狄拉克方程1.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等量子力学,狄拉克方程,苏小强,1/43,内容提要,1.,背景知识回顾：波函数、薛定谔方程,2.,克莱因,-,戈尔登方程,3.,狄拉克方程,（非相对论）,相对论,2/43,一、波函数和薛定谔方程,1.,物质波,德布罗意，,1929,年,诺贝尔物理学奖,3/43,电子源,感光屏,1926,年，德国物理学家玻恩提出了,几率波,概念,:在数学上，用一函数表示描写粒子波，这个函数叫,波函数,。波函数在空间中某一点强度（,波函数模,平方）和在该点找到粒子几率成正比。这么描写粒子波叫,几率波,。,2.,玻恩统计解释,玻恩，,1954,年获,诺贝尔物理学奖,4/43,粒子在,t,时刻,r,点出现几率,注意,(1),概率振幅,(2),归一化条件,干涉项,(3),态叠加、干涉,5/43,薛定谔方程,薛定谔、奥地利物理学家，,1926,年建立了以薛定谔方程为基础波动力学，,1933,年获诺贝尔物理学奖,。,质点运动、电磁波,(,光学,),牛顿方程、麦克斯韦方程,物质波函数满足规律,薛定谔方程,6/43,薛定谔方程引入,1.,单色平面波（德布罗意波）,(,取实部,),2.,薛定谔方程,(,一维,),寻求波函数随时间空间改变规律,从自由粒子平面单色波出发,7/43,随空间改变：,随时间改变：,(2),(1),(3),薛定谔方程,(2),(3),8/43,3.,薛定谔方程,(,三维,),拉普拉斯算符,4.,算符,9/43,二、,克莱因,-,戈尔登方程,克莱因,-,戈尔登方程,（,Klein-Gordon equation,）,是相对论量子力学和量子场论中最基本方程，,它是薛定谔方程相对论形式，可用来描述自,旋为零粒子。,克莱因,-,戈尔登方程,是由瑞典理论物理学家,奥斯卡,克莱因,和德国人沃尔特,戈尔登于,二是世纪二三十年代分别独立推导得出。,1.,介绍,10/43,KG,方程,自由粒子薛定谔方程,2.,克莱因,-,戈尔登方程取得,（,1,）,11/43,3.,自由粒子解,12/43,德布罗意波,“+”,相对论,“,-,”,量子力学、负能量,（,2,）,13/43,保罗,狄拉克,：,英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。,即使已经有了,克莱因,-,戈尔登方程,，但狄拉克认为问题并未被处理。这个方程可能给出,负值概率,，量子力学对概率诠释无法解释。,1928,年,狄拉克,提出了描述电子相对论性方程：,狄拉克方程,。并独立于泡利工作发觉了描述,自旋,2x2,矩阵,。然而狄拉克方程与克莱因,-,戈登方程有相同问题，存在无法解释负能量解。,这促使狄拉克预测电子,反粒子（正电子）,存在。正电子于,1932,年由,安德森,在宇宙射线中观察,到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是,作为一个相对论性现象。,1933,年、狄拉克和薛定谔共同取得了,诺贝尔物理学奖,。,14/43,薛定谔方程因为不是相对论性，它必定要向相对论扩展。克莱因,-,戈登方程就是第一个相对论性波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负能态和负概率所困扰，所以长久不被物理学家所接收。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生。它融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动力学三方理论，能够计算氢原子光谱精细结构，而且自动产生电子自旋量子数。更巧妙是，狄拉克认为负能态对应着一个电子反粒子，由此预言了正电子存在，并防止了负概率困难。下面详细介绍狄拉克方程建立过程。,三、,狄拉克方程,15/43,第一步：建立相对论方程条件,与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子狄拉克方程，然后建立力场中狄拉克方程。这里先列出建立狄拉克方程两个假设条件：,第一、方程含有量子力学标准波动方程,形式，仅哈密顿算符 不一样。,第二、方程必须满足相对论一次能量动量关系，所以应该是,(2),式，而不是,(1),式。,这两个条件归结为要确定一个适当、满足相对论能量动量关系哈密顿算符 ，这是建立狄拉克方程关键。因为波动方程左边是能量算符，所以右边哈密顿算符 中就应该包含动量算符 。16/43,因为量子力学标准波动方程要求是能量一次项，但 是,(2),式包含有根号，假如直接作算符代换，动量算符将出现在根号内：,对自由粒子，有,对力场中粒子，有（注意，因为有势能项,V,，光速,c,不能放到等号左边）,与薛定谔方程相比，,(3.2),式和,(3.3),式潜在问题是动量算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。,（,3.1,）,（,3.2,）,（,3.3,）,17/43,为了去掉根号，狄拉克采取了一个很巧妙思绪，实际上就是一个待定系数法。,对自由粒子，能够把相对论能量动量关系写成以下形式：,狄拉克假定自由粒子能量,E,与动量分量 质量 之间存在最简单一次线性关系。这么，对应于,(3.4),式，能够拼凑出一个去掉根号待定系数方程,第二步：待定系数能量动量关系,（,3.4,）,（,3.5,）,18/43,其中,是待定系数。不过它们不是普通系数，因为普通系数极难满足,(3.4),式。狄拉克以后从泡利矩阵得到启发：它们假如是,44,矩阵，那么就有可能满足,(3.4),式。,比较,(3.4),式和,(3.5),式，能够得到以下对应关系,(3.6),式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵不可对易性）,展开,(3.7),式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量之间能够对易，但矩阵 之间不可对易。