放映《矩阵论及其应用》§2线性变换及其矩阵表示.pptx

2,线性变换及其矩阵表示,一、线性变换定义,二、线性变换矩阵表示,三、线性变换与矩阵对应关系,四、不一样基偶下矩阵关系,五、线性变换核和值域,六、不变子空间,七、线性变换特征值和特征向量,八、线性变换可对角化定理,1/54,问,什么叫变换？,映射：,一元函数,：,二元函数,：,映射：,称空间 到空间 上映射 为 变换。,按照某种法则,存在唯一 与之对应,则记为,像,原像,一、线性变换定义,2/54,线性变换,则称 为,线性变换,。,定义,1,设 为线性空间,若,映射,满足：,有,一、线性变换定义,3/54,例,1,在线性空间 中定义变换,则 是 线性变换。,？,例,2,给定 ，则有,由矩阵运算法则可知 是 线性变换。,微分变换,矩阵变换,例,3,两个特殊线性变换：,单位变换,，,零变换,一、线性变换定义,4/54,线性变换简单性质,：,也线性相关。,若 线性相关，则,问,是否也线性无关,？,若 线性无关，问,一、线性变换定义,5/54,线性变换矩阵表示,设 是 一个基,则 可由 唯一线性表出：,是 一个基,是 线性变换,称 为 在基偶 下,矩阵,。,二、线性变换矩阵表示,6/54,线性变换矩阵表示,二、线性变换矩阵表示,7/54,例,4,设 线性变换 定义为：,试求 在基,下矩阵。,二、线性变换矩阵表示,8/54,例,4,设 线性变换 定义为：,试求 在基,下矩阵。,解,故 在基下矩阵为,？,二、线性变换矩阵表示,9/54,，设 在 下坐标为 ，即,故像 在基 下坐标为,则,假如分别取定 基,二、线性变换矩阵表示,10/54,首先，假如分别取定 基,问：,任给定 阶矩阵,A,，是否存在唯一线性变换,T,，使,T,在 下矩阵为,A,？,由以上分析可知,：,必存在基偶矩阵 使得,表示 线性变换全体,三、线性变换与矩阵对应关系,11/54,三、线性变换与矩阵对应关系,12/54,三、线性变换与矩阵对应关系,13/54,三、线性变换与矩阵对应关系,14/54,三、线性变换与矩阵对应关系,15/54,三、线性变换与矩阵对应关系,可见：线性变换特征完全由基偶矩阵刻画，故对,线性变换研究可转为对基偶矩阵研究。,16/54,设 是 两个基，是 两个基,在基偶 下有,在基偶 下有,问,两个基偶矩阵 有什么关系？,四、不一样基偶下矩阵关系,17/54,，则,设 是 两个基，是 两个基,设基过渡矩阵为 ：,在基偶 下有,在基偶 下有,因为 是基，故,故线性变换在不一样基偶下矩阵是相互等价。,四、不一样基偶下矩阵关系,18/54,设 是,到本身线性变换，,是,两个基,在基 矩阵为 ，即,在基 矩阵为 ，即,问,两个基下矩阵 有什么关系？,四、不一样基偶下矩阵关系,19/54,设 是,到本身线性变换，,是,两个基,在基 矩阵为 ，即,在基 矩阵为 ，即,设有基变换矩阵,令,，则有于是,线性空间到本身线性变换在不一样基下矩阵是相同,四、不一样基偶下矩阵关系,20/54,即 与 等价,线性变换,即 与 相同,到本身线性变换,四、不一样基偶下矩阵关系,21/54,四、不一样基偶下矩阵关系,22/54,四、不一样基偶下矩阵关系,23/54,类似地定义,设 在基偶 下矩阵为,即,零空间、列空间分别为,称 为,零空间,(,核,),为,值空间,(,值域,),。,五、线性变换核和值域,定义,称 为,零度,，,为,秩。,24/54,五、线性变换核和值域,25/54,五、线性变换核和值域,26/54,五、线性变换核和值域,27/54,五、线性变换核和值域,28/54,五、线性变换核和值域,29/54,五、线性变换核和值域,30/54,五、线性变换核和值域,31/54,设,线性变换矩阵表示,最简形式,问题,怎样,求,基偶 ，,使得 在,下,矩阵,有最简单,形式,？,(,标准型,),五、线性变换核和值域,32/54,五、线性变换核和值域,33/54,则 在基 下矩阵为,设,线性变换矩阵表示化简,问题,怎样求基 ，使得 在 下矩阵有较简单形式？