第七章第六节空间角.ppt

第七章,立体几何,第六节,空,间角,-,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,备考方向要明了,考,什,么,理解两条异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角的概念,.,怎,么,考,1.,本节内容在高考中多考查直线与平面所成的角、二面角,的求法,2.,题型以解答题为主，多与空间中的平行、垂直关系相结,合进行考查,.,锐角,(,或直角,),任意一条,它在平面上的射影,4,二面角,(1),二面角：从一条直线,所组成的图形叫做二面角这条直线叫做,.,两个半平面叫做二面角的面,如图，记作：,l,或,AB,或,P,AB,Q,.,出发的两个半平面,二面角的棱,(2),二面角的平面角：,如图，二面角,l,，,若有,O,l,，,OA,，,OB,，,OA,l,，,OB,l,，,则,AOB,就叫做二面角,l,的平面角,1.(2011,陕西八校联考,),如图，,E,、,F,分别,是三棱锥,P,ABC,的棱,AP,、,BC,的中点，,PC,10,，,AB,6,，,EF,7,，则异面直线,AB,与,PC,所成的角为,(,),A,30,B,45,C,60 D,90,解析：,取,AC,中点,D,，连接,DE,、,DF,，则,EDF,为,AB,与,PC,所成的角，利用余弦定理可求得,EDF,120.,所以异面直线,AB,与,PC,所成的角是,60.,答案：,C,答案：,C,答案：,A,4,(2011,长沙模拟,),在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,B,1,C,与,对角面,DD,1,B,1,B,所成角的大小是,(,),A,15 B,30,C,45 D,60,答案：,B,1,线面角的问题,(1),线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是基本思,路要注意与线线垂直，线面垂直的相互关系,(2),求直线与平面所成的角的一般过程为：,通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；在,三角形中求角的大小,2,二面角的问题,求二面角的平面角时，同样归结到三角形中去，但在求解时要注意二面角的平面角的取值范围,精析考题,例,1(2012,杭州模拟,),如图，已知,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AB,的中点,(1),求直线,B,1,C,与,DE,所,成的角的余弦值；,(2),求证：平面,EB,1,D,平面,B,1,CD,.,巧练模拟,(,课堂突破保分题，分分必保！,),1,(2012,嘉兴模拟,),如图，,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是长方体，,AA,1,a,，,BAB,1,B,1,A,1,C,1,30,，则,AB,与,A,1,C,1,所成的角为,_,，,AA,1,与,B,1,C,所成的角为,_,解析：,AB,A,1,B,1,，,B,1,A,1,C,1,是,AB,与,A,1,C,1,所成的角，,AB,与,A,1,C,1所成的角为,30.,AA,1,BB,1,，,BB,1,C,是,AA,1,与,B,1,C,所成的角，,由已知条件可以得出,BB,1,a,，,AB,1,A,1,C,1,2,a,，,AB,a,，,B,1,C,1,BC,a,.,BB,1,C,1,C,是正方形,BB,1,C,45.,答案：,30,45,冲关锦囊,求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下,(1),一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；,(2),二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；,(3),三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角,或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角,.,自主解答,(1),证明：如图，取,AC,中点,D,，连接,PD,、,BD,.,PA,PC,，,PD,AC,.,又已知平面,PAC,平面,ABC,，,PD,平面,ABC,，,D,为垂足,PA,PB,PC,，,DA,DB,DC,.,故,AC,为,ABC,的外接圆直径，,AB,BC,.,(2),如图，作,CF,PB,于,F,，连接,AF,、,DF,.,PBC,PBA,，,AF,PB,，,AF,CF,.,PB,平面,AFC,.,平面,AFC,平面,PBC,，交线是,CF,.,直线,AC,在平面,PBC,内的射影为直线,CF,，,ACF,为,AC,与平面,PBC,所成的角,巧练模拟,(,课堂突破保分题，分分必保！