高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示省公开课一等奖新名师优质课获奖.pptx

第三章,3.2,空间向量在立体几何中应用,3.2.2,平面法向量与平面向量表示,第1页,学习目标,1.,了解平面法向量概念，会求平面法向量,.,2.,会用平面法向量证实平面与平面平行、垂直,.,3.,了解并会应用三垂线定理及其逆定理，证实相关垂直问题,.,第2页,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,第3页,问题导学,第4页,知识点一平面法向量,思索,平面法向量有何作用？是否唯一？,平面法向量与空间一点能够确定一个平面，利用平面法向量能够判断直线与平面、平面与平面位置关系,.,平面法向量不唯一，它们都是共线,.,答案,第5页,梳理,平面法向量,已知平面,，假如,，则向量,n,叫做平面,法向量或说向量,n,与平面,正交,.,向量,n,基线与平面,垂直,第6页,知识点二平面向量表示,设,A,是空间任一点，,n,为空间内任一非零向量，则适合条件,点,M,集合组成图形是过空间内一点,A,而且与,n,垂直平面,.,这个式子称为一个平面向量表示式,.,第7页,知识点三两平面平行或垂直判定及三垂线定理,1,.,两平面平行或垂直判定方法,设,n,1,，,n,2,分别是平面,，,法向量，则轻易得到,或,与,重合,；,.,2,.,三垂线定理,假如在平面内一条直线与平面一条斜线在这个平面内射影垂直，则它也和这条斜线垂直,.,n,1,n,2,n,1,n,2,0,n,1,n,2,第8页,题型探究,第9页类型一求平面法向量,例,1,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为矩形，,PA,平面,ABCD,，,E,为,PD,中点,.,AB,AP,1,，,AD,，试建立恰当空间直角坐标系，求平面,ACE,一个法向量,.,解答,第10页,因为,PA,平面,ABCD,，底面,ABCD,为矩形，所以,AB,，,AD,，,AP,两两垂直,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,ACE,法向量，,第11页,第12页,引申探究,若本例条件不变，试求直线,PC,一个方向向量和平面,PCD,一个法向量,.,解答,第13页,设平面,PCD,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),.,第14页,利用待定系数法求平面法向量步骤,(1),设向量：设平面法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),.,反思与感悟,第15页,(5),赋非零值：取其中一个为非零值,(,常取,1),.,(6),得结论：得到平面一个法向量,.,第16页,跟踪训练,1,如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,是矩形,.,平面,PAB,平面,ABCD,，,PAB,是边长为,1,正三角形，,ABCD,是菱形,.,ABC,60,，,E,是,PC,中点，,F,是,AB,中点，试建立恰当空间直角坐标系，求平面,DEF,法向量,.,解答,第17页,因为,PA,PB,，,F,为,AB,中点，所以,PF,AB,，,又因为平面,PAB,平面,ABCD,，平面,PAB,平面,ABCD,AB,，,PF,平面,PAB,.,所以,PF,平面,ABCD,，因为,AB,BC,，,ABC,60,，,所以,ABC,是等边三角形，所以,CF,AB,.,以,F,为坐标原点，建立空间直角坐标系,(,如图所表示,),.,第18页,设平面,DEF,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),.,第19页,类型二利用空间向量证实平行问题,例,2,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,棱长为,2,，,E,，,F,分别是,BB,1,，,DD,1,中点，求证：,(1),FC,1,平面,ADE,；,证实,第20页,设,n,1,(,x,1,y,1,，,z,1,),是平面,ADE,法向量，,建立如图所表示空间直角坐标系,Dxyz,，则有,D,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,C,(0,2,0),，,C,1,(0,2,2),，,E,(2,2,1),，,F,(0,0,1),，,B,1,(2,2,2),，,第21页,令,z,1,2,，