,分析,：,任取 一个基 ，且,若将方阵 相同化简为 ，即,考虑两种简单形式矩阵：分块对角阵,对角矩阵,？,六、不变子空间,34/54,定义,2,设 ，是 子空间，若 有 ，则称 是 不变子空间，记为,例,7,，记 核与值域分别为,则 均是 不变子空间。,证,，即有,又 ，有,六、不变子空间,35/54,定义,2,设 ，是 子空间，若 有 ，则称 是 不变子空间，记为,例,7,，记 核与值域分别为,则 均是 不变子空间。,证,显然。,例,8,设 ，则,是 不变子空间,，则有,，从而,即 是 不变子空间。,六、不变子空间,36/54,证,均是 不变子空间,.(,其中 是 阶方阵,),故 是 不变子空间,定理,设,是,基,则 在 下矩阵是分块对角阵,充要条件是,记,则,六、不变子空间,37/54,证,定理,设,是,基,则 在 下矩阵是分块对角阵,充要条件是,是 不变子空间,故存在 阶方阵 使得,均是 不变子空间,.(,其中 是 阶方阵,),六、不变子空间,38/54,解,故 在 下矩阵为,例,9,设,定义变换,试求线性变换 不变子空间及 在基 下矩阵。,两个不变子空间是,六、不变子空间,39/54,推论,设 是,基,则 在 下矩阵是对角阵,充要条件是存在数 使得,七、线性变换特征值和特征向量,40/54,定义,4,设,若存在数,及 使得,则称 是 特征值,是对应特征向量。,七、线性变换特征值和特征向量,定义,3,设,若存在基,使得 在 下矩阵 是对角阵,则称 可对角化。,注：,特征向量不唯一,.,41/54,分析,设 是 特征值,是对应特征向量,即,问,怎样求 特征值与特征向量？,任取 一个基,在,下矩阵为,即,记,，则,故,是 特征值 是 特征值,是 特征向量 是 特征向量,七、线性变换特征值和特征向量,42/54,问,是否与基 选取相关？,七、线性变换特征值和特征向量,线性变换,T,特征多项式,（也即表示矩阵,A,特征多项式）,设 是,到本身线性变换，,是,两个基,在基 矩阵为 ，即,在基 矩阵为 ，即,，则有 ，,，从而,43/54,七、线性变换特征值和特征向量,类似于表示矩阵,A,特征值和特征向量相关性质,有,定理,线性变换,T,关于不一样特征值特征向量必线性无关,.,定理,设 是,T,不一样特征值,是,T,关于,r,i,个线性无关特征向量 ，则向量组,必线性无关,.,44/54,试求 特征值和特征向量,.,例,10,上线性变换 定义为,解,取 基 ，因,A,特征值即为,T,特征值,.,七、线性变换特征值和特征向量,是 特征值 是 特征值,是 特征向量 是 特征向量,45/54,七、线性变换特征值和特征向量,求,特征值和特征向量,.,例,10,上线性变换 定义为,解,取 基 ，令,故 在基 下矩阵为,特征值,关于 解,解得,关于 解,解得,关于 解,解得,46/54,则 三个特征值分别对应线性无关特征向量为,七、线性变换特征值和特征向量,47/54,八、线性变换可对角化定理,类似，先给出几个概念：,48/54,八、线性变换可对角化定理,49/54,八、线性变换可对角化定理,线性变换可对角化定理：,推论,若,T,有,n,个不一样特征值,则,T,可对角化,.,50/54,八、线性变换可对角化定理,试证,可对角化,求一个基使得,在该基下矩阵为对角阵,.,例,上,线性变换 定义为,解,取 基 ，令,用 右乘 可视为对 进行一系列列变换。,51/54,八、线性变换可对角化定理,试证,可对角化,求一个基使得,在该基下矩阵为对角阵,.,例,上线性变换 定义为,解,取 基 ，令,故 在基 下矩阵为,特征值,均为单根,故 可对角化。,关于 解,解得,关于 解,解得,关于 解,解得,52/54,八、线性变换可对角化定理,令,则 对应三个线性无关特征向量为,则 是 基，且有,变换,矩阵是什么？,53/54,Problems(,学习指导,(,上册,),下同,):,P,46,49,1,8,9,12,15,20,.,P,49,50,22,23,26,27,28,31.,54/54,