,)解：,(1),证明：四边形,ABCD,是正方形，,AC,BD,，,PD,底面,ABCD,，,PD,AC,，,AC,平面,PDB,，又,AC,平面,AEC,，,平面,AEC,平面,PDB,.,冲关锦囊,1,求直线与平面所成的角，关键是作出线面角，其中寻找,线面垂直又是重中之重,2,求直线与平面所成的角的步骤是,(1),寻找过直线上一点与平面垂直的直线；,(2),连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；,(3),把该角放入三角形中计算,精析考题,例,3,(2011,浙江高考,),如图，在三棱,锥,P,ABC,中，,AB,AC,，,D,为,BC,的,中点，,PO,平面,ABC,，垂足,O,落在,线段AD,上已知,BC,8,，,PO,4,，,AO,3,，,OD,2.,(1),证明：,AP,BC,；,(2),在线段,AP,上是否存在点,M,，使得二面角,A,MC,B,为直二面角？若存在，求出,AM,的长；若不存在，请说明理由,解,(1),证明：由,AB,AC,，,D,是,BC,的中,点，得,AD,BC,.,又,PO,平面,ABC,，得,PO,BC,.,因为,PO,AD,O,，所以,BC,平面,PAD,，,故,BC,PA,.,巧练模拟,(,课堂突破保分题，分分必保！,),3.(2012,温州模拟,),如图所示，在四棱锥,S,ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，,S,A,底面,ABCD,，SA,AB,，点,M,是,SD,的中点，,AN,SC,，且交,SC,于点,N,.,(1),求证：,SB,平面,ACM,；,(2),求二面角,D,AC,M,的平面角的正切值；,解：,(1),证明：连接,BD,交,AC,于,E,，连接,ME,.,四边形,ABCD,是正方形，,E,是,BD,的中点,M,是,SD,的中点，,ME,是,DSB,的中位线,ME,SB,.,又,ME,平面,ACM,，,SB,平面,ACM,，,SB,平面,ACM,.,(2),取,AD,的中点,F,，连接,MF,，则,MF,SA,.,作,FQ,AC,于,Q,，连接,MQ,.,SA,底面,ABCD,，,MF,底面,ABCD,.,FQ,为,MQ,在平面,ABCD,内的射影,FQ,AC,，,MQ,AC,.,冲关锦囊,确定二面角的平面角的常用方法,(1),定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引,棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角,(2),利用线面垂直的判定与性质作角法自二面角的一个半平,面上一点,A,(,不在棱上,),向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足,B,(,垂足在棱上则二面角为直二面角,),向棱作垂线得到棱上的点,C,，连接,AC,则,ACB,(,或其补角,),即为二面角的平面角,解题样板 二面角的几种优美解法,优美解,2,：如图，取线段,BP,的中点,H,，,连接,HF,、,HA,.,易知HF,AE,，从而四,边形,HFEA,为平行四边形，故,AH,E,F,.,取线段,BC,的中点,M,，连接,MF,、,ME,.,易知，平面,MFE,平面,PAB,，从而平面,MFE,与平面,BFE,的夹角大小等于平面,BFE,与平面,PAB,的夹角大小,由已知易得,BC,平面,PAB,，于是,有,HA,BC,.,由,HA,PB,，,HA,BC,，得,HA,平面,PBC,，从而,EF,平面,PBC,，故,BFM,为二面角,B,EF,M,的平面角易知,BFM,PBF,45,，故平面,BFE,与平面,PAB,的夹角大小为,45.,优美解,3,：如图，取线段,BP,的中点,H,，,连接,HF,、,HA,.,易知,HF,AE,，从而,四边形,HFEA,为平行四边形，故,AH,EF,.,延长,CB,至,G,，使,GB,AE,，连接,GH,、,GA,，则平面,GHA,平面,BEF,，从而平面,GHA,与平面,PAB,的夹角大小等于平面,BFE,与平面,PAB,的夹角大小,优美解,4,：如图，取线段,BP,的中点,H,，,连接,HF,、,HA,.,易知,HF,AE,，从而四,边形,HFEA,为平行四边形，故,HA,E,F,，所以,HA,平面,BEF,.,设平面,PAB,平面,BEF,l,，进而可得,HA,l,.,而由已知易得,BC,平面,PAB,，又由,HA,PB,，,HA,BC,可得,HA,平面,PBC,，从而,l,平面,PBC,，所以,l,BP,，,l,BF,，所以,PBF,为二面角,PA,l,EF,的平面角易知，,PBC,为等腰直角三角形，,PBC,90,，而,BF,既是斜边,PC,边上的中线也是,PC,边上的高，由等腰三角形的,“,三线合一,”,，得,PBF,45.,所以平面,BFE,与平面,PAB,的夹角大小为,45.,高手点拨,本题给出的四种求二面角的常用解法，从不同角度展示了求解二面角的平面角的方法和技巧，方法一是面积射影定理法，方法二和方法三利用等价转化的思想，转化为其他易作出平面角的二面角问题求解，方法四利用了作棱的垂面法进行求解，考生在复习时要认真品味，形成求二面角的平面角的方法体系,点击此图进入,