贝塞尔函数-5.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,贝塞尔函数,(Bessel Function),1/22,一、贝塞尔函数引出,在,柱坐标系下，对拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍兹（Helmholtz）,方程进行分离变量，将导出 n 阶 Bessel 方程。,柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯,方程问题时,以,代入 Lplace 方程,假如圆柱上、下两底边界条件不是齐次，而圆柱侧面边界条件是,齐次，就得出,2/22,普通情况下，贝塞尔方程解不能用初等函数表示，从而就导入了一,类特殊函数贝塞尔函数。,引入新自变量 ,上面最终一个方程可改写为其中,n 为任意实数或复数,本章中 n 只限与实数.,二、贝塞尔方程解,这就是贝塞尔方程.,3/22,贝塞尔方程,设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为,其中,常数 和 能够经过把 和它导数 、代入上式,来确定。,到此，我们能够得到一个特解,用级数比率判别法（或称达朗贝尔判别法）能够判定这个级数在整个数,轴上收敛。这个无穷级数所确定函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数，记,作,4/22,贝塞尔方程一个特解,当 n 为正整数或零时，故有,或,n 阶贝塞尔函数,n 阶,纽曼,函数,(第二类n 阶贝塞尔函数),n 阶汉克尔函数,(第三类n 阶贝塞尔函数),(n 整数),5/22,贝塞尔函数图象,6/22,诺伊曼函数图象,7/22,三、当n为整数时贝塞尔方程通解,取哪一个特解?普通情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便.不过,当 n 为整数时,上式右端无意义!为此,要想写出整数阶贝塞尔方程通解,必须要修改第二类贝塞尔函数定义.在 n 为整数情况下,我们定义第二类,贝塞尔函数为,因为当 n 为整数时,所以上式右端极限,是 形式不定型极限,依据洛必达法则并经过冗长推导,最终得到,8/22,其中,称为欧拉常数.,依据重新定义函数,它确实是贝塞尔方程解,而且与 是线性无,关(因为当 时,为有限值,而 为无穷大.,9/22,总而言之,贝塞尔方程,通解为,其中 A,B 为任意常数,n 为任意实数.,四贝塞尔函数生成函数,函数,称为整数阶第一类贝塞尔函数生成函数.它对于得到 n 取整数值第一类,贝塞尔函数很多性质是非常有用,然后常可证实这些性质对全部 n 也,成立.,10/22,五、贝塞尔函数递推公式,不一样阶贝塞尔函数之间不是彼此孤立,而是有一定联络,这种联络,建立在递推公式上.首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间关系.,在下式中,令 n=0 及 n=1,11/22,n=0；m=0,：,n=1；m=0,：,取出第一个级数 第 k+1 项求导数,得,12/22,n=1；m=0,：,得到关系,13/22,将 乘以 并求导数,又得到,即,以上结果,能够推广.,14/22,以下结论对全部 n 都是成立:,15/22,六、可变换成贝塞尔方程方程,方程,其中 都是常数,有通解,其中 若 ,方程可视为欧拉或柯西方程,是可解.,16/22,七、贝塞尔函数渐近公式,对于大 值,有以下渐近公式:,八、贝塞尔函数零点,在求园盘温度分布时,是经过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程,本征值问题:,为了求出上述本征值方程本征值 ,必须要计算 零点.,有没有实零点?若存在实零点,一共有多少个?关于这些问题,有以下,几个结论.,17/22,（1）有没有穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在 x 轴上关于原,点对称分布。自然 必有没有穷多个正零点。,（2）零点与 零点彼此相间分布。,（3）以 表示 非负零点（正零点）（m=1，2，),则 当 时,其值将无限地靠近于,即,几乎是以 2 为周期周期函数.,18/22,九、贝塞尔函数正交性,在求园盘温度分布时,是经过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程,本征值问题:,本征值方程,上述本征方程解为:,即,本征值,与这些本征值相对应本征函数为:,本征函数,19/22,本征函数,本征函数系 正交性.,在 上,带权重 正交.,20/22,若 和 是两个不一样常数,能够证实,而,由第一式我们看到,若 和 是方程,任意两个不一样根(这里 R,S 是常数),则,它表明 和 在(0,1)是正交.我们也能够说,和 是关于权函数 正交.,21/22,22/22,