正弦函数sin x的求导公式的推导为例.由导数的定义

其中应用了第一个重要极限，即（令）。
求得(sin x)’=后，其余的三角函数和反三角函数的导数公式就可以利用多个求导法则得到了。
3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用
其次，再看看对数函数logx的求导公式的推导过程。由导数定义

其中应用了第二个重要极限，即（令）。
求得了以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了。

可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不可能得出。两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，经过有限的四则运算复合得到。因此，从这两类函数的导数出发，利用函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就能求得全部初等函数的导数。再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分。可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要。

4.两个重要极限在计算中的应用
4.1两个重要极限在一元极限中的应用
第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限。若分子分母分别求极限便
得 这一不定的结果，因此称这一类型的极限为 型未定式。类似地，第二个重要极限是属于型未定式。
综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的 型未定式和
型未定式，我们都可不妨用两个重要极限来试试，看能否求出它的结果，以下举例来说明如何应用这两个重要极限于极限运算中的。

例1 求．
解:　=．
例2 求．
解:　=
　　　　　　=．
例3 求．
解:　令－=t，则x=－．
当x®¥时t®0，
于是　　　==e –2．
例4 求．
解:　令=1+u，则x=2－．
当x®¥时u®0，
于是　　　=
==e -1．
例5 求．
解:　设t=tanx，则＝cotx．
当x®0时t®0，
于是　　　==e．

4.2两个重要极限在二元函数极限中的应用
4.2.1重要极限的应用
极限是一元函数第一个重要极限的推广，其中，
时，，把看作新变量，考虑极限过程
。
例1 求极限
解：

极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形。
我们设，定义域是。
再设
定义域显然有。
可以看到，从函数到定义域变小了，但，分别在各自的定义域D与内，当时，可以证明极限都是存在的，证明如下：
（1）以下是对在定义域内极限的证明。因为当时，有：

所以由夹逼准则得 =0
(2)对在定义域内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，并且其值易算得为0.
既然在定义域内极限存在，那么极限必唯一。我们可以在D内任找的方式来计算出极限值。由D与的关系（），知道在中两函数相等，所以在求极限找的方式时，我们可以在中找，显然，两函数的极限是相等的。
，
但是，
=是成立的。
所以在时，两函数的极限是相等的。同理可以计算下面例子。
例2 求极限
解：。
在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：

同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用。

例3 求极限
解：==0
例4 求极限
解：=

4.2.2 重要极限
极限是一元函数中第二个重要极限的推广。下面举例说明它的应用。
例5 求极限

解：=
=

对于二元函数极限的运算方法除了利用两个重要极限以外，还有多种方法，比如利用不等式，使用夹逼准则；利用初等函数的连续性及极限的运算法则；同时还可以用路径的方法判断极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来解决二元函数的极限问题。本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个常见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以便更好的解决二元函数的极限问题。
5.总结
关于两个重要极限的公式本身十分简单， 但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并解决问题的办法. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入理解和掌握了这一思想, 才会深刻理解和学习。
著名日本科学家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年可能就忘了, 唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益。这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识。

个人工作业务总结
本人于2009年7月进入新疆中正鑫磊地矿技术服务有限公司(前身为“西安中正矿业信息咨询有限公司”)，主要从事测量技术工作，至今已有三年。
在这宝贵的三年时间里，我边工作、边学习测绘相专业书籍，遇到不懂得问题积极的请教工程师们，在他们耐心的教授和指导下，我的专业知识水平得到了很到的提高，并在实地测量工作中加以运用、总结，不断的提高自己的专业技术水平。同时积极的参与技术培训学习，加速自身知识的不断更新和自身素质的提高。努力使自己成为一名合格的测绘技术人员。
在这三年中，在公司各领导及同事的帮助带领下，按照岗位职责要求和行为规范，努力做好本职工作，认真完成了领导所交给的各项工作，在思想觉悟及工作能力方面有了很大的提高。
在思想上积极向上，能够认真贯彻党的基本方针政策，积极学习政治理论，坚持四项基本原则，遵纪守法，爱岗敬业，具有强烈的责任感和事业心。积极主动学习专业知识，工作态度端正，认真负责，具有良好的思想政治素质、思想品质和职业道德。
在工作态度方面，勤奋敬业，热爱本职工作，能够正确认真的对待每一项工作，能够主动寻找自己的不足并及时学习补充，始终保持严谨认真的工作态度和一丝不苟的工作作风。
在公司领导的关怀以及同事们的支持和帮助下，我迅速的完成了职业角色的转变。
一、回顾这四年来的职业生涯，我主要做了以下工作：
1、参与了新疆库车县新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿的野外测绘和放线工作、点之记的编写工作、1:2000地形地质图修测、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，提交成果《新疆库车县胡同布拉克石灰岩矿普查报告》已通过评审。
2、参与了库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估项目的室内地质资料编写工作，提交成果为《库车县城北水厂建设项目用地压覆矿产资源评估报告》，现已通过评审。
3、参与了《新疆库车县巴西克其克盐矿普查》项目的野外地质勘查工作，参与项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘查线剖面测量、测绘内业资料的编写工作；最终提交的《新疆库车县康村盐矿普查报告》已通过评审。
4、参与了新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量监测工作，项目包括：野外地质测量与室内地质资料的编写，提交成果为《新疆哈密市南坡子泉金矿2009年度矿山储量年报》，现已通过评审。
6、参与了《新疆博乐市五台石灰岩矿9号矿区勘探》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，并绘制相应图件。
7、参与了《新疆博乐市托特克斜花岗岩矿详查报告》项目的野外地质勘查工作，项目包括：1:2000地质测图、1:1000勘探剖面测量、测绘内业资料的编写工作，并绘制相应图件。
通过以上的这些工作，我学习并具备了以下工作能力：
1、通过实习，对测绘这门学科的研究内容及实际意义有了系统的认识。加深对测量学基本理论的理解，能够用有关理论指导作业实践，做到理论与实践相统一，提高分析问题、解决问题的能力，从而对测量学的基本内容得到一次实际应用，使所学知识进一步巩固、深化。
2、熟悉了三、四等控制测量的作业程序及施测方法，并掌握了全站仪、静态GPS、RTK等测量仪器的工作原理和操作方法。
3、掌握了GPS控制测量内业解算软件（南方测绘 Gps数据处理）以及内业成图软件（南方cass）的操作应用。能够将外业测量的数据导入软件进行地形图成图和处理。
4、在项目技术负责的指导下熟悉了测量技术总结的编写要求和方法，并参与了部分项目测量技术总结章节的编写工作。
5、在项目负责的领导下参与整个测量项目的组织运作，对项目的实施过程有了深刻理解。通过在项目组的实习锻炼了自己的组织协调能力，为以后的工作打下了坚实基础。
二、工作中尚存在的问题
从事测绘工作以来，深深感受到工作的繁忙、责任的重大，也因此没能全方位地进行系统地学习实践，主要表现为没有足够的经验，对于地形复杂的地段理解不够深刻；理论知识掌握不够系统，实践能力尚为有限。以上问题，在今后工作中自己将努力做到更好。
三、今后的工作打算
通过总结四年来的工作，我无论从工作技术上，还是从世界观、人生观、价值观等各个方面，都有了很大的提高。今后，我会在此基础上，刻苦钻研，再接再厉，使自己在业务知识水平更上一层楼，为测绘事业的发展，贡献自己的力量。

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