也就是 ，不过 。矩阵乘法普通不满足交换律）,（,3.6,）,（,3.7,）,19/43,要确保,(3.8),式成立，能够让系数 满足以下关系,（,3.9,）,（,3.8,）,20/43,从,(3.9),式能够看出，这四个系数 位置关系是完全对称，类似这么四个系数关系称为彼此“反对易”，它们每一个平方都是,1,。能够这么了解对易和反对易：称为彼此可对易，称为彼此反对易。狄拉克在量子力学中取得第一个进展，是借用了泊松括号 来表示两个量对易关系，表示两个量可对易。,21/43,假如把,(3.9),式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范围内求解，它是没有实数或复数解，因为平方为,1,与相加为,0,方程彼此是矛盾。所以，要得到满足,(3.9),式解，只能寻找实数和复数以外数学工具，狄拉克找到是泡利矩阵。,这提醒我们，任何没有实数或复数解方程，很可能都是我们没有找到适当数学工具。这种思绪将是创造新数学工具主要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被看作是一个主要数学家。,22/43,为了简练和统一描述,(3.9),式，狄拉克采取了克朗内克,函数（,Kronecker,），其定义为：,克朗内克,函数惯用来描述矩阵。通俗地了解就是：假如,i,和,j,表示矩阵行列序号，那么克朗内克,函数描述就是一个对角元素全部为,1,、其余元素全部为,0,单位矩阵。,假如令 ，则全部,(3.9),式都能够用下式统一描述：,第三步：克朗内克,函数,（,3.10,）,（,3.11,）,23/43,(3.11),式表明，当 时，有 ；当 时，有 。也就是说，,(3.11),式与,(3.9),式完全等价，待求这四个系数 必须满足,(3.11),式或,(3.9),式。,必须说明一点是，因为,(3.11),式与,(3.9),式等价，所以这里采取克朗内克,函数得到,(3.11),式，主要是形式上意义。其实，,(3.11),式比,(3.9),式愈加抽象和难以了解，去掉,(3.11),式和克朗内克,函数丝毫不影响我们对狄拉克方程学习。不过，狄拉克是从克朗内克,函数得到主要启发后，才提出狄拉克,函数。而且，克朗内克,函数本身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最终想到用矩阵表示,(3.9),式，很可能也有启发作用。由此能够想见，狄拉克为何要在这里“多此一举”引入克朗内克,函数。,24/43,为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。最初，电子自旋是作为假设提出来，泡利就是为了描述电子自旋角动量而创建三个,2,阶矩阵 。有时为了表示方便，还能够加入两个辅助矩阵：单位矩阵,I,和,0,矩阵,O,，,泡利矩阵满足以下关系（能够直接验证），或者说有以下一些性质：,第四步：泡利矩阵,（,3.12,）,（,3.13,）,（,3.14,）,25/43,这与,(3.9),式非常相同，说明用类似泡利矩阵这么数学工具来结构狄拉克方程是非常合理和自然。这就是狄拉克会想到系数可能是矩阵原因，也是狄拉克在数学和物理上巨大突破。,26/43,狄拉克认为，假如把这四个系数看成矩阵，那么它们应该含有与泡利矩阵类似性质。不过，基于两个理由，它们应该是,44,矩阵，而不是,22,矩阵：第一、,22,矩阵无法描述超出三个以上反对易量，而现在有四个反对易量。第二、原来假设电子自旋只要求波函数有两个分量，不过现在因为出现了负能量状态，波动方程解数目必定是以前两倍，即波函数必须要有四个分量。,第五步：狄拉克矩阵,27/43,为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一个方法。他先把,22,泡利矩阵扩展为以下,44,矩阵，用 表示。,然后，狄拉克参考这三个,44,泡利矩阵，又拼凑出了三个类似,44,矩阵 ，（不是从 变过来，是狄拉克凭经验拼凑出来，二者没相关系），,（,3.15,）,（,3.16,）,28/43,最终，所求四个矩阵系数 就由 和 组合出来，组合公式和结果为,（,3.17,）,29/43,这就是狄拉克结构出来满足,(3.9),式或,(3.11),式一组矩阵系数，全部满足这种关系四个矩阵都称为狄拉克矩阵。不过，,(3.17),式并不是唯一狄拉克矩阵，它们普通被称为“泡利组”，因为它们是,2,泡利矩阵最简扩展形式。费米也介绍过另外一个从泡利矩阵扩展出不一样狄拉克矩阵方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在量子场论中有着广泛应用。,30/43,得到狄拉克矩阵后，实际上,(3.5),式待定系数 和 就求出来了，这么，去掉根号自由粒子相对论能量动量关系也就得到了，其普通形式就是,利用能量和动量算符,进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子狄拉克方程,第六步：自由粒子狄拉克方程,31/43,狄拉克方程,32/43,假如动量为零（假设）：,1.,狄拉克方程解,(,负能量,),：,33/43,34/43,依据上述方程：,波函数也必须为矩阵形式,35/43,：在某时刻、地点找到粒子概率,波函数物理意义：,：在某时刻、地点找到粒子处于状态,A,概率,：在某时刻、地点找到粒子处于状态,B,概率,A,B,36/43,37/43,2.,狄拉克方程,(,自旋,),：,38/43,39/43,40/43,能够令：,41/43,一个粒子含有量子状态：,正能量、负能量,处于正能量（或负能量）态粒子,又含有两种自旋态,42/43,谢谢,43/43,