则,y,1,1,，所以,n,1,(0,，,1,2),.,又因为,FC,1,平面,ADE,，所以,FC,1,平面,ADE,.,第22页,令,z,2,2,，得,y,2,1,，所以,n,2,(0,，,1,2),，,因为,n,1,n,2,，所以平面,ADE,平面,B,1,C,1,F,.,(2),平面,ADE,平面,B,1,C,1,F,.,证实,第23页,反思与感悟,利用向量证实平行问题，能够先建立空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面法向量，然后依据向量之间关系证实平行问题,.,第24页,跟踪训练,2,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，,PA,平面,ABCD,，,PB,与底面所成角为,45,，底面,ABCD,为直角梯形，,ABC,BAD,90,，,PA,BC,AD,1,，问在棱,PD,上是否存在一点,E,，使,CE,平面,PAB,？若存在，求出,E,点位置；若不存在，请说明理由,.,解答,第25页,分别以,AB,，,AD,，,AP,为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，,P,(0,0,1),，,C,(1,1,0),，,D,(0,2,0),，,第26页,存在,E,点，当点,E,为,PD,中点时，,CE,平面,PAB,.,第27页,类型三三垂线定理及应用,例,3,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,为底面,ABCD,中心，,E,为,CC,1,中点,.,求证：,EO,平面,A,1,DB,.,证实,第28页,方法一取,F,、,G,分别为,DD,1,和,AD,中点，,连接,EF,、,FG,、,GO,、,AC,.,由正方体性质知,FG,为,EO,在平面,ADD,1,A,1,内射影,.,又,A,1,D,FG,，,A,1,D,EO,(,三垂线定理,),.,又,AC,BD,，,CO,为,EO,在平面,ABCD,内射影，,EO,BD,(,三垂线定理,),.,又,A,1,D,BD,D,，,EO,平面,A,1,DB,.,方法二连接,AC,、,A,1,O,、,A,1,E,，,A,1,C,1,，设正方体棱长为,2,，,由方法一已证,BD,OE,，,第29页,第30页,反思与感悟,利用三垂线定理及其逆定理证实线线垂直是一个惯用方法，其基本步骤有三个,.,第31页,跟踪训练,3,如图，已知,PO,平面,ABC,，且,O,为,ABC,垂心，求证：,AB,PC,.,证实,PO,平面,ABC,，,O,为垂足，,PC,在平面,ABC,内射影为,OC,.,又,O,为,ABC,垂心，,AB,OC,.,据三垂线定理得,AB,PC,.,第32页,当堂训练,第33页,1,.,若直线,l,，且,l,方向向量为,(2,，,m,1),，平面,法向量为,，,则,m,为,A,.,4 B,.,6 C,.,8 D,.,8,答案,解析,2,3,4,5,1,第34页,2,.,若两个不一样平面,，,法向量分别为,u,(1,2,，,1),，,v,(,3,，,6,3),，则,A,.,B,.,C,.,，,相交但不垂直,D,.,以上均不正确,v,3,u,，,v,u,.,故,.,2,3,4,5,1,答案,解析,第35页,2,3,4,5,1,3,.,若,a,(1,2,3),是平面,一个法向量，则以下向量中能作为平面,法向量是,A,.,(0,1,2)B,.,(3,6,9),C,.,(,1,，,2,3)D,.,(3,6,8),向量,(1,2,3),与向量,(3,6,9),共线,.,答案,解析,第36页,2,3,4,5,1,答案,解析,第37页,2,3,4,5,1,5,.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，平面,ACD,1,一个法向量为,_,_.,(1,1,1),(,答案,不唯一,),答案,解析,第38页,2,3,4,5,1,不妨设正方体棱长为,1,，建立空间直角坐标系,(,如图,),，则各点坐标为,A,(1,0,0),，,C,(0,1,0),，,D,1,(0,0,1),，,设平面,ACD,1,一个法向量为,a,(,x,，,y,，,z,),，,第39页,规律与方法,1,.,使用方法向量来处理平面与平面关系问题，思绪清楚，无须考虑图形位置关系，只需经过向量运算，就可得到要证实结果,.,2,.,利用三垂线定理证实线线垂直，需先找到平面一条垂线，有了垂线，才能作出斜线射影，同时要注意定理中,“,平面内一条直线,”,这一条件，忽略这一条件，就会产生错误结果,.,第40页,本课结束,第41页,