多维随机变量及其分布市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 多维随机变量及其分布,第1页,第三章 多维随机变量及其分布,在实际问题中,一个随机试验往往用几个随机变量整体地讨论其结果,.,如射击时考虑子弹在靶标上位置,我们用定义在同一个样本空间,S,上两个随机变量,X,和,Y,分别表示子弹在靶标上横坐标与纵坐标,则子弹在靶标上位置可用二维随机变量或二维随机向量（,X,，,Y,）表示,.,第2页,普通，设随机试验,E,样本空间为,S=e,X=X(e),和,Y=Y(e),分别是定义在同一个样本空间,S,上随机变量，我们称向量（,X,，,Y,）为二维随机变量或二维随机向量。类似能够定义三维随机变量以及任意有限维随机变量。我们把二维及二维以上随机变量称为多维随机变量。本章主要讨论二维随机变量，其结果只要形式上加以处理，就能够推广到三维或三维以上随机变量。,第3页,1,二维离散型随机变量,1.1,二维离散型随机变量及联合分布律,第4页,二维离散型随机向量,(X,Y),分布律表,第5页,解,(X,Y),可能取值为,(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则,(X,Y),联合分布律为,第6页,1.2,二维离散型随机变量联合分布律性质,性质,1,性质,2,证,第7页,证,第8页,解,PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i),(ij),于是,(X,Y),分布律为,第9页,1.3,二维随机变量联合分布函数,第10页,设二维离散型随机变量,X,和,Y,含有分布律,PX=x,i,Y=y,j,=p,ij,(i,j=1,2,.),，,则二维离散型随机变量,(X,Y),联合分布函数为,其中和式是对一切满足,x,i,x,y,j,y,来求和,.,第11页,(x,1,y,1,),(x,1,y,2,),(x,2,y,2,),(x,2,y,1,),o,x,y,第12页,1.4,二维随机变量联合分布函数性质,性质,1,F,(,x,y,),分别关于,x,和,y,单调不减,.,证,对任意,因为,所以,即,同理可证,对任意,有,第13页,性质,3,F,(,x,y,),分别关于,x,和,y,右连续,.,第14页,1.5,二维连续型随机变量,第15页,第16页,解,(1),由,得,所以,k,=6,(2),第17页,解,由,则,当,x,1,y,1,时,所以,(X,Y),联合分布函数,第18页,例,:,设二维随机向量,(X,Y),含有概率密度,(1),求分布函数,F(x,y);(2),求概率,PYX.,解,:(1),(2),将,(X,Y),看着平面上随机点坐标,.G,是,xoy,平面上直线,y=x,下方部分,.,第19页,关于二维随机向量讨论,能够推广到,n(n2),维随机向量情况,.,设,(X,1,X,2,X,n,),为,n,维随机向量,对于任意,n,个实数,x,1,x,2,x,n,n,元函数,F(x,1,x,2,x,n,)=PX,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,称为,n,维随机向量,(X,1,X,2,X,n,),分布函数或随机变量,X,1,X,2,X,n,联合分布函数,.,它含有类似于二维随机向量分布函数性质,.,第20页,21,例题：已知随机变量,X,和,Y,联合概率密度为,求（,X,，,Y,）联合分布函数,第21页,1.6,惯用二维连续型随机变量,第22页,p67,第23页,第24页,2,边缘分布,第25页,2.1,边缘分布函数,第26页,边缘分布函数完全由联合分布函数确定,.,第27页,解,(X,Y),关于,X,边缘分布函数,第28页,解,(X,Y),关于,Y,边缘分布函数,第29页,2.2,边缘分布律,第30页,(1)(X,Y),关于,X,边缘分布律,(2)(X,Y),关于,Y,边缘分布律,第31页,第32页,解,PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij),于是,(X,Y),分布律及关于,X,和,Y,边缘分布律为,第33页,例,:,把,3,个白球和,3,个红球等可能地放入编号为,1,2,3,三个盒子中,.,记落入第,1,号盒子白球个数为,X,落入第,2,号盒子红球个数为,Y.,求,(XY),分布律和关于,X,和,Y,边缘分布律,.,解,显然有,又因为事件,X=i,与事件,Y=j,相互独立,所以有,第34页,用表格可以下表示,第35页,例：已知,(X,Y),联合分布律以下，且知,X,与,Y,相互独立，请将表格填写完整。,Y=y1,Y=y1,Y=y1,Pi.,X=x1,1/8,X=x1,1/8,P.j,1/6,1,第36页,2.3,边缘密度函数,边缘密度函数完全由联合密度函数所决定,.,第37页,设连续型二维随机变量,(X,Y),概率密度函数为,f(x,y),则,从而得到,X,和,Y,概率密度函数分别为,第38页,例,:,设随机变量,X,和,Y,含有联合概率密度,求边缘概率密度,f,X,(x),和,f,Y,(y).,解,第39页,第40页,解,（,X,，,Y,）联合密度函数,则（,X,，,Y,）关于,X,边缘密度函数,（,X,，,Y,）关于,Y,边缘密度函数,第41页,（,1,）（,X,Y,）关于,X,边缘密度函数,（,2,）（,X,，,Y,）关于,Y,边缘密度函数,第42页,3,条件分布,条件分布是条件概率推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量条件分布律和关于二维连续型随机变量条件密度函数.,第43页,3.1,条件分布律,第44页,第45页,第46页,则在,X=3,条件下,Y,条件分布律,其中如,同理在,Y=1,条件下,X,条件分布律,第47页,3.2,条件密度函数,第48页,第49页,第50页,例：设数,X,在区间,(0,1),上随机地取值，当观察到,X=x(0 x0,）,第69页,定理表明：,相互独立且都服从正态分布随机变量线性组合也服从正态分布,.,第70页,5.2,、分布,设,(X,Y),为二维连续型随机变量，它含有概率密度,f(x,y),则 、仍为连续型随机变量，其概率密度分布为：,第71页,若,X,与,Y,相互独立，设（,X,Y),关于,X,Y,边缘概率密度分布为 ，则上两式可化为：,5.2,、分布,第72页,5.3 Z,1,=maxX,Y,和,Z,2,=minX,Y,分布,解,即,Z,1,=maxX,Y,分布函数为,第73页,解,即,Z,2,=minX,Y,分布函数为,第74页,第75页,解,系统寿命,Z=minX,Y,(1),求,Z,分布函数,当,z0,时,第76页,(2),求,Z,密度函数,因为,X,与,Y,都服从,U(0,1000),则,所以,第77页,例,:,设系统,L,由两个相互独立子系统,L,1,，,L,2,联接而成，联接方式分别为（,1,）串联；（,2,）并联；（,3,）备用（当系统,L,1,损坏时，系统,L,2,开始工作）,.,设,L,1,，,L,2,寿命,X,和,Y,概率密度分别为,其中,0,0,且,.,试分别就以上三种联接方式写出,L,寿命,Z,概率密度,.,第78页,解,X,和,Y,分布函数分别为,因为当,L,1,，,L,2,中有一个损坏时,系统,L,就停顿工作,所以这时,L,寿命为,Z=minX,Y,其分布函数为,于是,Z=minX,Y,概率密度为,（,1,）串联情况,:,第79页,(2),并联情况,:,因为当且仅当,L,1,，,L,2,都损坏时,系统,L,才停顿工作,所以这时,L,寿命为,Z=maxX,Y,其分布函数为,于是,Z=maxX,Y,概率密度为,第80页,(3),备用情况,:,因为这时只有当,L,1,损坏时,L,2,才开始工作,所以整个系统,L,寿命为,Z=X+Y,于是，当,z0,时，,Z=X+Y,概率密度为,当,z0,时，,f,X+Y,(z)=0.,于是概率密度为,第81页,