1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x),是否有 g(x)整除f(x)以及与此相关多项式最大公因式,多项式因式分解等问题.,在讨论一元多项式整除性理论时,带余除法,是 一个主要定理,它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)一个有效方法;而且是讨论一元多项式最大公因式及多项式根理论基础.,1-3 多项式整除性和带余除法,第1页,带余除法定理:对于P,x,中任意两个多项式,f,(,x,)与g(,x,),其中(g(,x,)0,一定有P,x,中多项式q(,x,)和r(,x,)存在,使得,
2、第2页,Definition5.(整除定义),称P,x,上多项式g(,x,)整除f(,x,),假如存在P,x,上多项式h(,x,),使得,第3页,g(x)0,g(x)f(x)等价于 g(x)除 f(x)余式零.,q(x)和r(x)求法与中学方,法基本相同.在做除法时,能够分离系 数,因为次多项,式是由它1 个系数唯一确定,(做除法时按降幂排列).,第4页,由定义不难看出,1.零多项式被任意一个多项式整除;2.零多项式不能整除任意非零多项式;3.任意多项式一定整除它本身.4.,零次多项式(非零常数)整除任意多项式.,当g(x)0时,由带余除法定理得到,Theorem1.对于P,x,中任意两个多项
3、式,f,(,x,)与g(,x,),其中g(,x,)0,则g(,x,)|f(,x,)充分必要条件是g(x)除f(x)余式为零.,第5页,整除性几个惯用性质:,1.,任一多项式 f(x)都能被 cf(x)整除,2.假如f(,x,)|g(,x,),g(,x,)|f(,x,),则,f(,x,)=cg(,x,)(c0);,3.假如f(,x,)|g(,x,),g(,x,)|h(,x,),则,f(,x,)|h(,x,);,4.假如g(,x,)|f(,x,),则对任意多项式u(x)都有 g(,x,)|u(x)f(,x,);,5.假如f(,x,)|g(,x,),f(,x,)|h(,x,),则对任意多项式u(x)
4、v(x)都有f(,x,)|(u(x)g(,x,)+v(x)h(,x,);,第6页,值得注意是:,多项式整除不是运算,它是x元素间一个关系,类似于实数集 R 元素间大小关系,相等关系;,多项式整除性是不因数域扩充而改变.即当数域扩充时,作为扩充后数域上多项式 f(x)和g(x),g(x),除f(x)商式和余式仍,然是上面q(x)和r(x).,为什么?,第7页,第8页,补充:综合除法,第9页,第10页,第11页,第12页,课堂小结,1.整除概念及性质,2.带余除法定理,3.整除定义及性质,4.整除与带余除法关系,5.综合除法原理,第13页,作业：,认真复习总结所学知识，作学习笔记；,P,44,2、3、4,认真地完成,第14页,
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