1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、典型例题,五、小结与思考,1,一、留数的引入,设,为,的一个孤立奇点,;,内的洛朗级数,:,在,.,的某去心邻域,C:,邻域内包含,的任一条正向简单闭曲线,2,0,(,高阶导数公式,),0,(,柯西,-,古萨基本定理,),3,定义,记作,的一个孤立奇点,则沿,内包含,的,任意一条简单闭曲线,C,的积分,的值除,后所得的数称为,以,如果,4,二、利用留数求积分,说明,:,2.,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求,被积函数在,C,
2、内各孤立奇点处的留数,.,1.,留数定理,在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点的一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,函数,5,证,证毕,两边同时除以 且,.,.,.,如图,6,2.,留数的计算方法,(1),如果,为,的可去奇点,如果 为 的一级极点,那末,规则,1,成洛朗级数求,(2),如果,为,的本性奇点,(3),如果,为,的极点,则有如下计算规则,展开,则需将,7,如果 为 的 级极点,规则,2,证,那末,8,+(,含有 正幂的项,),两边求,阶导数,证毕,得,9,规则,3,如果,设,及,在,都解析，,证,的一级零点,为,的一级极点,.,为,那末,为,的一级极点,
3、且有,10,解析且,在,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,11,三、在无穷远点的留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.,定义,设函数,在圆环域,内解析，,C,为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,12,.,.,.,.,.,.,.,证,由留数定理有,:,(,绕原点的并将,内部的正向简单闭曲线,),包含在,2.,定理二,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那末,在所有各奇点,(,包括,点,),的留数的总和必等于零,.,证毕,13,说明,:,由定理得,(,留数定理,),计算积分,计算无穷远点的留数,.,优点,:,使计算积分进一步得到简化,.,(,避免了计算诸有限点处的
4、留数,),14,3.,在无穷远点处留数的计算,规则,4,说明,:,定理二和规则,4,提供了,计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法,:,此法在很多情况下此法更为简单,.,15,现取正向简单闭曲线,C,为半径足够大的,正向圆周,:,于是有,证,16,内除,在,外无其他奇点,.,证毕,17,四、典型例题,例,1,求,在,的留数,.,解,18,例,2,求,在,的留数,.,分析,是,的三级零点,由规则,3,得,计算较麻烦,.,19,如果利用洛朗展开式求,较方便,:,解,20,说明,:,如 为,m,级极点，当,m,较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求,来计算留数,.,2.,在应用规则,2,时,取得比
5、实际的级数高,.,级数高反而使计算方便.,1.,在实际计算中应灵活运用计算规则,.,为了计算方便一般不要将,m,但有时把,m,取得比实际的,如上例取,21,例,4,计算积分,C,为正向圆周,:,解,为一级极点,为二级极点,22,23,例,5,计算积分,C,为正向圆周,:,函数,在,的外部,除,点外没有,其他奇点,.,解,根据定理,2,与规则,4:,24,与以下解法作比较,:,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,的内部,所以,由规则,3,25,可见,利用无穷远点的留数更简单,.,例,6,计算积分,C,为正向圆周,:,解,除,被积函数,点外,其他奇点为,26,由于,与,1,在,C,的内部,则,所以,27,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数,定理,.,应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极,点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复,积分,.,28,思考题,29,思考题答案,放映结束，按,Esc,退出,.,30,
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